Addition et soustraction de fractions

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une classe de 5e, deux groupes travaillent sur une affiche. Le premier groupe colorie 1/4 de l’affiche en bleu, puis le second groupe colorie 3/8 de la même affiche en vert. Quelle fraction de l’affiche est coloriée au total ? Peut-on écrire directement 1/4 + 3/8 = 4/12 ? La réponse est non, car les parts appelées « quarts » et les parts appelées « huitièmes » n’ont pas la même taille. Avant d’additionner, il faut donc exprimer les deux fractions avec des parts de même taille.

Cette leçon a pour objectif d’apprendre à additionner et soustraire des fractions en classe de 5e, conformément aux attendus du cycle 4 : comprendre le sens d’une fraction, reconnaître des fractions égales, utiliser un dénominateur commun et effectuer un calcul fractionnaire simple. La difficulté principale n’est pas seulement de calculer, mais de comprendre ce que l’on compte. Si les fractions ont déjà le même dénominateur, les parts sont de même taille : on additionne ou on soustrait les numérateurs. Si les dénominateurs sont différents, il faut d’abord transformer une ou plusieurs fractions en fractions égales ayant un même dénominateur.

On retiendra le mot repère suivant : dénominateur commun. On peut le découper ainsi : dé-no-mi-na-teur com-mun. Par exemple, pour 1/3 + 1/6, le nombre 6 est un dénominateur commun car 1/3 = 2/6. On peut donc écrire 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6, puis simplifier si possible : 3/6 = 1/2.

2. Définition

Définition : Additionner ou soustraire des fractions, c’est calculer une somme ou une différence de nombres écrits sous forme fractionnaire. Lorsque les fractions ont le même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur commun. Lorsque les dénominateurs sont différents, on transforme d’abord les fractions en fractions égales ayant un même dénominateur.

Une fraction a/b, avec b ≠ 0, représente un quotient : a ÷ b. Le nombre a est le numérateur et le nombre b est le dénominateur. Le dénominateur indique en combien de parts égales l’unité est partagée. Le numérateur indique combien de ces parts on prend.

Les écritures importantes à connaître sont les suivantes : a/b + c/b = (a + c)/b et a/b - c/b = (a - c)/b, avec b ≠ 0. En majuscules, on peut retenir : ADDITION DE FRACTIONS et SOUSTRACTION DE FRACTIONS. L’idée essentielle est que l’on compte des parts de même taille. Par exemple, 2/7 + 3/7 = 5/7 : deux septièmes et trois septièmes donnent cinq septièmes.

Pour transformer une fraction sans changer sa valeur, on utilise les fractions égales : 1/4 = 2/8. En effet, on a multiplié le numérateur et le dénominateur par 2. Plus généralement, si k est un nombre non nul, alors a/b = (a × k)/(b × k). Cette règle est indispensable pour obtenir un MÊME DÉNOMINATEUR.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour tous nombres entiers a, c et tout entier non nul b, on a a/b + c/b = (a + c)/b et a/b - c/b = (a - c)/b. Pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents, on les remplace d’abord par des fractions égales ayant un dénominateur commun.

Cette propriété repose sur une idée simple : on ne peut additionner ou soustraire directement que des quantités de même nature. En fractions, cela signifie que les parts doivent avoir la même taille. Des huitièmes peuvent s’additionner avec des huitièmes ; des cinquièmes peuvent s’additionner avec des cinquièmes. Mais des quarts et des huitièmes ne se combinent pas directement : il faut convertir les quarts en huitièmes, ou choisir un autre dénominateur commun.

Première propriété : si les dénominateurs sont identiques, le calcul est direct. Par exemple, 5/9 - 2/9 = 3/9, puis on peut simplifier : 3/9 = 1/3. Le dénominateur 9 ne change pas, car les parts restent des neuvièmes.

Deuxième propriété : si un dénominateur est multiple de l’autre, on choisit souvent le plus grand comme dénominateur commun. Par exemple, pour 1/4 + 3/8, on remarque que 8 est un multiple de 4. On écrit donc 1/4 = 2/8, puis 2/8 + 3/8 = 5/8.

Troisième propriété : si aucun des deux dénominateurs n’est un multiple évident de l’autre, on peut utiliser le produit des deux dénominateurs. Par exemple, pour 1/3 + 1/5, on peut choisir 15 comme dénominateur commun : 1/3 = 5/15 et 1/5 = 3/15, donc 1/3 + 1/5 = 8/15.

4. Démonstration

Pour comprendre pourquoi on conserve le dénominateur lorsqu’il est commun, imaginons une unité découpée en b parts égales. Une fraction a/b signifie que l’on prend a parts parmi ces b parts. Une fraction c/b signifie que l’on prend c parts de même taille. Si l’on réunit les deux quantités, on prend au total a + c parts de taille 1/b. On obtient donc (a + c)/b. C’est la justification de la formule a/b + c/b = (a + c)/b.

