L'égalité de Pythagore en 4e : cours et exercices corrigés

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si ABC est rectangle en A, tu écris BC² = AB² + AC². Cette égalité sert à calculer une longueur manquante.

Un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm cache un angle droit. Franchement, c'est là que tout le monde se plante : on écrit la formule sans savoir quel côté est l'hypoténuse, ou on oublie la racine carrée à la fin. On se calme : un schéma, un cas chiffré, puis huit exercices corrigés.

L'égalité de Pythagore expliquée simplement

Ton objectif : écrire l'égalité dans n'importe quel triangle rectangle, puis t'en servir pour calculer une longueur ou tester un triangle. Trois réflexes suffisent : calculer un carré (7² = 49), repérer un angle droit sur une figure, lire une racine carrée simple (√49 = 7).

Traduisons en langage normal. Un côté fait face à l'angle droit et c'est toujours le plus long : l'hypoténuse. Les deux autres bordent l'angle droit. Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Le carré d'une longueur, c'est cette longueur multipliée par elle-même. Avec ABC rectangle en A, l'hypoténuse est [BC], donc BC² = AB² + AC². C'est exactement le théorème de Pythagore.

Le piège classique : choisir l'hypoténuse au hasard. Cherche la lettre de l'angle droit : l'hypoténuse est le segment qui ne la contient pas. Rectangle en A, c'est [BC] ; rectangle en C, ce serait [AB].

Calculer une longueur dans un triangle rectangle, étape par étape

Cette méthode marche pour toutes les longueurs d'un triangle rectangle.

1. Repère l'angle droit et nomme l'hypoténuse : c'est le côté en face.
2. Écris l'égalité de Pythagore avec les bonnes lettres.
3. Remplace par les valeurs connues, en gardant l'inconnue.
4. Calcule les carrés, puis additionne ou soustrais.
5. Prends la racine carrée du résultat et écris l'unité.

Premier cas, l'hypoténuse est inconnue. ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Donc BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, puis BC = √100 = 10 cm. Si tu t'arrêtes à 100, tu écris « BC = 100 cm » : c'est là que tout le monde se plante, alors n'oublie jamais la racine carrée.

Second cas, un côté de l'angle droit est inconnu. DEF est rectangle en D, avec EF = 13 cm et DE = 5 cm. L'hypoténuse est [EF], donc EF² = DE² + DF². On cherche DF : DF² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144, donc DF = 12 cm. L'erreur ici, c'est d'additionner : on soustrait quand l'inconnue borde l'angle droit.

Vérifie ton résultat : l'hypoténuse doit être plus longue que chacun des deux autres côtés. Sinon, tu as additionné ou soustrait à l'envers.

Prouver qu'un triangle est rectangle grâce à la réciproque

Ici, tu ne calcules plus, tu testes. La réciproque de Pythagore fait le chemin inverse du théorème : tu connais les trois côtés et tu vérifies si un angle droit existe. Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle. Si l'égalité est fausse, la contraposée tranche : il ne l'est pas.

Méthode : le carré du plus grand côté sur une ligne, la somme des deux autres carrés sur la suivante, comparaison, puis conclusion en une phrase. Prends toujours le plus grand côté comme hypoténuse, sinon la comparaison ne veut rien dire.

Dernière ligne : 81 et 85 sont proches, mais l'égalité doit être exacte, donc pas d'angle droit. Ne confonds pas avec Thalès, qui traite des droites parallèles.

Huit exercices pour t'entraîner, du plus facile au plus costaud

Fais un petit schéma à chaque fois, angle droit bien marqué. Résous, puis compare avec la correction.

Correction

Retiens trois réflexes : repère l'angle droit, entoure l'hypoténuse en face de lui, écris l'égalité avant de calculer. Pour une longueur, pense à la racine carrée. Fais les exercices sans regarder la correction, puis vérifie une réponse après l'autre.

Les questions fréquentes

Qu'est-ce que l'égalité de Pythagore ?

Elle relie les trois côtés d'un triangle rectangle : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si ABC est rectangle en A, tu écris BC² = AB² + AC².

Qu'est-ce que l'égalité de Thalès ?

Elle concerne deux droites parallèles qui coupent les côtés d'un triangle : les longueurs correspondantes sont proportionnelles. Elle sert à calculer une longueur grâce à des parallèles, pas à repérer un angle droit.

Quelle est la réciproque de Pythagore ?

C'est la propriété qui prouve qu'un angle est droit. Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. Tu connais les trois longueurs et tu testes l'égalité.

Quelles sont les propriétés de Pythagore ?

Deux propriétés sont à connaître. Le théorème direct : dans un triangle rectangle, BC² = AB² + AC², ce qui permet de calculer une longueur. La réciproque : si l'égalité est vérifiée avec les trois côtés, le triangle est rectangle. La contraposée en découle.

Qu'est-ce que la contraposée de Pythagore ?

Si l'égalité n'est pas vérifiée avec les trois côtés, alors le triangle n'est pas rectangle. Avec 6 cm, 7 cm et 9 cm, tu trouves 81 d'un côté et 85 de l'autre : il n'y a pas d'angle droit.

Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?

Le théorème part d'un triangle que tu sais rectangle pour calculer une longueur manquante. La réciproque part des trois longueurs pour savoir si le triangle possède un angle droit.

Quand utilise-t-on la réciproque de Pythagore ?

Quand l'énoncé donne les trois côtés et demande de prouver qu'un triangle est rectangle. Calcule le carré du plus grand côté, puis la somme des deux autres carrés, compare et conclus en une phrase.

À jour au 13 novembre 2026