Construction d'un triangle : 3 longueurs ou 2 longueurs + 1 angle

1. Introduction et problématique

En géométrie, construire une figure ne signifie pas seulement la dessiner « à peu près ». Cela signifie réaliser une figure qui respecte exactement des données : des longueurs, des angles, des alignements, des points, des cercles. En classe de 5e, on apprend à construire un triangle à partir d’informations précises, en utilisant les instruments adaptés : la règle graduée, le compas, le rapporteur et parfois l’équerre.

La situation-problème est la suivante : on veut construire un triangle ABC. On connaît soit les trois longueurs de ses côtés, par exemple AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm ; soit deux longueurs et un angle, par exemple AB = 6 cm, AC = 5 cm et angle BAC = 40°. Comment être sûr que la figure construite est correcte ? Comment savoir, avant même de commencer, si les trois longueurs données permettent vraiment de former un triangle ?

Cette leçon répond à ces questions. Elle permet de reconnaître les données d’un triangle, de choisir une méthode de construction, de vérifier la constructibilité avec l’inégalité triangulaire, puis de rédiger un programme de construction clair. Le mot repère est constructible : un triangle de côtés 4 cm, 5 cm et 7 cm est constructible car 7 < 4 + 5. Le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres.

2. Définition

Définition : Construire un triangle, c’est tracer un triangle qui respecte exactement les données fournies : longueurs de côtés, mesure d’un angle, position des points. Un triangle est dit constructible lorsque les données permettent réellement de former un triangle. Par exemple, si l’on connaît trois longueurs, elles doivent vérifier l’inégalité triangulaire.

Les données peuvent être écrites sous plusieurs formes. Une longueur s’écrit par exemple AB = 6 cm, ce qui signifie que le segment [AB] mesure 6 cm. Une relation comme AC + BC > AB est une inégalité triangulaire : elle compare une somme de longueurs avec une autre longueur. Un angle s’écrit par exemple angle BAC = 40°. Dans ce nom, la lettre du milieu, A, désigne le sommet de l’angle. Enfin, un arc de cercle se trace avec le compas : il représente tous les points situés à une même distance d’un point donné.

Il faut distinguer deux grands cas étudiés ici. Dans le premier cas, on connaît les trois longueurs du triangle. On utilise alors principalement la règle graduée et le compas. Dans le second cas, on connaît deux longueurs et l’angle compris entre ces deux longueurs. On utilise alors la règle graduée et le rapporteur, puis on relie les points obtenus.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour qu’un triangle soit constructible à partir de trois longueurs données, la plus grande longueur doit être strictement inférieure à la somme des deux autres. C’est l’inégalité triangulaire. Si les longueurs sont a, b et c, avec c la plus grande, alors le triangle est constructible si c < a + b.

Dans tout triangle ABC, on a les trois inégalités suivantes : AB < AC + BC, AC < AB + BC et BC < AB + AC. En pratique, pour vérifier la constructibilité, il suffit de comparer le plus grand côté avec la somme des deux autres. Si cette comparaison est vraie, les autres le sont aussi.

Attention au cas d’égalité. Si le plus grand côté est égal à la somme des deux autres, par exemple 9 = 4 + 5, on ne peut pas construire un triangle non aplati. Les trois points seraient alignés : ce n’est pas un triangle au sens géométrique habituel. Il faut donc une inégalité stricte : le plus grand côté doit être inférieur à la somme des deux autres, et non égal.

Pour construire un triangle avec deux longueurs et l’angle compris entre elles, par exemple AB = 6 cm, AC = 5 cm et angle BAC = 40°, la construction est directe. On trace d’abord un côté, puis on construit l’angle au bon sommet, puis on place le troisième point à la bonne distance. Dans ce cas, l’angle doit être placé entre les deux côtés connus.

4. Démonstration

On peut expliquer l’inégalité triangulaire avec une idée simple : dans un triangle, le chemin direct entre deux points est plus court que le chemin qui passe par un troisième point. Par exemple, dans un triangle ABC, aller directement de A à B correspond à la longueur AB. Aller de A à B en passant par C correspond à AC + CB. Le chemin direct ne peut pas être plus long que le détour ; on a donc AB < AC + CB lorsque les trois points ne sont pas alignés.

Cette idée vaut pour chaque côté du triangle. Le côté AB doit être plus court que AC + CB, le côté AC doit être plus court que AB + BC, et le côté BC doit être plus court que BA + AC. C’est pour cela que la plus grande longueur doit rester strictement inférieure à la somme des deux autres longueurs.

