Les nombres relatifs : introduction et droite graduée

1. Introduction et problématique

Situation-problème : un matin d’hiver, la température affichée est de −3 °C. À midi, elle devient +4 °C. Dans un immeuble, le parking est au niveau −2, le rez-de-chaussée au niveau 0 et le troisième étage au niveau +3. Dans un jeu, on peut gagner 5 points ou perdre 5 points. Comment écrire toutes ces situations avec des nombres ? Comment savoir si −7 est plus petit ou plus grand que −2 ? Comment placer correctement ces valeurs sur une droite graduée ?

Les nombres déjà connus en primaire permettent de compter des objets, des longueurs ou des quantités positives : 0, 1, 2, 3, 4, etc. En classe de 5e, on introduit les nombres relatifs, qui permettent de décrire des valeurs situées de part et d’autre d’une référence. Cette référence est souvent 0 : zéro degré, niveau zéro, solde nul, altitude de la mer, origine d’une droite graduée.

Le mot repère est relatif, que l’on peut découper en syllabes : re-la-tif. Un nombre relatif indique une valeur par rapport à une référence. Par exemple, −4 signifie 4 unités en dessous de 0, tandis que +4 signifie 4 unités au-dessus de 0.

Dans cette leçon, l’objectif est de comprendre ce qu’est un nombre relatif, de reconnaître son signe, de le placer sur une droite graduée, de trouver son opposé et de comparer deux nombres relatifs.

2. Définition

Définition : Un nombre relatif est un nombre qui peut être positif, négatif ou nul. Un nombre positif est précédé du signe +, ou s’écrit sans signe. Un nombre négatif est précédé du signe −. Le nombre 0 est l’origine : il n’est ni positif ni négatif.

Exemples : +5 est un nombre positif ; on peut aussi l’écrire 5. Le nombre −5 est un nombre négatif. Le nombre 0 sert de point de départ sur une droite graduée : on l’appelle l’origine.

On utilise les nombres relatifs pour traduire des situations très courantes. Une température de −6 °C signifie 6 degrés en dessous de 0 °C. Une altitude de +250 m signifie 250 mètres au-dessus du niveau de référence. Une dette de 12 € peut se noter −12 €, tandis qu’un gain de 12 € peut se noter +12 €.

Le signe appartient au nombre. Dans l’écriture −5, le signe − indique que le nombre est négatif. Il ne faut pas confondre ce signe avec le symbole de soustraction, même si le même caractère est utilisé. De même, dans +5, le signe + indique que le nombre est positif.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Sur une droite graduée orientée de gauche à droite, les nombres sont rangés dans l’ordre croissant. Le nombre le plus à gauche est toujours le plus petit, et le nombre le plus à droite est toujours le plus grand.

Cette propriété est essentielle pour comparer des nombres relatifs. Par exemple, −3 est placé à gauche de +2, donc −3 < +2. De même, −7 est placé à gauche de −2, donc −7 < −2.

Sur la droite graduée, les nombres positifs se placent à droite de 0 et les nombres négatifs se placent à gauche de 0. Plus un nombre positif est loin vers la droite, plus il est grand : +8 est plus grand que +3. Pour les nombres négatifs, c’est l’inverse de l’idée habituelle liée aux chiffres : −8 est plus petit que −3, car −8 est plus à gauche sur la droite.

Deux nombres sont opposés lorsqu’ils sont situés à la même distance de 0, mais de côtés opposés. L’opposé de +5 est −5. L’opposé de −5 est +5. L’opposé de 0 est 0.

On retient aussi que +5 et 5 désignent le même nombre. Le signe + peut être écrit pour insister sur le caractère positif, mais il n’est pas obligatoire.

4. Démonstration

Pour comprendre pourquoi le nombre le plus à gauche est le plus petit, on peut partir de la construction de la droite graduée. On choisit un point appelé origine, noté 0. On choisit ensuite une unité, par exemple un carreau, un centimètre ou un intervalle régulier. À droite de 0, on place successivement +1, +2, +3, +4, etc. À gauche de 0, on place −1, −2, −3, −4, etc.

