Comment écrire l'expression algébrique d'une fonction en 3e
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L'expression algébrique d'une fonction est la formule qui indique quoi faire avec un nombre x pour obtenir son image f(x). Par exemple, f(x) = 2x + 3 signifie : multiplie x par 2, puis ajoute 3.
Tu as deux points sur un graphique et on te demande la formule : tu bloques. On se calme : tu vas apprendre à écrire la formule, à la vérifier avec un second point et à repérer les courbes où ça ne marche pas.
L'expression algébrique d'une fonction, c'est la recette qui transforme x en f(x)
Prénom : ______ Date : ______
Imagine une machine : tu glisses un nombre x, elle suit une consigne, elle te rend un autre nombre. L'expression algébrique d'une fonction écrit cette consigne.
Premier malentendu : f(x) ne veut pas dire f fois x. Ça se lit image de x par f, le résultat renvoyé par la machine. Avec x = 4, f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. Avec x = -1, on calcule d'abord 2 × (-1) = -2, puis on ajoute 3 : f(-1) = 1. Mets toujours des parenthèses autour d'un nombre négatif, c'est là que tout le monde se plante.
Ton objectif : écrire f(x) à partir de deux valeurs ou d'une droite, et vérifier ton résultat tout seul. Trois prérequis :
- calculer avec des nombres relatifs ;
- résoudre une équation simple comme 2x + 3 = 11 ;
- placer un point dans un repère.
Le vocabulaire à connaître : variable, image, antécédent
Avec f(x) = 2x + 3, x est la variable, le nombre que tu choisis librement. Le nombre 11 est l'image de 4, la sortie de la machine. Et 4 est un antécédent de 11, l'entrée. Retiens : image = sortie, antécédent = entrée.
Linéaire, affine ou autre : repère le type de fonction avant de calculer
Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax, une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. La linéaire est le cas où b vaut 0 : sa droite passe par l'origine du repère.
Concrètement, a dit de combien f(x) change quand x augmente de 1 : c'est le coefficient directeur, la pente. Le nombre b est la valeur de f(0), là où la droite coupe l'axe vertical. Ainsi 5x donne a = 5 et b = 0 ; 2x + 1 donne a = 2 et b = 1 ; -3x + 5 donne a = -3 et b = 5, donc une droite qui descend.
Le piège : croire que toute formule contenant un x est affine. Prends x² : sa courbe n'est pas une droite, ce n'est ni linéaire ni affine. Dès que x est au carré, au cube ou en dénominateur, oublie ax + b.
La méthode étape par étape pour trouver f(x) = ax + b avec deux valeurs
Quand tu connais deux valeurs de f, calcule d'abord a, puis b, puis contrôle.
- Écris ce que tu cherches : a et b, sur ton brouillon. Deux inconnues, tu les nommes avant de toucher aux chiffres.
- Calcule a = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) : de combien l'image a bougé, divisé par de combien x a bougé.
- Remplace x et f(x) d'un des deux points dans f(x) = ax + b pour trouver b. Comme a est connu, il ne reste qu'une équation simple.
- Écris la formule complète, puis vérifie avec l'autre point. Il n'a pas servi à trouver b, il joue le rôle de juge.
Deux raccourcis valent le coup. Si on te donne f(0), alors b = f(0) et l'étape 3 disparaît. Et pour une fonction linéaire, une seule valeur suffit : f(3) = 12 donne a = 12 ÷ 3 = 4, donc f(x) = 4x.
Franchement, les points se perdent sur trois fautes : oublier le signe moins d'un nombre négatif, mélanger a et b dans la réponse finale, ou s'arrêter à a sans écrire f(x) =... en entier.
Le piège classique : le signe de a et l'ordre des soustractions
L'erreur que tout le monde fait : soustraire les images dans un sens et les antécédents dans l'autre. La règle : même ordre en haut et en bas. Prends f(1) = 2 et f(3) = -4. Bon calcul : a = (-4 - 2) / (3 - 1) = -6 / 2 = -3. Mauvais calcul : (-4 - 2) / (1 - 3) = -6 / -2 = 3, le signe s'est retourné. Ton filet de sécurité : les images passent de 2 à -4, la droite descend, donc a doit être négatif.