La construction au compas illustre aussi cette propriété. Si l’on trace d’abord [AB], puis un cercle de centre A et de rayon AC, et un cercle de centre B et de rayon BC, le point C doit se trouver à l’intersection des deux cercles. Si les cercles se coupent, il existe un ou deux points possibles pour C, donc le triangle est constructible. Si les cercles ne se coupent pas, aucune position de C ne respecte les deux distances demandées. Si les cercles se touchent en un seul point aligné avec A et B, on obtient une figure aplatie, pas un triangle non aplati.

Ainsi, le théorème n’est pas seulement une règle à apprendre : il correspond à une réalité géométrique. Les arcs de cercle montrent tous les points situés à une distance donnée. Leur intersection donne les points qui respectent simultanément deux distances. La vérification numérique évite donc de commencer une construction impossible.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les données. Je lis l’énoncé et je souligne les longueurs, par exemple AB = 6 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Je repère aussi les angles, par exemple angle BAC = 40°.
2. Je reconnais le type de construction. Si j’ai trois longueurs, j’utiliserai surtout la règle graduée et le compas. Si j’ai deux longueurs et l’angle compris entre elles, j’utiliserai la règle graduée et le rapporteur.
3. Je vérifie la constructibilité dans le cas de trois longueurs. J’entoure la plus grande longueur. Je compare cette longueur avec la somme des deux autres. Si le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres, le triangle est constructible.
4. Je choisis une base facile à tracer. En général, je trace d’abord le plus grand côté, par exemple [AB]. Cela rend la construction plus lisible.
5. Je construis avec le compas si trois longueurs sont données. Je trace un premier segment, puis je reporte les deux autres longueurs à partir des extrémités de ce segment avec des arcs de cercle.
6. Je construis avec le rapporteur si un angle est donné. Je trace un premier côté, je place le rapporteur au bon sommet, je marque la mesure de l’angle, puis je trace la demi-droite correspondante.
7. Je place le troisième point. Ce point est soit l’intersection de deux arcs de cercle, soit un point situé sur une demi-droite à une distance donnée.
8. Je relie les points. Je trace les côtés du triangle proprement, au crayon fin, en utilisant la règle.
9. Je vérifie. Je contrôle les longueurs avec la règle graduée, les angles avec le rapporteur, et je vérifie que la figure respecte toutes les données.
10. Je rédige le programme. J’utilise des verbes précis : tracer, placer, reporter, construire, relier, vérifier.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm.

On commence par vérifier la constructibilité. La plus grande longueur est 6 cm. On compare 6 avec 4 + 5. Or 4 + 5 = 9 et 6 < 9. Le triangle est donc constructible. Il est inutile de vérifier toutes les autres inégalités si l’on a bien identifié le plus grand côté.

Programme de construction :

1. Tracer un segment [AB] de longueur 6 cm.
2. Ouvrir le compas à 4 cm. Tracer un arc de cercle de centre A.
3. Ouvrir le compas à 5 cm. Tracer un arc de cercle de centre B.
4. Nommer C l’un des points d’intersection des deux arcs.
5. Tracer les segments [AC] et [BC].
6. Vérifier que AC = 4 cm et BC = 5 cm.

Remarque importante : les deux arcs peuvent se couper en deux points, l’un au-dessus du segment [AB] et l’autre au-dessous. Ces deux constructions sont correctes : elles donnent deux triangles symétriques par rapport à la droite (AB). Si l’énoncé ne précise pas de côté particulier, on peut choisir l’un des deux points.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On donne trois longueurs : 3 cm, 4 cm et 8 cm. Peut-on construire un triangle avec ces trois longueurs ?

Ici, il ne faut pas commencer par tracer. On doit d’abord vérifier l’inégalité triangulaire. La plus grande longueur est 8 cm. On compare 8 avec la somme des deux autres longueurs : 3 + 4 = 7. Or 8 > 7. Le plus grand côté est supérieur à la somme des deux autres. Le triangle n’est donc pas constructible.

Si l’on essaie malgré tout de construire la figure, les arcs de cercle ne se couperont pas. Par exemple, si on trace un segment de 8 cm, puis un arc de centre A et de rayon 3 cm, et un arc de centre B et de rayon 4 cm, les arcs resteront séparés. Aucun point C ne pourra être à la fois à 3 cm de A et à 4 cm de B.

Considérons maintenant les longueurs 3 cm, 4 cm et 7 cm. La plus grande longueur est 7 cm et 3 + 4 = 7. On a une égalité, pas une inégalité stricte. Les trois points seraient alignés : on obtiendrait une figure aplatie. Ce n’est pas un triangle non aplati. On conclut donc que ce triangle n’est pas constructible au sens demandé en géométrie.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un professeur demande de construire un triangle ABC tel que AB = 7 cm, AC = 5 cm et angle BAC = 40°. On connaît deux longueurs et l’angle compris entre ces deux longueurs, car l’angle BAC a pour sommet A et ses côtés sont [AB] et [AC].