La droite est orientée : son sens positif va de gauche à droite. Avancer vers la droite revient à augmenter la valeur du nombre. Reculer vers la gauche revient à diminuer la valeur du nombre. Ainsi, si un point A est situé à gauche d’un point B, alors l’abscisse de A est plus petite que l’abscisse de B.

Prenons −7 et −2. Certains élèves pensent que −7 est plus grand parce que 7 est plus grand que 2. Mais sur la droite, −7 est situé sept unités à gauche de 0, alors que −2 est seulement deux unités à gauche de 0. Le point −7 est donc plus à gauche que le point −2. Comme le nombre le plus à gauche est le plus petit, on obtient −7 < −2.

Prenons maintenant +4 et −4. Le nombre +4 est à quatre unités à droite de 0, tandis que −4 est à quatre unités à gauche de 0. Ils sont à la même distance de l’origine, mais de côtés opposés : ce sont des nombres opposés. Cette observation justifie l’idée que l’opposé d’un nombre change son signe, sans changer sa distance à 0.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère le signe. Je regarde si le nombre commence par +, par −, ou s’il est égal à 0. Par exemple, +5 est positif, −5 est négatif, 0 est l’origine.
2. Je repère l’origine. Sur la droite graduée, je localise 0. C’est le point de référence à partir duquel on place les autres nombres.
3. J’applique le sens de placement. Les nombres positifs se placent à droite de 0. Les nombres négatifs se placent à gauche de 0.
4. Je compte les unités. Pour placer +6, je vais six unités vers la droite. Pour placer −6, je vais six unités vers la gauche.
5. Je trouve l’opposé. Je garde la même distance à 0, mais je change de côté. L’opposé de +8 est −8 ; l’opposé de −3 est +3.
6. Je compare. Sur une droite graduée, le plus petit nombre est toujours le plus à gauche. Le plus grand est toujours le plus à droite.
7. Je vérifie par une phrase. Par exemple : « −5 est plus petit que −1 car −5 est placé plus à gauche que −1. »

Routine à utiliser en exercice : Je repère le signe et le zéro ; j’applique le placement sur la droite ; je vérifie l’ordre en regardant la position des nombres.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut placer les nombres suivants sur une droite graduée : −4, +2, 0, −1, +5.

On commence par tracer une droite horizontale et par choisir une unité régulière. On place 0 au centre : c’est l’origine. Les nombres positifs sont à droite de 0. Donc +2 se place deux unités à droite de 0, et +5 cinq unités à droite de 0. Les nombres négatifs sont à gauche de 0. Donc −1 se place une unité à gauche de 0, et −4 quatre unités à gauche de 0.

Dans l’ordre de gauche à droite, on obtient : −4, −1, 0, +2, +5. Comme la droite est rangée dans l’ordre croissant, cela donne aussi le rangement suivant :

−4 < −1 < 0 < +2 < +5

On peut vérifier chaque placement en comptant les unités depuis 0. Le nombre −4 n’est pas seulement « un 4 avec un signe » : il indique une position précise, quatre unités à gauche de l’origine. Le nombre +5 indique une position cinq unités à droite de l’origine.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On lit sur une droite graduée les points A, B, C et D. Le point A est situé trois unités à gauche de 0. Le point B est situé deux unités à droite de 0. Le point C est situé sept unités à gauche de 0. Le point D est situé à l’origine. On demande de donner l’abscisse de chaque point, puis de ranger ces abscisses dans l’ordre croissant.

Le point A est trois unités à gauche de 0 : son abscisse est −3. Le point B est deux unités à droite de 0 : son abscisse est +2. Le point C est sept unités à gauche de 0 : son abscisse est −7. Le point D est à l’origine : son abscisse est 0.

On a donc : A(−3), B(+2), C(−7), D(0).

Pour ranger dans l’ordre croissant, on imagine la droite de gauche à droite. Le plus à gauche est −7, puis −3, puis 0, puis +2. On obtient :

−7 < −3 < 0 < +2

Attention : −7 est plus petit que −3, même si 7 est plus grand que 3. Pour les nombres négatifs, il faut raisonner avec la position sur la droite graduée.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Dans une station de ski, on relève les températures suivantes : lundi −6 °C, mardi −2 °C, mercredi +1 °C, jeudi 0 °C et vendredi −8 °C. On veut ranger ces températures de la plus froide à la plus chaude, puis déterminer deux températures opposées si elles existent.

