Exercices corrigés arithmetique 3ème
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Voici une fiche solide, pensée pour réviser efficacement le chapitre d’arithmétique en 3e et surtout pour s’entraîner avec de vrais Exercices corrigés arithmetique 3ème. Ce thème revient sans cesse dans le programme de l’Éducation nationale : division euclidienne, multiples, diviseurs, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, PGCD et problèmes concrets. C’est aussi un chapitre qui sert plus tard en seconde, notamment quand on simplifie des fractions ou qu’on raisonne sur des répartitions.
Rappel express
Un entier a est divisible par un entier b s’il existe un entier k tel que a = b × k. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme produit de nombres premiers. Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun. Dans les problèmes de partage ou de groupements identiques, le PGCD apparaît très souvent.
Petit fait amusant : le crible d’Ératosthène, utilisé pour repérer les nombres premiers, date de l’Antiquité. Oui, une méthode de 2 000 ans reste encore au programme de 3e. Pour revoir la base avant de te lancer, tu peux aussi passer par le cours sur l’arithmétique en 3e et les rappels sur les nombres premiers.
Exercices d’application directe
Exercice 1 : reconnaître une divisibilité
Parmi les affirmations suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses :
a) 315 est divisible par 3
b) 315 est divisible par 5
c) 315 est divisible par 9
d) 315 est divisible par 10
Exercice 2 : liste de diviseurs
Donner tous les diviseurs de 24.
Exercice 3 : nombres premiers ou non
Indiquer si les nombres suivants sont premiers : 17 ; 21 ; 29 ; 51.
Exercice 4 : décomposition en facteurs premiers
Décomposer 84 en produit de facteurs premiers.
Exercice 5 : calcul d’un PGCD
Calculer le PGCD de 18 et 30.
Exercices d’entraînement
Exercice 6 : division euclidienne
Effectuer la division euclidienne de 157 par 12. Écrire ensuite l’égalité correspondante.
Exercice 7 : simplification de fraction
Simplifier la fraction 54/72 au maximum.
Exercice 8 : problème de bouquets
Un fleuriste possède 48 roses et 60 tulipes. Il veut faire le plus grand nombre possible de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.
1) Combien de bouquets peut-il faire ?
2) Quelle sera la composition de chaque bouquet ?
Exercice 9 : vrai ou faux avec justification
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant :
a) Si un nombre est divisible par 6, alors il est divisible par 3.
b) Si un nombre est divisible par 6, alors il est divisible par 12.
c) 91 est un nombre premier.
Exercice 10 : décomposition et divisibilité
On sait que 180 = 22 × 32 × 5.
1) 180 est-il divisible par 15 ?
2) 180 est-il divisible par 12 ?
3) Donner tous les diviseurs premiers de 180.
Exercices d’approfondissement
Exercice 11 : deux méthodes pour un PGCD
Calculer le PGCD de 126 et 210.
Puis vérifier le résultat par la décomposition en facteurs premiers.
Exercice 12 : partage maximal
Dans un collège, on veut répartir 84 élèves de 3e A et 126 élèves de 3e B en groupes identiques, sans mélanger les niveaux dans un même groupe, et en utilisant tous les élèves.
Le nombre de groupes doit être le plus grand possible.
1) Combien de groupes peut-on former ?
2) Combien y aura-t-il d’élèves de chaque classe dans un groupe ?
Exercice 13 : raisonnement sur un nombre
On cherche un nombre entier N compris entre 100 et 150.
Il est divisible par 6 et par 9, mais il n’est pas divisible par 5.
Trouver tous les nombres possibles.
Corrections détaillées
Correction de l’exercice 1
a) 315 est divisible par 3. Vrai, car la somme de ses chiffres vaut 3 + 1 + 5 = 9, et 9 est divisible par 3.
b) 315 est divisible par 5. Vrai, car il se termine par 5.
c) 315 est divisible par 9. Vrai, car la somme de ses chiffres vaut 9, donc c’est un multiple de 9.
d) 315 est divisible par 10. Faux, car un multiple de 10 se termine par 0.
Les critères de divisibilité font gagner un temps fou. D’ailleurs, beaucoup d’élèves font l’erreur de tester la division à la calculatrice alors qu’un simple regard sur le chiffre des unités suffit parfois. Pour s’entraîner davantage, tu peux compléter avec les exercices sur la divisibilité.
Correction de l’exercice 2
On cherche les nombres qui divisent 24 sans reste.
Les paires de facteurs sont :
1 × 24
2 × 12
3 × 8
4 × 6
Donc les diviseurs de 24 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
Fait peu connu : 24 est un nombre très pratique en mathématiques car il possède beaucoup de diviseurs. C’est pour cela qu’on le retrouve souvent dans les exercices de partage.
Correction de l’exercice 3
17 est premier : il n’a que 1 et 17 comme diviseurs.
21 n’est pas premier : 21 = 3 × 7.
29 est premier : il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.
51 n’est pas premier : 5 + 1 = 6, donc 51 est divisible par 3. En effet, 51 = 3 × 17.
Un bon réflexe en 3e : pour tester si un nombre est premier, on commence toujours par 2, 3 et 5. Cela élimine énormément de cas.
Correction de l’exercice 4
On décompose 84 :
84 = 2 × 42
42 = 2 × 21
21 = 3 × 7
Donc :
84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7
Cette écriture est la décomposition en facteurs premiers de 84.
Attention au vocabulaire : on ne s’arrête pas à 4 × 21, car 4 n’est pas un nombre premier.
Correction de l’exercice 5
Diviseurs de 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30
Les diviseurs communs sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6
Le plus grand est 6.
Donc PGCD(18 ; 30) = 6.