Retrouver l'expression à partir d'une courbe ou d'un tableau de valeurs
Pour une courbe, lis b là où la droite coupe l'axe des ordonnées, puis relève deux points aux coordonnées entières et calcule a. Évite les lectures « à peu près ». Exemple : la droite passe par (0 ; -1) et (2 ; 3). Donc b = -1 et a = (3 - (-1)) / (2 - 0) = 4 / 2 = 2, soit f(x) = 2x - 1. Contrôle avec un troisième point : si la droite passe par (1 ; 1), alors f(1) = 2 - 1 = 1, c'est bon.
Avec un tableau, prends deux colonnes et applique la méthode, mais regarde d'abord les écarts. Si x passe de 0 à 1 puis à 2 et que les images sont 0,1 et 4, elles montent de 1 puis de 3 : l'écart n'est pas proportionnel, la fonction n'est pas affine.
Et pour une parabole ?
Une parabole correspond à une expression avec x au carré. En 3e, tu calcules surtout des images de x ↦ x² : f(3) = 9, et f(-3) = 9 aussi, car un carré n'est jamais négatif. Retrouver la formule d'une parabole quelconque, c'est du lycée.
Deux exemples résolus rédigés comme sur ta copie
Rédige toujours trois temps : calcul de a, calcul de b, vérification.
Exemple 1 : f est affine, f(0) = -7 et f(5) = 3.
Je cherche a et b dans f(x) = ax + b. Je calcule a = (3 - (-7)) / (5 - 0) = 10 / 5 = 2 : le « moins moins » devient un plus, c'est la ligne où ça dérape. Comme f(0) = -7, b = -7. Donc f(x) = 2x - 7. Je vérifie : f(5) = 2 × 5 - 7 = 3, c'est bon.
Exemple 2 : f est affine, f(1) = 5 et f(4) = 11.
Je calcule a = (11 - 5) / (4 - 1) = 6 / 3 = 2. Avec le point (1 ; 5) : 5 = 2 × 1 + b, donc b = 3. J'obtiens f(x) = 2x + 3. Je vérifie : f(4) = 8 + 3 = 11, c'est bon.
Sans la ligne de vérification, ta réponse est un pari, pas un résultat.
Huit exercices progressifs à faire sur ton brouillon
Commence par le niveau 1 pour calculer des images, passe au niveau 2 pour trouver a et b, puis attaque le niveau 3 : fractions et problème concret. Cache la correction tant que tu n'as pas contrôlé chaque résultat.
Exercice 1 (niveau 1)
Soit f(x) = 3x - 2. Complète : f(0) = ____ ; f(4) = ____ ; f(-2) = ____.
Exercice 2 (niveau 1)
Soit g(x) = 5x + 1. Complète : l'image de 2 par g est ____ ; le nombre ____ est un antécédent de 16 par g ; dans cette formule, a = ____ et b = ____. Vrai ou faux : g est une fonction linéaire. ____
Exercice 3 (niveau 1)
Entoure les expressions de fonctions affines, puis souligne celles qui sont linéaires : A(x) = 4x ; B(x) = x² + 1 ; C(x) = -x + 6 ; D(x) = 9x ; E(x) = 2x - 5.
Exercice 4 (niveau 2)
Rédige la solution : f est une fonction affine telle que f(2) = 7 et f(6) = 19. Détermine f(x) en suivant les trois temps « Je cherche / Je calcule / Je vérifie ».
Exercice 5 (niveau 2)
Sur un brouillon, on lit f(1) = 4 et f(5) = -4, puis : a = (f(5) - f(1)) / (1 - 5) = -8 / -4 = 2. Repère l'erreur, corrige-la, puis écris la bonne expression de f.
Exercice 6 (niveau 2)
Un tableau de valeurs d'une fonction f est donné ci-dessous.
| x | 0 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | 5 | 3 | 1 | -3 |
Explique pourquoi f peut être une fonction affine, puis écris f(x).
Exercice 7 (niveau 3)
Soit f une fonction affine telle que f(-2) = 5 et f(8) = -3. Calcule a sous forme de fraction irréductible, puis en écriture décimale. Détermine b, écris f(x) et vérifie avec l'autre point.
Exercice 8 (niveau 3)
Une société de location de trottinettes facture un prix fixe de déblocage, puis un tarif à la minute. Une course de 10 minutes coûte 7 € et une course de 30 minutes coûte 11 €. On note P(x) le prix en euros pour x minutes. 1) Détermine P(x). 2) Calcule le prix d'une course de 45 minutes. 3) Quelle durée de course correspond à un prix de 12 € ?