La température la plus froide correspond au nombre le plus petit. On peut placer mentalement les nombres sur une droite graduée. À gauche de 0, on trouve les températures négatives : −8, −6, −2. À droite de 0, on trouve +1. Le nombre 0 est entre les négatifs et les positifs.

Dans l’ordre croissant, de la plus froide à la plus chaude, on obtient :

−8 °C < −6 °C < −2 °C < 0 °C < +1 °C

La journée la plus froide est donc vendredi, avec −8 °C. La journée la plus chaude est mercredi, avec +1 °C.

Deux températures opposées doivent avoir la même distance à 0 et des signes contraires. Dans la liste, on a −2 °C mais pas +2 °C ; on a +1 °C mais pas −1 °C ; on a −6 °C mais pas +6 °C ; on a −8 °C mais pas +8 °C. Il n’y a donc pas deux températures opposées dans cette liste.

Ce type de problème montre l’intérêt des nombres relatifs : ils permettent de représenter clairement des situations où l’on se situe au-dessus ou en dessous d’une référence.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : penser que −7 est plus grand que −2 car 7 est plus grand que 2. — À faire : placer −7 et −2 sur une droite graduée et rappeler que le plus à gauche est le plus petit.
• Erreur : placer les nombres négatifs à droite de zéro. — À faire : colorer les positifs à droite de 0 et les négatifs à gauche de 0, puis refaire plusieurs placements.
• Erreur : confondre le signe du nombre et le symbole de comparaison. — À faire : verbaliser : le signe appartient au nombre ; les symboles < et > servent à comparer deux nombres.
• Erreur : écrire que l’opposé de −4 est −4. — À faire : montrer que deux nombres opposés sont à la même distance de 0, de chaque côté : −4 et +4.
• Erreur : croire que le signe + est toujours obligatoire devant un nombre positif. — À faire : retenir que +5 et 5 désignent le même nombre ; le signe + peut être écrit, mais il peut aussi être omis.

10. À retenir

• Un nombre relatif peut être positif, négatif ou nul.
• Un nombre positif peut s’écrire avec le signe + ou sans signe : +5 = 5.
• Un nombre négatif s’écrit avec le signe − : par exemple −5.
• Le nombre 0 est l’origine sur la droite graduée. Il n’est ni positif ni négatif.
• Les nombres positifs se placent à droite de 0.
• Les nombres négatifs se placent à gauche de 0.
• Sur une droite graduée, le nombre le plus à gauche est le plus petit.
• Deux nombres opposés sont à la même distance de 0, mais de côtés opposés.
• L’opposé de +5 est −5 ; l’opposé de −5 est +5 ; l’opposé de 0 est 0.
• Pour comparer des relatifs, il faut penser à leur position sur la droite, pas seulement aux chiffres écrits.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices PDF : Les nombres relatifs, introduction et droite graduée. Cette fiche permet de s’entraîner à identifier les signes, trouver les opposés, comparer des nombres relatifs, ranger des nombres sur une droite graduée, traduire une situation concrète et lire des abscisses.

Types d’exercices proposés : Identifier le signe et l’opposé, Comparer deux nombres relatifs, Ranger sur la droite, Traduire une situation, Lire une droite graduée.

Barème possible : Exercice 1, 5 points : 0,5 point pour le signe et 0,5 point pour l’opposé de chaque nombre. Exercice 2, 5 points : 1 point par comparaison correcte. Exercice 3, 6 points : 2 points par liste correctement rangée. Exercice 4, 5 points : 1 point par traduction correcte en nombre relatif. Exercice 5, 5 points : 1 point par abscisse correctement lue.

Avant de corriger, il est conseillé de vérifier chaque réponse avec la routine : je repère le signe, j’applique le placement sur la droite graduée, je vérifie que le plus petit nombre est bien le plus à gauche.

12. Questions fréquentes