Programme de construction :

1. Tracer un segment [AB] de longueur 7 cm.
2. Placer le rapporteur sur le point A, avec le zéro aligné sur la demi-droite [AB).
3. Marquer un point indiquant 40° du bon côté de [AB).
4. Tracer la demi-droite d’origine A passant par ce point. Cette demi-droite forme l’angle BAC de 40° avec [AB).
5. Sur cette demi-droite, placer le point C tel que AC = 5 cm.
6. Relier C à B pour obtenir le triangle ABC.
7. Vérifier que AB = 7 cm, AC = 5 cm et angle BAC = 40°.

La difficulté principale est de placer l’angle au bon sommet. Dans angle BAC, la lettre du milieu est A : le rapporteur doit donc être placé sur A. Si on plaçait l’angle en B ou en C, la construction ne respecterait pas les données. Il faut aussi faire attention au côté choisi pour tracer la demi-droite : une construction au-dessus ou au-dessous de [AB] peut être correcte si l’énoncé ne précise pas l’orientation, mais l’angle doit toujours mesurer 40°.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : tracer un triangle avec trois longueurs impossibles — À faire : entourer le plus grand côté puis comparer avec la somme des deux autres à l’aide de l’inégalité triangulaire.
• Erreur : constater que les arcs de compas ne se coupent pas et forcer la figure — À faire : reprendre les mesures sur la règle graduée et vérifier que le triangle est constructible.
• Erreur : ouvrir le compas à une mauvaise longueur — À faire : placer la pointe sèche sur le zéro de la règle et la mine sur la longueur demandée, sans changer l’ouverture avant de tracer l’arc.
• Erreur : tracer l’angle au mauvais sommet — À faire : lire le nom de l’angle : la lettre du milieu indique le sommet. Pour angle BAC, le sommet est A.
• Erreur : placer le point du mauvais côté de la demi-droite — À faire : tracer d’abord clairement la demi-droite support de l’angle, puis placer le point sur cette demi-droite.
• Erreur : écrire un programme de construction incomplet — À faire : utiliser des verbes d’action : tracer, placer, reporter, relier, vérifier.
• Erreur : confondre segment, droite et demi-droite — À faire : se rappeler qu’un segment est limité par deux points, une droite est illimitée des deux côtés, et une demi-droite a une origine et se prolonge d’un seul côté.

10. À retenir

• Pour construire un triangle, il faut respecter exactement les données de l’énoncé.
• Avec trois longueurs, on vérifie d’abord l’inégalité triangulaire.
• Un triangle est constructible si le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.
• Si le plus grand côté est égal à la somme des deux autres, la figure est aplatie : ce n’est pas un triangle non aplati.
• Avec trois longueurs, on trace un segment, puis on utilise le compas pour reporter les deux autres longueurs.
• Les arcs de cercle représentent tous les points situés à une distance donnée d’un centre.
• Avec deux longueurs et l’angle compris, on trace un côté, puis l’angle au bon sommet, puis on place le troisième point.
• Dans le nom d’un angle, la lettre du milieu indique le sommet : angle BAC a pour sommet A.
• Une construction doit être contrôlée : longueurs, angles et nom des points.
• Un bon programme de construction est clair, ordonné et utilise un vocabulaire géométrique précis.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices — Construction d’un triangle en 5e.

La fiche d’exercices permet de s’entraîner progressivement. Les premiers exercices demandent de décider si un triangle est constructible ou non à partir de trois longueurs. Il faut repérer le plus grand côté, calculer la somme des deux autres et conclure avec l’inégalité triangulaire. Par exemple, on peut demander si les longueurs 4 cm, 5 cm et 7 cm permettent de construire un triangle.

D’autres exercices demandent de choisir la bonne méthode : compas pour trois longueurs, rapporteur pour deux longueurs et un angle. On peut aussi demander de remettre un programme de construction dans l’ordre, afin de comprendre la logique des étapes. Un exercice important consiste à écrire soi-même un programme de construction clair à partir d’une figure ou d’un énoncé.

Enfin, des constructions complètes sont proposées : construire puis contrôler. L’élève doit tracer précisément les segments aux longueurs demandées, utiliser correctement le compas pour reporter des longueurs, utiliser correctement le rapporteur pour tracer un angle, et vérifier la figure obtenue. Un barème possible sur 10 points est le suivant : 2 points pour vérifier la constructibilité avec l’inégalité triangulaire, 2 points pour tracer précisément les segments, 2 points pour utiliser correctement le compas, 2 points pour utiliser correctement le rapporteur, et 2 points pour rédiger un programme clair et ordonné.

12. Questions fréquentes