Priorités opératoires : parenthèses, × ÷ puis + −

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une classe de 5e, deux élèves calculent l’expression A = 5 + 2 × (9 − 4). Le premier affirme : « Je lis de gauche à droite : 5 + 2 = 7, puis 7 × 9 = 63, puis 63 − 4 = 59. » Le second répond : « Non, il faut commencer par les parenthèses : 9 − 4 = 5, puis multiplier par 2, puis ajouter 5. Donc A = 15. » Qui a raison ? Pourquoi ?

Cette situation montre qu’une expression numérique n’est pas toujours calculée dans l’ordre où elle est écrite. En mathématiques, il existe des règles communes, appelées priorités opératoires, qui permettent à tous d’obtenir le même résultat. Sans ces règles, une même expression pourrait donner plusieurs réponses, ce qui rendrait les calculs ambigus.

En 5e, l’objectif est de savoir calculer une expression numérique avec parenthèses, en respectant l’ordre des opérations : d’abord les parenthèses et les crochets, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions. On apprend aussi à écrire les étapes proprement, sans modifier l’expression, et à contrôler son résultat.

Le mot-repère peut être : PEMDAS simplifié. Pour l’expression A = 5 + 2 × (9 − 4), on retient : Parenthèses : (9 − 4) = 5 ; puis multiplication : 2 × 5 = 10 ; puis addition : 5 + 10 = 15.

2. Définition

Définition : Une expression numérique est une suite de nombres reliés par des opérations comme +, −, ×, ÷, avec parfois des parenthèses, des crochets ou des puissances. Les priorités opératoires sont les règles qui indiquent dans quel ordre effectuer ces opérations pour obtenir un seul résultat correct.

Les symboles importants à reconnaître sont : ( ), les parenthèses ; [ ], les crochets ; × et ÷, la multiplication et la division ; + et −, l’addition et la soustraction ; ainsi que les puissances comme 3² ou 2³.

Une expression numérique peut être simple, par exemple 7 + 3 × 4, ou plus complexe, par exemple 18 − [6 + 2 × (5 − 1)]. Dans tous les cas, on ne choisit pas l’ordre des calculs au hasard : on suit une méthode précise.

Les parenthèses servent à imposer un calcul prioritaire. Par exemple, dans 4 + 6 × 2, on calcule d’abord 6 × 2, donc le résultat est 16. Mais dans (4 + 6) × 2, les parenthèses imposent de calculer 4 + 6 d’abord, donc le résultat est 20. Les deux expressions utilisent les mêmes nombres, mais elles ne signifient pas la même chose.

Une bonne habitude consiste à lire une expression en cherchant d’abord les signes qui organisent le calcul, et non en effectuant immédiatement la première opération rencontrée.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans une expression numérique, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses ou crochets, en commençant par les plus intérieurs. Ensuite, on calcule les puissances s’il y en a. Puis on effectue les multiplications et les divisions de gauche à droite. Enfin, on effectue les additions et les soustractions de gauche à droite.

En 5e, on utilise surtout la règle suivante : parenthèses et crochets d’abord, puis × et ÷, puis + et −. Cette règle est essentielle pour les calculs numériques, mais aussi pour les problèmes, les formules de géométrie, les programmes de calcul et les expressions littérales étudiées plus tard.

Les opérations de même priorité se calculent dans l’ordre de lecture, c’est-à-dire de gauche à droite. Ainsi, dans 24 ÷ 3 × 2, la division et la multiplication ont la même priorité. On calcule donc 24 ÷ 3 = 8, puis 8 × 2 = 16. Il ne faut pas commencer par 3 × 2, car cela changerait l’expression.

De même, dans 20 − 5 + 2, la soustraction et l’addition ont la même priorité. On calcule donc 20 − 5 = 15, puis 15 + 2 = 17. Si l’on commençait par 5 + 2, on obtiendrait 13, ce qui serait faux pour cette expression.

Quand une expression contient une puissance, par exemple 2 + 3² × 4, on calcule d’abord 3² = 9, puis 9 × 4 = 36, puis 2 + 36 = 38. Il ne faut pas confondre 2 + 3² avec (2 + 3)².

4. Démonstration

Les priorités opératoires ne sont pas une démonstration au sens d’un théorème de géométrie, mais elles reposent sur une convention mathématique indispensable. Une convention est une règle acceptée par tous pour éviter les ambiguïtés. Par exemple, si l’on écrit 7 + 3 × 4, on veut que tous les élèves, tous les enseignants et toutes les calculatrices donnent le même résultat.

Imaginons qu’il n’existe aucune règle. Certains pourraient calculer de gauche à droite : 7 + 3 = 10, puis 10 × 4 = 40. D’autres pourraient calculer la multiplication d’abord : 3 × 4 = 12, puis 7 + 12 = 19. La même écriture aurait alors deux résultats différents, ce qui serait impossible à utiliser dans un raisonnement mathématique.

