Triangle : hauteurs, médianes, bissectrices, médiatrices

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans un triangle ABC, on te demande de tracer « une droite remarquable ». Mais laquelle ? Si l’énoncé parle d’un angle droit, il s’agit peut-être d’une hauteur ou d’une médiatrice. S’il parle d’un milieu, cela peut être une médiane ou une médiatrice. S’il parle d’un angle partagé en deux angles égaux, c’est une bissectrice. En classe de 5e, il est donc essentiel de bien distinguer ces quatre droites remarquables du triangle : hauteurs, médianes, bissectrices et médiatrices.

Ces droites permettent de mieux comprendre la géométrie du triangle. Elles servent aussi à construire et à nommer des points particuliers : l’orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit. Chacun de ces points vient d’un type précis de droites. Par exemple, les hauteurs se coupent en l’orthocentre, alors que les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit.

Le mot repère est « triangle », que l’on peut découper en syllabes : tri-an-gle. Dans un triangle ABC, il y a 3 sommets et 3 côtés. On peut donc tracer 3 hauteurs, 3 médianes, 3 bissectrices et 3 médiatrices. L’objectif de cette leçon est de savoir les reconnaître, les construire avec les bons instruments et nommer correctement les points particuliers associés.

2. Définition

Définition : Dans un triangle, une droite remarquable est une droite liée à une propriété géométrique importante : perpendicularité, milieu, angle partagé en deux angles égaux ou distance égale à deux sommets. Les quatre droites remarquables étudiées en 5e sont la hauteur, la médiane, la bissectrice et la médiatrice.

Hauteur : une hauteur d’un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Dans le triangle ABC, la hauteur issue de A passe par A et est perpendiculaire à la droite (BC). Le côté opposé à A est [BC]. Le côté opposé à B est [AC]. Le côté opposé à C est [AB].

Médiane : une médiane d’un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Dans le triangle ABC, si I est le milieu de [BC], alors la droite (AI) est la médiane issue de A.

Bissectrice : une bissectrice est une droite qui partage un angle en deux angles égaux. Dans le triangle ABC, la bissectrice de l’angle BAC passe par A et coupe l’angle BAC en deux angles de même mesure.

Médiatrice : une médiatrice est une droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu. La médiatrice de [BC] passe par le milieu de [BC] et est perpendiculaire à [BC]. Contrairement à une médiane, elle ne passe pas forcément par un sommet du triangle.

On peut retenir les mots importants ainsi : HAUTEUR = sommet + perpendiculaire ; MÉDIANE = sommet + milieu ; BISSECTRICE = angle partagé en deux ; MÉDIATRICE = milieu + perpendiculaire.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre ; les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité ; les trois bissectrices sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit ; les trois médiatrices sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit.

Dire que trois droites sont concourantes signifie qu’elles se coupent en un même point. Ce point est un point particulier du triangle. Il faut savoir associer chaque famille de droites au bon point.

Les hauteurs se coupent en l’orthocentre, souvent noté H. Dans un triangle aigu, l’orthocentre est à l’intérieur du triangle. Dans un triangle rectangle, il est au sommet de l’angle droit. Dans un triangle obtusangle, il est à l’extérieur du triangle.

Les médianes se coupent au centre de gravité, souvent noté G. Ce point est toujours à l’intérieur du triangle. Il correspond au point d’équilibre du triangle si celui-ci était découpé dans une plaque homogène.

Les bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit, souvent noté I. Le cercle inscrit est le cercle situé à l’intérieur du triangle et tangent aux trois côtés.

Les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit, souvent noté O. Le cercle circonscrit est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

4. Démonstration

En 5e, on ne demande pas toujours une démonstration complète de tous les théorèmes de concours, mais il est important de comprendre pourquoi certaines constructions fonctionnent.

Commençons par les médiatrices. On sait qu’un point situé sur la médiatrice d’un segment est à égale distance des deux extrémités de ce segment. Par exemple, si un point O appartient à la médiatrice de [AB], alors OA = OB. Si ce même point O appartient aussi à la médiatrice de [AC], alors OA = OC. On obtient donc OA = OB et OA = OC, donc OA = OB = OC. Le point O est à la même distance des trois sommets A, B et C. Il peut donc être le centre d’un cercle passant par A, B et C : c’est le cercle circonscrit au triangle ABC.

