Addition et soustraction de nombres relatifs

1. Introduction et problématique

Situation-problème : un matin d’hiver, la température est de -3 °C. Dans la journée, elle augmente de 7 °C. Quelle température fait-il ensuite ? On traduit la situation par le calcul : (-3) + (+7). On ne peut pas seulement additionner 3 et 7, car les signes indiquent des directions opposées : partir sous zéro puis monter. La réponse est +4 °C, donc 4 °C.

En classe de 5e, les nombres relatifs permettent de représenter des quantités positives, négatives ou nulles : une température, une altitude, un gain, une perte, une dette, un déplacement vers la droite ou vers la gauche. L’objectif est de maîtriser l’addition et la soustraction de nombres relatifs en choisissant la bonne règle selon les signes.

Le mot repère de cette leçon est tem-pé-ra-ture : par exemple, partir de -3 °C puis ajouter +7 °C donne (-3) + (+7) = +4 °C. Cette image aide à comprendre que le signe donne un sens au nombre. Une hausse correspond à un nombre positif, une baisse à un nombre négatif.

La problématique est donc la suivante : comment calculer correctement une addition ou une soustraction de nombres relatifs sans se tromper de signe ?

2. Définition

Définition : Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe : positif, négatif ou nul. Les nombres positifs s’écrivent avec le signe +, par exemple +8, ou sans signe, par exemple 8. Les nombres négatifs s’écrivent avec le signe -, par exemple -8. Deux nombres sont opposés lorsqu’ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires : +8 et -8 sont opposés.

La distance à zéro d’un nombre relatif est la distance entre ce nombre et 0 sur une droite graduée. Par exemple, +6 et -6 sont tous les deux à 6 unités de 0. Leur distance à zéro est donc 6.

Additionner des nombres relatifs, c’est combiner des quantités qui peuvent aller dans le même sens ou dans des sens contraires. Soustraire un nombre relatif, c’est ajouter son opposé. Cette idée est essentielle : a - b = a + opposé de b.

Les écritures à connaître sont :

• Addition de même signe positif : (+a) + (+b) = +(a + b).
• Addition de même signe négatif : (-a) + (-b) = -(a + b).
• Addition de signes contraires : (+a) + (-b) ou (-a) + (+b), on compare les distances à zéro.
• Soustraction d’un relatif : a - b = a + opposé de b.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun. Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro. Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.

Ces règles constituent la base de l’addition relatifs 5e et de la soustraction nombres relatifs. Elles doivent être appliquées dans l’ordre : d’abord repérer l’opération, puis repérer les signes, enfin calculer.

Si les deux nombres sont positifs, le résultat est positif. Par exemple : (+5) + (+9) = +14. On avance deux fois dans le sens positif.

Si les deux nombres sont négatifs, le résultat est négatif. Par exemple : (-5) + (-9) = -14. On avance deux fois dans le sens négatif.

Si les deux nombres sont de signes contraires, ils se compensent partiellement. Par exemple : (-12) + (+5) = -7, car 12 est plus grand que 5 et le nombre ayant la plus grande distance à zéro est négatif.

Enfin, pour une soustraction, on ne calcule pas directement : on transforme d’abord. Par exemple : (+4) - (-6) = (+4) + (+6) = +10.

4. Démonstration

Pour comprendre les règles, on peut utiliser une droite graduée. Un nombre positif correspond à un déplacement vers la droite ; un nombre négatif correspond à un déplacement vers la gauche.

Calculons d’abord (+3) + (+5). On part de 0, on avance de 3 unités vers la droite, puis encore de 5 unités vers la droite. On arrive à +8. Les deux déplacements ont le même sens positif, donc on additionne 3 et 5, et on garde le signe +.

Calculons ensuite (-3) + (-5). On part de 0, on recule de 3 unités vers la gauche, puis encore de 5 unités vers la gauche. On arrive à -8. Les deux déplacements ont le même sens négatif, donc on additionne les distances à zéro 3 et 5, et on garde le signe -.

Pour des signes contraires, prenons (-9) + (+4). On part de 0, on va 9 unités vers la gauche, puis 4 unités vers la droite. Le déplacement vers la gauche est le plus grand : il reste 5 unités vers la gauche. On obtient donc -5. On a soustrait 9 - 4 = 5 et gardé le signe du nombre le plus éloigné de 0, c’est-à-dire -9.

Pour la soustraction, observons : retirer une dette revient à gagner. Si j’ai 2 € et que l’on m’enlève une dette de 5 €, ma situation augmente de 5 €. Donc (+2) - (-5) = (+2) + (+5) = +7. Ainsi, soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé.

5. Méthode pas à pas

Routine de calcul : Je repère / J’applique / Je vérifie.

1. 🔎 Je repère : j’identifie l’opération. Est-ce une addition ou une soustraction ? Je regarde aussi les signes des nombres : même signe, signes contraires ou présence d’une soustraction.
2. 🧮 J’applique : si c’est une addition de même signe, j’additionne les distances à zéro et je garde le signe commun. Si c’est une addition de signes contraires, je soustrais les distances à zéro et je garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
3. 🧮 Je transforme si besoin : si c’est une soustraction, je la remplace par une addition de l’opposé. Par exemple : (-6) - (+4) devient (-6) + (-4).
4. ✅ Je vérifie : je contrôle le signe du résultat. Si les deux nombres sont négatifs, le résultat ne peut pas être positif. Si les signes sont contraires, je vérifie quel nombre est le plus éloigné de zéro.
5. ✅ Je conclus : j’écris le résultat proprement, avec ou sans le signe + pour un nombre positif selon le contexte. En phase d’apprentissage, il est conseillé de conserver le signe +.

