La fonction affine : cours complet 3eme
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En 3e, la fonction affine revient partout : dans les graphiques, les problèmes de prix, les vitesses moyennes, les conversions, et même dans les premiers pas vers les équations de droite. C’est un chapitre central du programme de l’Éducation nationale, parce qu’il relie calcul littéral, repérage dans le plan et raisonnement.
Un détail amusant : avant d’être un objet de cours, la fonction affine servait déjà à modéliser des situations très concrètes, comme le prix d’une course de taxi avec une prise en charge fixe puis un coût par kilomètre. C’est exactement l’idée de ce chapitre.
Définition et rappels
Définition. Une fonction affine est une fonction qui s’écrit sous la forme :
f(x) = ax + b
où a et b sont des nombres.
a s’appelle le coefficient directeur.
b s’appelle l’ordonnée à l’origine.
Si b = 0, alors la fonction affine devient une fonction linéaire :
f(x) = ax
Comment reconnaître une fonction affine
Si on te donne une expression du type 3x + 5, -2x + 7 ou 0,4x - 1, c’est affine. En revanche, x2 + 1 n’est pas une fonction affine. Même chose pour 1/x.
Le piège classique, c’est de croire que toute expression avec un x est affine. Non. Il faut vraiment la forme ax + b, rien d’autre. Un fait peu connu : le mot “affine” vient d’une idée de transformation simple, presque “rigide”, qu’on utilise aussi plus tard en géométrie.
Le lien avec la représentation graphique
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. C’est d’ailleurs une façon très rapide de la reconnaître : si les points du tableau sont alignés, on est souvent face à une fonction affine.
Le nombre b donne l’endroit où la droite coupe l’axe des ordonnées. Si x = 0, alors :
f(0) = a × 0 + b = b
Donc le point de départ sur l’axe vertical est (0 ; b).
Pour revoir le repérage et la lecture de coordonnées, tu peux consulter ce cours sur le repérage dans le plan.
Propriétés et théorèmes
Propriété 1 — Sens de variation
Pour une fonction affine f(x) = ax + b :
- si a > 0, la fonction est croissante ;
- si a < 0, la fonction est décroissante ;
- si a = 0, la fonction est constante.
Démonstration simplifiée
Quand x augmente de 1, la valeur de f(x) augmente de a. Si a est positif, on monte. S’il est négatif, on descend. S’il vaut 0, on ne bouge pas.
Exemple très concret : si f(x) = 2x + 3, alors à chaque fois que x augmente de 1, f(x) augmente de 2. La droite monte régulièrement. Les élèves remarquent souvent ce détail en traçant la courbe à la règle : on avance d’un carreau, on monte de deux.
Propriété 2 — Coefficient directeur
Dans f(x) = ax + b, le nombre a mesure “la pente” de la droite.
Si on connaît deux points A(x1 ; y1) et B(x2 ; y2), avec x1 ≠ x2, alors :
a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Démonstration simplifiée
Si f(x) = ax + b, alors pour deux nombres x1 et x2 :
f(x2) - f(x1) = (ax2 + b) - (ax1 + b)
= a(x2 - x1)
Donc :
a = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)
Autrement dit, le coefficient directeur compare la variation verticale à la variation horizontale. Cette idée sera reprise plus tard au lycée avec les taux d’accroissement. Oui, ce petit calcul de 3e prépare déjà la suite.
Propriété 3 — Déterminer l’expression d’une fonction affine
Si on connaît le coefficient directeur a et un point de la droite, on peut retrouver b.
Il suffit de remplacer x et f(x) par les coordonnées du point.
Exemple rapide
La droite passe par le point (2 ; 7) et son coefficient directeur est 3.
On écrit :
f(x) = 3x + b
Comme f(2) = 7, on remplace :
7 = 3 × 2 + b
7 = 6 + b
b = 1
Donc :
f(x) = 3x + 1
Si tu veux renforcer la partie calcul littéral utile ici, va voir le cours sur le calcul littéral.
Méthode pas à pas pour résoudre
Méthode 1 — Calculer l’image d’un nombre
On remplace x par le nombre donné, puis on calcule.
Méthode 2 — Trouver un antécédent
On résout l’équation ax + b = valeur donnée.
Méthode 3 — Déterminer une fonction affine
1. On repère la forme f(x) = ax + b.
2. On calcule a si on a deux points.
3. On remplace avec un point pour trouver b.
4. On vérifie avec l’autre point.
Méthode 4 — Tracer la droite
1. On place le point (0 ; b).
2. On utilise a comme pente.
3. On place un deuxième point.
4. On trace la droite à la règle.
Un repère simple à garder en tête
Beaucoup d’élèves retiennent mieux avec cette phrase : b place la droite, a la fait pencher. C’est court, mais ça marche très bien. Un ancien manuel parlait même de “l’ascenseur et l’escalier” : b te met à hauteur de départ, a te dit comment tu montes ou descends.
Trois exemples résolus de difficulté croissante
Exemple 1 — Calculer une image
Soit f(x) = 4x - 3. Calculer f(5).
Solution :
f(5) = 4 × 5 - 3 = 20 - 3 = 17
Donc l’image de 5 est 17.
Rien de compliqué ici, mais c’est souvent là que se glisse une erreur de signe. Le -3 reste bien un -3. Ça paraît évident, pourtant c’est une des fautes les plus fréquentes en contrôle.