Correction
Exercice 1 : f(0) = -2 ; f(4) = 12 - 2 = 10 ; f(-2) = 3 × (-2) - 2 = -8. Le piège, c'est le signe.
Exercice 2 : g(2) = 11. Pour l'antécédent, 5x + 1 = 16 donne 5x = 15, donc x = 3. Ici a = 5 et b = 1. Faux : une fonction linéaire demande b = 0.
Exercice 3 : les fonctions affines sont A, C, D et E. Les linéaires sont A et D, sans terme b. B n'est pas affine à cause du x².
Exercice 4 : a = (19 - 7) / (6 - 2) = 12 / 4 = 3. Avec le point (2 ; 7) : 7 = 3 × 2 + b, donc b = 1. Donc f(x) = 3x + 1. Je vérifie : f(6) = 18 + 1 = 19, c'est bon.
Exercice 5 : le dénominateur est à l'envers, on a écrit 1 - 5 alors qu'en haut on commence par f(5). Bon calcul : a = (-4 - 4) / (5 - 1) = -8 / 4 = -2. Puis 4 = -2 × 1 + b, donc b = 6, et f(x) = -2x + 6. Vérification : f(5) = -10 + 6 = -4. La droite descend, un a négatif est cohérent.
Exercice 6 : de 0 à 1, l'image baisse de 2 ; de 1 à 2, encore de 2 ; de 2 à 4, x avance de 2 et l'image baisse de 4. Les écarts sont proportionnels, donc f peut être affine. a = -2 et b = f(0) = 5, donc f(x) = -2x + 5. Vérification : f(4) = -8 + 5 = -3.
Exercice 7 : a = (-3 - 5) / (8 - (-2)) = -8 / 10 = -4/5 = -0,8. Puis 5 = (-4/5) × (-2) + b, soit 5 = 8/5 + b, donc b = 25/5 - 8/5 = 17/5 = 3,4. Donc f(x) = -0,8x + 3,4. Vérification : f(8) = -6,4 + 3,4 = -3, c'est bon.
Exercice 8 : 1) a = (11 - 7) / (30 - 10) = 4 / 20 = 0,2 et 7 = 0,2 × 10 + b donne b = 5, donc P(x) = 0,2x + 5 : 5 € de départ plus 0,20 € par minute. 2) P(45) = 0,2 × 45 + 5 = 9 + 5 = 14 €. 3) 0,2x + 5 = 12 donne 0,2x = 7, donc x = 35 minutes.
Tout ce qu'on te demande
Qu'est-ce que l'expression algébrique d'une fonction ?
C'est la formule qui indique quelles opérations faire sur un nombre x pour obtenir son image f(x). Par exemple, f(x) = 2x + 3 : multiplie par 2, puis ajoute 3.
Comment donner l'expression algébrique d'une fonction ?
Repère le type : une droite donne f(x) = ax + b, une droite passant par l'origine donne f(x) = ax. Calcule a avec deux points, trouve b en remplaçant un point dans la formule, écris f(x) en entier, puis vérifie avec l'autre point.
Comment écrire une expression algébrique ?
Choisis une lettre pour le nombre inconnu, puis traduis la phrase mot à mot. « Le double d'un nombre, plus 3 » devient 2x + 3. Teste ta formule avec un nombre simple comme 1.
Comment déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire ?
Elle s'écrit f(x) = ax, donc une seule valeur suffit. Divise l'image par son antécédent (différent de 0) : si f(3) = 12, alors a = 12 ÷ 3 = 4 et f(x) = 4x.
Comment trouver l'expression d'une fonction à partir d'une courbe ?
Si la courbe est une droite, lis b à son croisement avec l'axe des ordonnées, puis relève deux points aux coordonnées entières pour calculer a. Par exemple, (0 ; -1) et (2 ; 3) donnent f(x) = 2x - 1. Si ce n'est pas une droite, ax + b ne convient pas.
Comment trouver l'expression d'une parabole ?
Une parabole correspond à une expression contenant x², comme f(x) = x². En 3e, tu calcules surtout des images : f(3) = 9 et f(-3) = 9. La formule d'une parabole quelconque s'étudie au lycée.
Retiens l'essentiel : une expression algébrique est une recette, et pour une fonction affine, tu calcules a, puis b, puis tu vérifies avec un second point. Fais les 8 exercices sans regarder la correction, puis compare. Si une erreur revient, note-la : c'est celle-là qu'il faut travailler avant le contrôle.