Cette méthode évite les erreurs classiques sur la règle des signes. Attention : la règle des signes de la multiplication n’est pas utilisée ici. Dans cette leçon, on parle seulement d’addition et de soustraction de nombres relatifs.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut calculer : (-8) + (-5).

Étape 1 : repérer l’opération. C’est une addition.

Étape 2 : repérer les signes. Les deux nombres sont négatifs. Ils ont donc le même signe.

Étape 3 : appliquer la règle. Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.

Les distances à zéro sont 8 et 5. On calcule : 8 + 5 = 13.

Le signe commun est -, donc le résultat est -13.

On écrit :

(-8) + (-5) = -13

Vérification : les deux nombres sont négatifs, donc le résultat doit être négatif. -13 est cohérent.

Autre exemple de même signe positif : (+6) + (+11) = +17. On additionne 6 et 11, puis on garde le signe +.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On veut calculer : (+7) - (-9).

Étape 1 : repérer l’opération. C’est une soustraction. Il ne faut pas appliquer directement une règle d’addition.

Étape 2 : transformer la soustraction. Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. L’opposé de -9 est +9.

Donc :

(+7) - (-9) = (+7) + (+9)

Étape 3 : calculer l’addition obtenue. Les deux nombres sont positifs. On additionne les distances à zéro : 7 + 9 = 16, et on garde le signe +.

On obtient :

(+7) - (-9) = +16

Vérification : enlever un nombre négatif fait augmenter le résultat. Il est donc logique que +7 devienne +16.

Autre exemple : (-4) - (+6) = (-4) + (-6) = -10. Ici, on soustrait un nombre positif, donc on ajoute un nombre négatif.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un plongeur se trouve à -18 m par rapport au niveau de la mer. Il remonte de 7 m, puis redescend de 4 m. À quelle profondeur se trouve-t-il à la fin ?

Étape 1 : traduire la situation. La position initiale est -18. Remonter de 7 m correspond à ajouter +7. Redescendre de 4 m correspond à ajouter -4.

Le calcul est donc :

(-18) + (+7) + (-4)

Étape 2 : calculer de gauche à droite.

(-18) + (+7) : les signes sont contraires. On soustrait les distances à zéro : 18 - 7 = 11. On garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro, c’est-à-dire -18. Donc (-18) + (+7) = -11.

Il reste :

(-11) + (-4)

Les deux nombres sont négatifs. On additionne les distances à zéro : 11 + 4 = 15, puis on garde le signe -.

Résultat : le plongeur se trouve à -15 m, c’est-à-dire 15 m sous le niveau de la mer.

Ce type de problème montre l’importance de traduire correctement les mots : monter, gagner, recevoir ou augmenter correspondent souvent à + ; descendre, perdre, payer ou diminuer correspondent souvent à -.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : additionner toujours les distances à zéro, même avec des signes contraires — À faire : comparer deux forces opposées ou utiliser une droite graduée. Exemple : (-10) + (+3) = -7, et non -13.
• Erreur : oublier de transformer une soustraction — À faire : reformuler : soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé. Exemple : (+5) - (-2) = (+5) + (+2).
• Erreur : trouver la bonne valeur mais écrire le mauvais signe — À faire : entourer le nombre qui a la plus grande distance à zéro avant de conclure.
• Erreur : écrire deux signes consécutifs sans parenthèses, par exemple 6 - -4 — À faire : conserver les parenthèses pendant les premières étapes : (+6) - (-4) = (+6) + (+4).
• Erreur : mal traduire une situation concrète — À faire : associer chaque mot à un signe : gagner ou monter vers +, perdre ou descendre vers -.

Une autre confusion fréquente consiste à mélanger addition et multiplication. La phrase « deux signes moins donnent plus » concerne souvent la multiplication ou la transformation d’une soustraction, mais elle ne signifie pas que (-4) + (-3) serait positif. En addition, (-4) + (-3) = -7.

10. À retenir

• Un nombre relatif possède un signe : +, - ou 0.
• La distance à zéro d’un nombre est sa distance par rapport à 0 sur une droite graduée.
• Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires : +12 et -12.
• Pour additionner deux nombres de même signe, on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
• Pour additionner deux nombres de signes contraires, on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro.
• Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé : a - b = a + opposé de b.
• En apprentissage, il est utile d’écrire les nombres positifs avec le signe + : +7 au lieu de 7.
• La routine efficace est : je repère, j’applique, je vérifie.

Exemples essentiels à mémoriser : (+4) + (+6) = +10 ; (-4) + (-6) = -10 ; (-9) + (+2) = -7 ; (+3) - (-8) = (+3) + (+8) = +11.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur l’addition et la soustraction de nombres relatifs en 5e.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Compléter le tableau de calculs : calculer des additions de nombres relatifs avec même signe ou signes contraires.
• Choisir la bonne règle : reconnaître si l’on doit additionner les distances à zéro ou les soustraire.
• Transformer pour calculer : remplacer chaque soustraction par une addition de l’opposé.
• Traduire une situation : écrire un calcul à partir d’une température, d’un gain, d’une perte, d’une montée ou d’une descente.
• Calculs mélangés : enchaîner additions et soustractions avec des nombres positifs et négatifs.

Barème possible pour un corrigé sur 20 points :

• Identifier correctement les signes et le type d’opération : 4 points.
• Appliquer la règle d’addition de nombres de même signe : 4 points.
• Appliquer la règle d’addition de nombres de signes contraires : 4 points.
• Transformer correctement une soustraction en addition de l’opposé : 5 points.
• Présenter un résultat exact avec un signe cohérent : 3 points.

Conseil de travail : avant de calculer, écrire sous chaque exercice « même signe », « signes contraires » ou « soustraction à transformer ». Cette courte étape permet souvent d’éviter les erreurs de signe.

12. Questions fréquentes