Quand les nombres sont petits, la liste des diviseurs reste une très bonne méthode. C’est d’ailleurs celle qu’on attend souvent au début du chapitre dans le programme de 3e.
Correction de l’exercice 6
On cherche combien de fois 12 entre dans 157.
12 × 13 = 156
Il reste 1.
Donc le quotient est 13 et le reste est 1.
La division euclidienne de 157 par 12 s’écrit :
157 = 12 × 13 + 1
Petite astuce : le reste doit toujours être inférieur au diviseur. Ici, 1 est bien inférieur à 12, donc le résultat est cohérent.
Correction de l’exercice 7
On veut simplifier 54/72.
Calculons le PGCD de 54 et 72.
54 = 2 × 33
72 = 23 × 32
Les facteurs communs sont 2 × 32 = 18.
Donc PGCD(54 ; 72) = 18.
On divise le numérateur et le dénominateur par 18 :
54/72 = 3/4
La fraction simplifiée au maximum est 3/4.
Si tu veux retravailler cette compétence, va voir aussi les exercices sur la simplification des fractions.
Correction de l’exercice 8
Pour faire le plus grand nombre de bouquets identiques, on calcule le PGCD de 48 et 60.
48 = 24 × 3
60 = 22 × 3 × 5
Les facteurs communs sont 22 × 3 = 12.
Donc PGCD(48 ; 60) = 12.
Le fleuriste peut faire 12 bouquets.
Composition d’un bouquet :
48 ÷ 12 = 4 roses
60 ÷ 12 = 5 tulipes
Chaque bouquet contient donc 4 roses et 5 tulipes.
Ce type de problème ressemble beaucoup à ceux donnés au brevet. Derrière l’histoire des fleurs, il y a toujours une idée de partage maximal.
Correction de l’exercice 9
a) Si un nombre est divisible par 6, alors il est divisible par 3. Vrai.
Car 6 = 2 × 3. Un multiple de 6 contient forcément le facteur 3.
b) Si un nombre est divisible par 6, alors il est divisible par 12. Faux.
Exemple : 18 est divisible par 6, mais 18 n’est pas divisible par 12.
c) 91 est un nombre premier. Faux.
91 = 7 × 13.
Le nombre 91 piège souvent parce qu’il n’est ni pair, ni multiple de 3, ni multiple de 5. Pourtant il n’est pas premier.
Correction de l’exercice 10
On a 180 = 22 × 32 × 5.
1) Pour savoir si 180 est divisible par 15, on écrit :
15 = 3 × 5
Comme 180 contient bien les facteurs 3 et 5, 180 est divisible par 15.
2) Pour savoir si 180 est divisible par 12 :
12 = 22 × 3
Comme 180 contient 22 et 3, 180 est divisible par 12.
3) Les diviseurs premiers de 180 sont les nombres premiers présents dans sa décomposition :
2 ; 3 ; 5
Cette lecture directe d’une décomposition en facteurs premiers est une compétence très utile. Elle évite de refaire tous les calculs.
Correction de l’exercice 11
Calculons d’abord le PGCD de 126 et 210 avec l’algorithme d’Euclide.
210 = 126 × 1 + 84
126 = 84 × 1 + 42
84 = 42 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 42.
Donc PGCD(126 ; 210) = 42.
Vérification par décomposition :
126 = 2 × 32 × 7
210 = 2 × 3 × 5 × 7
Facteurs communs : 2 × 3 × 7 = 42
On retrouve bien 42.
L’algorithme d’Euclide porte le nom d’un mathématicien grec de l’Antiquité. Il est toujours enseigné car il reste redoutablement efficace, même avec de grands nombres.
Correction de l’exercice 12
On veut former le plus grand nombre de groupes identiques. Il faut donc calculer le PGCD de 84 et 126.
84 = 22 × 3 × 7
126 = 2 × 32 × 7
Facteurs communs : 2 × 3 × 7 = 42
Donc PGCD(84 ; 126) = 42.
On peut former 42 groupes.
Dans chaque groupe :
84 ÷ 42 = 2 élèves de 3e A
126 ÷ 42 = 3 élèves de 3e B
Chaque groupe contient donc 2 élèves de 3e A et 3 élèves de 3e B.
Tu peux comparer avec d’autres situations du même type dans les problèmes sur le PGCD en 3e.
Correction de l’exercice 13
Le nombre N est divisible par 6 et par 9.
Il doit donc être divisible par leur PPCM. En 3e, on peut aussi raisonner simplement : il doit contenir les facteurs de 6 et de 9.
6 = 2 × 3
9 = 32
Il faut donc que N soit divisible par 2 × 32 = 18.
On cherche les multiples de 18 entre 100 et 150 :
18 × 6 = 108
18 × 7 = 126
18 × 8 = 144
18 × 9 = 162, trop grand
Les nombres possibles sont donc 108, 126 et 144.
On enlève ceux qui sont divisibles par 5. Aucun ne se termine par 0 ou 5.
Les solutions sont :
108 ; 126 ; 144
Ce genre d’exercice prépare très bien aux problèmes de raisonnement du brevet, car il oblige à croiser plusieurs conditions.
Pour aller plus loin
Pour progresser vraiment en Exercices corrigés arithmetique 3ème, travaille toujours dans cet ordre : critères de divisibilité, nombres premiers, décomposition, puis PGCD et problèmes. C’est exactement la logique du programme officiel. Une fois cette fiche terminée, enchaîne avec les exercices type brevet sur l’arithmétique et le cours sur le PGCD en 3e.
Si tu veux, je peux aussi te préparer la version suivante : fiche imprimable avec mise en page HTML propre + tableau de compétences + barème sur 20.