Pour les bissectrices, on utilise une propriété analogue : un point situé sur la bissectrice d’un angle est à la même distance des deux côtés de cet angle. Si un point I appartient aux bissectrices de deux angles du triangle, alors il est à la même distance des trois côtés. On peut donc tracer un cercle de centre I tangent aux trois côtés du triangle : c’est le cercle inscrit.

Pour les hauteurs, on admet au collège que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes. Leur point de concours est l’orthocentre. On peut le vérifier par construction : il suffit souvent de tracer deux hauteurs avec précision ; la troisième passe par le même point.

Pour les médianes, on admet aussi que les trois médianes sont concourantes. Leur point de concours est le centre de gravité. Là encore, une construction soignée permet de constater que les trois droites passent par un même point.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère la demande. Je lis l’énoncé et j’identifie le mot utilisé : hauteur, médiane, bissectrice ou médiatrice. Je ne commence pas le tracé avant d’avoir compris la propriété demandée.
2. Je repère le triangle et ses éléments. Dans un triangle ABC, je sais que le côté opposé à A est [BC], le côté opposé à B est [AC] et le côté opposé à C est [AB].
3. Pour tracer une hauteur, je choisis le sommet demandé, puis je trace la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé. J’utilise une règle et une équerre. Si nécessaire, je prolonge le côté opposé.
4. Pour tracer une médiane, je cherche d’abord le milieu du côté opposé. Je peux utiliser une règle graduée ou le compas. Ensuite, je trace la droite passant par le sommet et ce milieu.
5. Pour tracer une bissectrice, je partage l’angle en deux angles égaux. Je peux utiliser le compas ou un rapporteur, selon la consigne. La droite obtenue passe par le sommet de l’angle.
6. Pour tracer une médiatrice, je construis le milieu du segment, puis je trace la perpendiculaire à ce segment en son milieu. Je peux aussi la construire entièrement au compas.
7. Je nomme le point particulier. Si je trace trois hauteurs, leur point de concours est l’orthocentre H. Si je trace trois médianes, c’est le centre de gravité G. Si je trace trois bissectrices, c’est le centre du cercle inscrit I. Si je trace trois médiatrices, c’est le centre du cercle circonscrit O.
8. Je vérifie. Je contrôle la propriété essentielle : angle droit pour hauteur ou médiatrice, milieu pour médiane ou médiatrice, angle partagé en deux pour bissectrice, passage par un sommet pour hauteur, médiane et bissectrice.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Dans un triangle ABC, construire la hauteur issue de A, la médiane issue de B, la bissectrice de l’angle ACB et la médiatrice du segment [AB].

Construction de la hauteur issue de A : on repère le côté opposé à A, c’est [BC]. Avec l’équerre, on trace la droite passant par A et perpendiculaire à (BC). Cette droite est la hauteur issue de A. Si le pied de la hauteur tombe en dehors du segment [BC], on prolonge la droite (BC).

Construction de la médiane issue de B : on repère le côté opposé à B, c’est [AC]. On construit le milieu M de [AC]. Puis on trace la droite (BM). La droite (BM) est la médiane issue de B.

Construction de la bissectrice de l’angle ACB : l’angle ACB a pour sommet C. On construit la droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Cette droite part de C et se situe entre les côtés [CA] et [CB].

Construction de la médiatrice de [AB] : on construit le milieu N de [AB], puis la droite perpendiculaire à [AB] passant par N. Cette droite est la médiatrice de [AB]. Elle n’a pas besoin de passer par C.

Bilan : chaque tracé se reconnaît à sa propriété. La hauteur utilise une perpendicularité avec un côté opposé. La médiane utilise le milieu du côté opposé. La bissectrice partage un angle. La médiatrice est perpendiculaire à un segment en son milieu.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Dans un triangle ABC, une droite d passe par A et par le milieu de [BC]. Une droite e est perpendiculaire à [AC] et passe par le milieu de [AC]. Une droite f passe par B et est perpendiculaire à (AC). Une droite g partage l’angle BAC en deux angles égaux. Identifier chaque droite.

La droite d passe par un sommet, A, et par le milieu du côté opposé [BC]. Elle correspond donc à la définition d’une médiane. La droite d est la médiane issue de A.

La droite e est perpendiculaire au segment [AC] et passe par son milieu. Elle correspond donc à la définition d’une médiatrice. La droite e est la médiatrice de [AC]. Elle n’est pas forcément une droite issue d’un sommet.

La droite f passe par le sommet B et est perpendiculaire au côté opposé (AC). Elle correspond à la définition d’une hauteur. La droite f est la hauteur issue de B.