Pour la soustraction, le raisonnement est semblable. Si l’on possède a parts de taille 1/b et que l’on en retire c, il reste a - c parts de taille 1/b. On obtient donc (a - c)/b, à condition que l’opération ait un sens dans la situation étudiée. En 5e, on travaille souvent avec des résultats positifs ou nuls, mais la règle reste cohérente avec les nombres relatifs étudiés progressivement.

Reste à expliquer pourquoi on peut transformer une fraction. Une fraction représente un partage. Si l’on découpe chaque part en le même nombre de sous-parts, la quantité totale ne change pas. Par exemple, 1/4 signifie une part lorsque l’unité est partagée en 4. Si l’on coupe chaque quart en 2, l’unité est partagée en 8 et le quart correspond à 2 huitièmes : 1/4 = 2/8. On a multiplié le numérateur et le dénominateur par 2, ce qui ne change pas la valeur de la fraction.

Ainsi, réduire au même dénominateur consiste à choisir une taille commune de parts pour pouvoir les compter correctement. La démonstration montre pourquoi il est faux d’écrire 1/4 + 1/8 = 2/12 : les dénominateurs ne s’additionnent pas, car ils indiquent la taille des parts, pas le nombre de parts prises.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. Je regarde d’abord les dénominateurs. Sont-ils identiques ? Par exemple, dans 3/11 + 5/11, le dénominateur commun est déjà 11.
2. Je décide si je dois transformer. Si les dénominateurs sont différents, je cherche un dénominateur commun. En 5e, on rencontre souvent le cas où l’un des dénominateurs est un multiple de l’autre : pour 4 et 8, on choisit 8 ; pour 3 et 12, on choisit 12.
3. Je transforme les fractions. Je multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul. Par exemple, pour passer de 1/4 à des huitièmes, je multiplie par 2 : 1/4 = 2/8.
4. J’applique la règle. Une fois les dénominateurs identiques, j’additionne ou je soustrais les numérateurs. Je conserve le dénominateur commun : 2/8 + 3/8 = 5/8.
5. Je vérifie le signe de l’opération. Additionner correspond à réunir, totaliser, ajouter. Soustraire correspond à enlever, comparer, chercher un reste ou une différence.
6. Je simplifie si possible. Je cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur. Par exemple, 3/6 = 1/2 et 9/12 = 3/4.
7. Je contrôle la vraisemblance. Le résultat doit être cohérent avec la situation. Par exemple, 1/4 + 1/8 est inférieur à 1/2, donc un résultat supérieur à 1 serait impossible.

Routine à retenir : 🔎 Je repère les dénominateurs ; 🧮 j’applique la transformation en fractions égales si nécessaire ; ✅ je vérifie le dénominateur commun, l’opération et la simplification.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Calculons 4/13 + 7/13. Les deux fractions ont le même dénominateur : 13. Les parts sont donc de même taille, ce sont des treizièmes. On additionne seulement les numérateurs :

4/13 + 7/13 = (4 + 7)/13 = 11/13.

Le résultat est 11/13. Il n’y a pas de simplification possible, car 11 et 13 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

Calculons maintenant une soustraction directe : 9/10 - 3/10. Les dénominateurs sont identiques, donc on soustrait les numérateurs :

9/10 - 3/10 = (9 - 3)/10 = 6/10.

Le résultat 6/10 peut être simplifié. Le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 2 : 6/10 = 3/5. La forme simplifiée est donc 3/5.

Ce premier exemple montre que le calcul est rapide lorsque les dénominateurs sont déjà les mêmes. L’erreur à éviter serait d’écrire 4/13 + 7/13 = 11/26. Le dénominateur ne devient pas 26, car on ne modifie pas la taille des parts : on compte simplement combien de treizièmes on possède au total.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Calculons 7/8 - 1/4. Cette fois, les dénominateurs sont différents : 8 et 4. On ne peut pas soustraire directement les numérateurs. On cherche un dénominateur commun. Comme 8 est un multiple de 4, on choisit 8.

On transforme 1/4 en huitièmes. Pour passer de 4 à 8, on multiplie le dénominateur par 2. Il faut donc multiplier aussi le numérateur par 2 :

1/4 = (1 × 2)/(4 × 2) = 2/8.

On remplace alors dans le calcul :

7/8 - 1/4 = 7/8 - 2/8 = (7 - 2)/8 = 5/8.

