Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers en 4e

Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, c'est l'écrire comme une multiplication composée uniquement de nombres premiers. Un nombre premier est strictement plus grand que 1 et n'a que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Par exemple, 60 s'écrit 2 × 2 × 3 × 5, soit 2² × 3 × 5.

Tu regardes 69, tu vois qu'il n'est pas pair et ne finit pas par 5, et tu en conclus qu'il est premier ? On se calme : 6 + 9 = 15, donc 3 divise 69, et 69 = 3 × 23. C'est là que tout le monde se plante. En 3e, ce chapitre d'arithmétique repose sur une seule méthode, les divisions successives, avec une vérification par multiplication à la fin. Tu l'appliques ici à 69,84 et 550, puis tu t'entraînes avec huit exercices corrigés.

Décomposer un nombre en facteurs premiers, ça veut dire quoi concrètement ?

Pour décomposer un nombre comme 60,69 ou 550, il te faut peu de choses : tes tables, les critères de divisibilité par 2,3,5 et 10, la différence entre multiple et diviseur, et l'écriture avec une puissance (2² = 2 × 2).

Traduction en langage normal : un nombre premier ne se découpe pas en multiplication de nombres plus petits. 7, c'est 1 × 7 et rien d'autre. Décomposer, c'est donc écrire un nombre comme un produit de facteurs de ce type.

Voici les nombres premiers inférieurs à 100, que le crible d'Ératosthène permet de retrouver en barrant les multiples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.

L'erreur classique : ranger 1 parmi les premiers. Il n'a qu'un seul diviseur, donc 1 n'est pas premier. Et un nombre premier ne se décompose pas : 13 est sa propre décomposition.

La méthode pas à pas : diviser par 2, puis 3, puis 5, puis 7

Divise le nombre par 2 autant de fois que possible, puis par 3, par 5, par 7, par 11, en suivant les nombres premiers dans l'ordre. C'est la méthode des divisions successives, et le but est d'arriver à un quotient égal à 1.

1. Écris le nombre sur ton brouillon et trace une colonne à côté pour noter les diviseurs.
2. Teste les nombres premiers dans l'ordre : pair pour 2, somme des chiffres multiple de 3 pour 3, dernier chiffre 0 ou 5 pour 5.
3. Si ça tombe juste, note le diviseur, écris le quotient en dessous et recommence avec le même nombre tant que ça marche.
4. Arrête-toi quand le quotient vaut 1.
5. Écris le produit des diviseurs, regroupe les répétitions avec des puissances, puis recalcule la multiplication pour vérifier.

Sur 60, le schéma ci-dessous détaille chaque division. Vérifie : 4 × 3 × 5 = 60.

Trois exemples résolus et le piège que tout le monde fait

Tu tombes sur 69. Il est impair et ne finit pas par 5, donc ni 2 ni 5. Mais 6 + 9 = 15, un multiple de 3, donc 69 ÷ 3 = 23. Pour 23, ni 2, ni 3, ni 5 ne marchent, et 7 × 7 = 49 dépasse déjà 23 : il est premier. Résultat : 69 = 3 × 23.

Avec 84 : 84 ÷ 2 = 42, puis 42 ÷ 2 = 21, puis 21 ÷ 3 = 7, puis 7 ÷ 7 = 1. Donc 84 = 2² × 3 × 7, et 4 × 3 × 7 = 84. Pour 550 : 550 ÷ 2 = 275, puis 275 ÷ 5 = 55, puis 55 ÷ 5 = 11, puis 11 ÷ 11 = 1. Donc 550 = 2 × 5² × 11, et 2 × 25 × 11 = 550.

Le piège, maintenant. Beaucoup s'arrêtent à 23 ou à 11 sans se demander s'ils sont premiers. D'autres jugent 69 premier parce qu'il est impair, oublient un 5 dans 550 ou ajoutent un facteur 1. C'est là que les points s'envolent.

Vérifie ton résultat : multiplie tes facteurs, tu dois retomber sur le nombre de départ.

Huit exercices pour t'entraîner, avec la correction

Prénom : ______ Classe : 3e Date : ______

Pour chaque décomposition, multiplie tous les facteurs : tu dois retrouver le nombre de départ.

Exercice 1

Entoure les nombres premiers : 2 ; 9 ; 11 ; 15 ; 17 ; 21 ; 23 ; 27.

Exercice 2

Complète : 30 = 2 × … × …

Exercice 3

Décompose 45.

Exercice 4

2/2 Décompose 100.

Exercice 5

2/2 Décompose 126.

Exercice 6

2/2 Décompose 224.

Exercice 7

3/3 Décompose 360.

Exercice 8

3/3 Retrouve le nombre dont la décomposition est 2² × 3 × 5².

Défi bonus (facultatif) : décompose 1 001.

Correction

Retiens le réflexe : tu testes 2, puis 3, puis 5, puis 7, et tu t'arrêtes quand le quotient vaut 1. Multiplie ensuite tous tes facteurs pour contrôler le résultat. Entraîne-toi sur deux ou trois nombres : la méthode devient automatique.

Questions et réponses

Comment décomposer 69 en produit de facteurs premiers ?

69 n'est pas pair et ne finit pas par 5, mais 6 + 9 = 15 est un multiple de 3. Tu divises : 69 ÷ 3 = 23, et 23 est premier. Donc 69 = 3 × 23. Vérifie : 3 × 23 = 69.

Comment décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers ?

Divise-le par 2 autant de fois que possible, puis par 3, par 5, par 7, par 11, jusqu'à obtenir un quotient égal à 1. Multiplie ensuite les diviseurs utilisés et regroupe les répétitions avec des puissances.

Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 224 ?

224 = 2⁵ × 7. Tu divises par 2 cinq fois de suite : 112,56,28,14, puis 7. Comme 7 est premier, il reste tel quel. Vérifie : 32 × 7 = 224.

Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 100 ?

100 = 2² × 5². Tu divises deux fois par 2 (50, puis 25), puis deux fois par 5 (5, puis 1). Pour vérifier : 4 × 25 = 100.

Dernière mise à jour : octobre 2026