Pour éviter cela, on décide que la multiplication représente souvent un groupement répété plus fort que l’addition. Dans 7 + 3 × 4, l’expression signifie : « 7 auquel on ajoute le produit de 3 par 4 ». Le produit 3 × 4 forme donc un bloc. On obtient 7 + 12 = 19.

Les parenthèses permettent de modifier cette organisation. Dans (7 + 3) × 4, elles indiquent explicitement que 7 + 3 doit devenir un bloc. On calcule alors 10 × 4 = 40. Les parenthèses sont donc un outil de précision : elles disent au lecteur quelle partie doit être calculée avant le reste.

Les crochets jouent le même rôle, surtout quand il y a déjà des parenthèses. Dans [8 + (6 − 2)] × 3, on calcule d’abord l’intérieur : 6 − 2 = 4, puis 8 + 4 = 12, puis 12 × 3 = 36. On va toujours du plus intérieur vers l’extérieur.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. Je lis l’expression sans calculer tout de suite. Je cherche d’abord les parenthèses ( ) ou les crochets [ ]. S’il y en a plusieurs, je commence par les calculs les plus intérieurs.
2. J’identifie les opérations prioritaires. Après les parenthèses, je repère les puissances éventuelles, puis les multiplications et divisions. Je peux les souligner légèrement au brouillon.
3. J’applique l’ordre des priorités. Je calcule les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions de gauche à droite, puis les additions et soustractions de gauche à droite.
4. J’écris une ligne complète à chaque étape. Je ne recopie pas seulement le morceau calculé : je conserve tous les nombres et tous les signes non encore utilisés. Cela évite d’oublier une opération.
5. Je vérifie. Je relis l’expression de départ et mes étapes. Je contrôle que je n’ai pas changé l’ordre des nombres, que je n’ai pas inversé une soustraction ou une division, et que le résultat final est cohérent.

La routine à mémoriser est : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère les parenthèses, les crochets, les × et ÷ ; j’applique la règle dans le bon ordre ; je vérifie que mon calcul respecte exactement l’expression donnée.

Il est conseillé de ne faire qu’un ou deux calculs par ligne au début. Avec l’habitude, on peut regrouper certaines étapes, mais seulement si l’on ne risque pas de se tromper. En 5e, la qualité des étapes est aussi importante que le résultat final.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Calculons l’expression suivante : A = 7 + 3 × 4.

Il n’y a pas de parenthèses. On repère les opérations : une addition et une multiplication. La multiplication est prioritaire sur l’addition. On calcule donc d’abord 3 × 4.

A = 7 + 3 × 4

A = 7 + 12

A = 19

Le résultat est donc A = 19. L’erreur classique serait de commencer par 7 + 3, car on lit l’expression de gauche à droite. Cela donnerait 10 × 4 = 40, mais ce n’est pas le calcul demandé.

Étudions maintenant un exemple avec des opérations de même priorité : B = 24 ÷ 3 × 2. La division et la multiplication ont la même priorité. On calcule donc de gauche à droite.

B = 24 ÷ 3 × 2

B = 8 × 2

B = 16

Il ne faut pas calculer 3 × 2 d’abord, car aucune parenthèse ne l’impose. On doit respecter l’ordre gauche-droite pour les opérations de même priorité.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Dans un cas inverse, on cherche à retrouver l’expression qui correspond à un résultat ou à une phrase. Par exemple : « Je choisis 8, j’ajoute 4, puis je multiplie le résultat par 3. » Quelle expression faut-il écrire ?

Le mot résultat est important. Il signifie que l’on multiplie par 3 non pas seulement le nombre 4, mais toute la somme 8 + 4. Il faut donc utiliser des parenthèses :

C = (8 + 4) × 3

On calcule :

C = 12 × 3

C = 36

Si l’on écrivait 8 + 4 × 3, on ne traduirait pas la phrase correctement. Cette expression donnerait :

8 + 4 × 3 = 8 + 12 = 20

Les deux résultats, 36 et 20, sont différents. La différence vient uniquement de la présence ou de l’absence des parenthèses.

Autre exemple : « Le triple de la différence entre 15 et 7. » La différence entre 15 et 7 doit être calculée d’abord. On écrit donc 3 × (15 − 7), et non 3 × 15 − 7. Le calcul donne :

3 × (15 − 7) = 3 × 8 = 24.

Traduire une phrase en calcul demande donc de repérer les groupes de mots : « la somme de », « la différence entre », « le produit de », « le quotient de », « le résultat obtenu ». Ces expressions indiquent souvent où placer des parenthèses.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un cinéma propose une sortie pour un groupe. Chaque élève paie 6 € pour la place. Le groupe achète aussi 4 paquets de pop-corn à 3 € chacun. Le professeur utilise un bon de réduction de 5 €. Il y a 12 élèves. Quel est le prix total à payer ?