La droite g partage l’angle BAC en deux angles égaux. Elle correspond à la définition d’une bissectrice. La droite g est la bissectrice de l’angle BAC.

Conclusion : pour identifier une droite remarquable, il ne faut pas seulement regarder sa position sur le dessin. Il faut lire ou vérifier la propriété géométrique indiquée : milieu, perpendicularité, sommet ou angle partagé en deux.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Une commune veut placer un lampadaire à égale distance de trois entrées A, B et C d’un parc triangulaire. Où doit-elle le placer ?

Le lampadaire doit être à égale distance des trois points A, B et C. On cherche donc un point O tel que OA = OB = OC. Ce type de point est le centre d’un cercle passant par les trois sommets A, B et C. Il s’agit du centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Pour le construire, on trace les médiatrices de deux côtés du triangle, par exemple la médiatrice de [AB] et la médiatrice de [AC]. Leur point d’intersection est O. Comme O appartient à la médiatrice de [AB], on a OA = OB. Comme O appartient à la médiatrice de [AC], on a OA = OC. Donc OA = OB = OC.

Le point O est donc à égale distance des trois entrées. La commune doit placer le lampadaire au point O. Si l’on trace le cercle de centre O passant par A, il passe aussi par B et C : c’est le cercle circonscrit au triangle ABC.

Remarque : dans un triangle obtusangle, le centre du cercle circonscrit peut être à l’extérieur du triangle. Ce n’est pas une erreur : les médiatrices peuvent se couper en dehors du triangle.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : confondre médiane et médiatrice parce que les deux mots commencent pareil et font intervenir un milieu — À faire : retenir que la médiane part d’un sommet, alors que la médiatrice concerne un côté et est perpendiculaire à ce côté.
• Erreur : tracer une hauteur sans vérifier la perpendicularité — À faire : utiliser l’équerre et contrôler l’angle droit avec le côté opposé ou son prolongement.
• Erreur : penser qu’une médiatrice passe toujours par un sommet — À faire : se rappeler qu’elle passe par le milieu d’un segment et qu’elle est perpendiculaire à ce segment ; elle ne passe par un sommet que dans certains cas particuliers.
• Erreur : confondre centre du cercle inscrit et centre du cercle circonscrit — À faire : associer inscrit à bissectrices et circonscrit à médiatrices.
• Erreur : mal nommer le côté opposé à un sommet — À faire : verbaliser : dans ABC, le côté opposé à A est [BC], le côté opposé à B est [AC], le côté opposé à C est [AB].
• Erreur : croire qu’une médiane est toujours perpendiculaire au côté opposé — À faire : vérifier que la médiane passe par le milieu ; la perpendicularité n’est pas obligatoire.

10. À retenir

• Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
• Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre.
• Une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
• Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité.
• Une bissectrice est une droite qui partage un angle en deux angles égaux.
• Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes au centre du cercle inscrit.
• Une médiatrice est une droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu.
• Les trois médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes au centre du cercle circonscrit.
• Pour construire correctement, il faut choisir le bon instrument : règle, équerre, compas ou rapporteur selon la propriété à obtenir.
• La routine utile est : je repère, j’applique, je vérifie.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices au format PDF : hauteurs, médianes, bissectrices, médiatrices et points particuliers du triangle.

Les exercices proposés permettent de s’entraîner progressivement. On commence par identifier la droite remarquable sur une figure : hauteur, médiane, bissectrice ou médiatrice. Ensuite, on répond à des questions de type vrai ou faux pour vérifier les définitions. On remet aussi une construction dans l’ordre, par exemple construire d’abord le milieu d’un côté avant de tracer une médiane. Puis on apprend à écrire un programme de construction avec un vocabulaire géométrique précis. Enfin, on nomme les points particuliers : orthocentre, centre de gravité, centre du cercle inscrit et centre du cercle circonscrit.

Exemples de titres d’exercices : « Identifier la droite remarquable », « Vrai ou faux ? », « Remettre une construction dans l’ordre », « Écrire un programme de construction », « Nommer les points particuliers ».

Barème possible sur 20 points : identifier les quatre droites remarquables, 4 points ; associer chaque droite remarquable à son point particulier, 4 points ; décrire une construction dans un ordre logique, 4 points ; utiliser correctement le vocabulaire géométrique, 4 points ; tracer ou expliquer une construction avec précision, 4 points.

12. Questions fréquentes