Le résultat est 5/8. Il n’est pas simplifiable, car 5 et 8 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

On peut aussi rencontrer une addition du même type : 2/3 + 1/6. Le dénominateur 6 est un multiple de 3. On écrit 2/3 = 4/6, puis 4/6 + 1/6 = 5/6. Ici encore, le choix du dénominateur commun rend les parts comparables. La méthode est donc toujours la même : repérer, transformer, calculer, vérifier.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Léa a lu 1/3 d’un roman le lundi et 1/6 du même roman le mardi. Quelle fraction du roman a-t-elle lue en tout ? Quelle fraction lui reste-t-il à lire ?

On commence par traduire la situation. Les mots « en tout » indiquent une addition : il faut calculer 1/3 + 1/6. Les dénominateurs sont 3 et 6. Comme 6 est un multiple de 3, on choisit 6 comme dénominateur commun.

On transforme la première fraction :

1/3 = (1 × 2)/(3 × 2) = 2/6.

On additionne :

1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6.

On simplifie :

3/6 = 1/2.

Léa a donc lu 1/2 du roman. Pour connaître la fraction qu’il lui reste à lire, on soustrait cette fraction à l’unité. Un roman entier correspond à 1, c’est-à-dire 1/1. Pour soustraire 1/2, on écrit l’unité sous la forme 2/2 :

1 - 1/2 = 2/2 - 1/2 = 1/2.

Il reste donc à Léa 1/2 du roman à lire. Ce problème montre l’importance de bien comprendre le sens des opérations : l’addition sert à trouver le total lu, la soustraction sert à trouver le reste. Il montre aussi que le résultat doit être interprété dans la situation, et pas seulement écrit sous forme de calcul.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : additionner aussi les dénominateurs, par exemple écrire 2/7 + 3/7 = 5/14 — À faire : revenir au sens des parts égales : 2 septièmes + 3 septièmes donnent 5 septièmes, donc 5/7.
• Erreur : calculer sans mettre au même dénominateur, par exemple 1/4 + 1/8 = 2/12 — À faire : transformer 1/4 en 2/8, puis calculer 2/8 + 1/8 = 3/8.
• Erreur : transformer seulement le dénominateur, par exemple écrire 1/3 = 1/6 — À faire : multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre : 1/3 = 2/6.
• Erreur : confondre addition et soustraction dans un énoncé — À faire : repérer le sens : « total », « en tout », « réunion » indiquent souvent une addition ; « reste », « écart », « différence » indiquent souvent une soustraction.
• Erreur : oublier de simplifier un résultat comme 3/6 — À faire : chercher un diviseur commun simple, notamment 2, 3 ou 5 ; ici 3/6 = 1/2.

10. À retenir

• Pour additionner ou soustraire deux fractions, les dénominateurs doivent être identiques.
• Si les dénominateurs sont déjà les mêmes, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.
• Formule d’addition : a/b + c/b = (a + c)/b, avec b ≠ 0.
• Formule de soustraction : a/b - c/b = (a - c)/b, avec b ≠ 0.
• Si les dénominateurs sont différents, on transforme les fractions en fractions égales ayant un dénominateur commun.
• Pour obtenir une fraction égale, on multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
• Quand un dénominateur est multiple de l’autre, on choisit souvent ce multiple comme dénominateur commun.
• Après le calcul, on vérifie l’opération, le dénominateur conservé et la possibilité de simplifier le résultat.
• Le dénominateur indique la taille des parts ; le numérateur indique le nombre de parts. C’est pourquoi on ne doit pas additionner les dénominateurs.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : addition et soustraction de fractions en 5e. Le fichier peut contenir des calculs progressifs, des problèmes courts et des questions de méthode pour s’entraîner à réduire au même dénominateur.

Aperçu des types d’exercices proposés : Même dénominateur, avec des calculs comme 3/8 + 2/8 ou 7/9 - 4/9 ; Un dénominateur est multiple de l’autre, avec des calculs comme 1/4 + 3/8 ou 5/6 - 1/3 ; Remettre les étapes dans l’ordre, pour apprendre à repérer, transformer, calculer et simplifier ; Traduire une situation, pour choisir entre addition et soustraction ; Calculs mélangés, pour vérifier que la méthode est bien automatisée.

Barème possible sur 10 points : identifier correctement si les dénominateurs sont égaux ou non, 2 points ; transformer une fraction en fraction égale avec un dénominateur commun, 3 points ; additionner ou soustraire correctement les numérateurs, 3 points ; conserver le dénominateur commun et respecter l’opération, 1 point ; simplifier le résultat lorsque c’est attendu, 1 point.

Pour s’entraîner efficacement, il est conseillé d’écrire toutes les étapes, même lorsque le calcul paraît simple. Une copie claire doit montrer le choix du dénominateur commun, la transformation des fractions, le calcul des numérateurs et la simplification finale.

12. Questions fréquentes