On commence par traduire la situation. Le prix des places est 12 × 6. Le prix des pop-corn est 4 × 3. On additionne ces deux montants, puis on enlève la réduction de 5 €. On peut écrire :

D = 12 × 6 + 4 × 3 − 5

On applique les priorités opératoires. Les multiplications sont prioritaires :

D = 72 + 12 − 5

Il reste seulement des additions et soustractions, de même priorité. On calcule de gauche à droite :

D = 84 − 5

D = 79

Le prix total à payer est donc 79 €.

On peut aussi écrire une expression avec des parenthèses pour mettre en évidence les deux dépenses avant la réduction :

D = (12 × 6 + 4 × 3) − 5

Les parenthèses ne changent pas ici le résultat si elles entourent tout le total des dépenses. Elles aident seulement à comprendre la situation. En revanche, écrire 12 × (6 + 4) × 3 − 5 serait faux, car cela signifierait que l’on additionne un prix et un nombre de paquets, puis que l’on multiplie tout d’une autre manière.

Dans un problème concret, les priorités opératoires ne servent donc pas seulement à calculer : elles permettent aussi de traduire correctement une situation réelle.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Calculer 7 + 3 × 4 en commençant par 7 + 3. — À faire : Souligner d’abord les multiplications et divisions prioritaires : 3 × 4, puis ajouter 7.
• Erreur : Oublier de calculer les parenthèses en premier dans 5 × (8 − 2). — À faire : Entourer les parenthèses avant tout calcul, puis écrire 5 × 6 = 30.
• Erreur : Inverser l’ordre dans une soustraction ou une division, par exemple calculer 20 − 5 + 2 comme 20 − 7. — À faire : Rappeler que les additions et soustractions se calculent de gauche à droite lorsqu’elles sont seules.
• Erreur : Supprimer un nombre ou un signe en recopiant trop vite les étapes. — À faire : Écrire une ligne complète à chaque étape avec tous les signes non encore calculés.
• Erreur : Confondre 2 + 3² avec (2 + 3)². — À faire : Calculer la puissance d’abord : 2 + 3² = 2 + 9 = 11, alors que (2 + 3)² = 5² = 25.

La plupart des erreurs viennent d’une lecture trop rapide. Avant de calculer, il faut observer la structure de l’expression. Un bon calcul commence souvent par un bon repérage.

10. À retenir

• Une expression numérique se calcule en respectant des règles appelées priorités opératoires.
• On calcule d’abord les parenthèses et les crochets, en commençant par les plus intérieurs.
• S’il y a des puissances, comme 3² ou 2³, on les calcule après les parenthèses et avant les multiplications et divisions.
• Les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions.
• Les opérations de même priorité se calculent de gauche à droite.
• Les parenthèses peuvent changer complètement le résultat : 4 + 6 × 2 = 16, mais (4 + 6) × 2 = 20.
• À chaque étape, on recopie toute l’expression non encore calculée pour éviter les oublis.
• La routine utile est : Je repère / J’applique / Je vérifie.

Une phrase simple à mémoriser est : Parenthèses, puissances, × ÷, + −. En 5e, on insiste surtout sur : parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Priorités opératoires 5e : parenthèses, × ÷ puis + − » avec corrigé et barème.

Les exercices d’application peuvent être organisés en plusieurs types. Dans Calculer dans le bon ordre, l’élève doit effectuer des expressions comme 6 + 5 × 2, (6 + 5) × 2, 30 ÷ 5 + 7 ou 18 − 3 × 4. L’objectif est d’automatiser les priorités.

Dans Repérer la première opération, il ne s’agit pas encore de tout calculer : il faut seulement indiquer quelle opération doit être faite en premier. Par exemple, dans 9 + 2 × (10 − 6), la première opération est 10 − 6.

Dans Remettre les étapes dans l’ordre, plusieurs lignes de calcul sont données dans le désordre. L’élève doit reconstruire le raisonnement correct, ce qui l’aide à comprendre l’enchaînement logique des calculs.

Dans Traduire une phrase en calcul, on travaille le passage du langage courant à l’écriture mathématique : « le produit de 5 par la somme de 3 et 7 » devient 5 × (3 + 7).

Dans Vrai ou faux ?, l’élève doit analyser des calculs déjà faits, repérer les erreurs et les corriger. Le barème peut attribuer 4 points au repérage des parenthèses et crochets, 4 points au respect de la priorité des multiplications et divisions, 4 points au calcul de gauche à droite pour les opérations de même priorité, 4 points à l’écriture correcte des étapes intermédiaires et 4 points à la vérification du résultat.

12. Questions fréquentes