Exemple 2 — Trouver un antécédent
Soit g(x) = -2x + 7. Trouver l’antécédent de 1.
Solution :
On cherche x tel que :
-2x + 7 = 1
On résout :
-2x = 1 - 7
-2x = -6
x = 3
Donc 3 est l’antécédent de 1.
Petite vérification, toujours utile :
g(3) = -2 × 3 + 7 = -6 + 7 = 1
Cette habitude de vérifier à la fin fait gagner des points. Et elle évite les erreurs bêtes de calcul.
Exemple 3 — Déterminer l’expression d’une fonction affine
On sait qu’une fonction affine h passe par les points A(1 ; 3) et B(5 ; 11). Trouver son expression.
Étape 1 : calcul du coefficient directeur
a = (11 - 3) / (5 - 1) = 8 / 4 = 2
Donc h(x) = 2x + b.
Étape 2 : calcul de b
Le point A(1 ; 3) appartient à la droite, donc :
3 = 2 × 1 + b
3 = 2 + b
b = 1
Réponse :
h(x) = 2x + 1
Vérification avec B :
h(5) = 2 × 5 + 1 = 11
C’est correct.
Ce type d’exercice est très fréquent au brevet. Il mélange lecture de coordonnées, calcul et rédaction. Pour t’entraîner davantage, tu peux compléter avec des exercices sur les fonctions en 3e et le cours sur les équations.
Cas particuliers et pièges courants
Piège 1 — Confondre fonction affine et fonction linéaire
f(x) = 3x est linéaire et affine.
f(x) = 3x + 2 est affine, mais pas linéaire.
Piège 2 — Oublier l’ordonnée à l’origine
Dans f(x) = -4x + 6, la droite ne passe pas par l’origine. Elle coupe l’axe des ordonnées en 6.
Piège 3 — Se tromper dans le coefficient directeur
On calcule :
a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Pas l’inverse. Sinon, on obtient une pente fausse.
Piège 4 — Mal lire une droite décroissante
Si la droite descend de gauche à droite, alors a < 0.
Piège 5 — Croire que deux points suffisent toujours sans vérifier
Oui, deux points déterminent une droite. Mais si les coordonnées sont mal recopiées, tout l’exercice part de travers. Une vérification finale évite ce genre d’accident.
Le cas particulier de la fonction constante
Si a = 0, alors f(x) = b. La droite est horizontale. C’est bien une fonction affine. Beaucoup d’élèves l’oublient parce qu’elle “a l’air trop simple”. Pourtant elle fait partie du chapitre.
Un détail historique sympa : les premières représentations graphiques utilisées dans l’enseignement mettaient souvent en avant les droites horizontales et verticales avant les autres, car elles étaient plus faciles à tracer à la plume. Comme quoi les outils influencent parfois la façon d’apprendre.
Résumé à retenir
La fonction affine : cours complet 3eme — l’essentiel
Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b.
a est le coefficient directeur : il donne la pente de la droite.
b est l’ordonnée à l’origine : c’est f(0).
La représentation graphique est une droite.
Si a > 0, la fonction est croissante.
Si a < 0, elle est décroissante.
Si a = 0, elle est constante.
Avec deux points, on calcule :
a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Puis on remplace dans ax + b pour trouver b.
FAQ : les questions fréquentes des élèves
Comment savoir rapidement si une fonction est affine ?
Regarde son écriture. Si elle est de la forme ax + b, alors elle est affine. Si tu vois un x2, une racine, un dénominateur avec x, ce n’est pas une fonction affine.
Une fonction linéaire est-elle une fonction affine ?
Oui. Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, avec b = 0. Par exemple, f(x) = 5x est affine.
Pourquoi le graphique d’une fonction affine est-il une droite ?
Parce que quand x augmente régulièrement, f(x) varie toujours de la même quantité. Cette régularité produit un alignement des points. C’est justement la signature d’une droite.
Comment trouver l’expression d’une fonction affine avec deux points ?
On commence par calculer a avec la formule du coefficient directeur. Ensuite, on remplace avec un des deux points pour trouver b. Enfin, on vérifie avec l’autre point.
Le chapitre tombe-t-il au brevet ?
Très souvent, oui. Pas forcément sous le titre “fonction affine”, mais dans des exercices de lecture graphique, de modélisation, de calcul d’antécédent ou de détermination d’une droite. C’est un thème classique du programme de 3e fixé par l’Éducation nationale.
Pour t’entraîner tout de suite :
1. Calculer l’image de 4 par f(x) = -3x + 8.
2. Trouver l’antécédent de 10 par g(x) = 2x - 6.
3. Déterminer la fonction affine passant par (0 ; -2) et (3 ; 4).
Corrections rapides :
1. f(4) = -3 × 4 + 8 = -12 + 8 = -4
2. 2x - 6 = 10 donc 2x = 16 puis x = 8
3. a = (4 - (-2)) / (3 - 0) = 6 / 3 = 2, donc f(x) = 2x - 2
Pour continuer sur le même thème, tu peux lire aussi notre leçon dédiée sur la fonction affine, puis t’entraîner avec des exercices corrigés sur la fonction affine en 3e. Si tu prépares le brevet, ajoute aussi les sujets corrigés de brevet en maths à ta révision.
