Le tableau des puissances de 10 en 4e : cours et exercices
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Une puissance de 10 s'écrit 10ⁿ : l'exposant n indique combien de fois on multiplie 10 par lui-même, donc 10³ = 1 000. Avec un exposant négatif, on obtient un nombre plus petit que 1 : 10⁻³ = 0,001, soit un millième.
Combien de zéros dans 10¹² ? Beaucoup d'élèves répondent au hasard, puis perdent des points sur un détail de comptage. Franchement, on se calme : tout tient dans un seul tableau, qui réunit exposants positifs et négatifs, noms des nombres et préfixes de milli à péta. Tu le lis en trente secondes, tu apprends la méthode, puis tu t'entraînes avec huit exercices corrigés à imprimer.
Une puissance de 10, c'est quoi exactement ?
4e Cycle 4 Mathématiques Nombres et calculs
Cette fiche réunit le tableau des puissances de 10, la méthode pour convertir et huit exercices corrigés. Lis le tableau en trente secondes, puis entraîne-toi sans calculatrice.
« L'exposant, c'est le nombre de zéros à ajouter » : l'idée reçue tient pour 10³ = 1 000, mais elle casse dès que l'exposant devient négatif, car 10⁻³ = 0,001 n'a que deux zéros. En langage normal, l'exposant te dit combien de facteurs 10 tu multiplies : 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000. Ça se lit « 10 puissance 3 », et 1 000 est son écriture décimale. Côté officiel, pour tout entier relatif n, 10⁻ⁿ est l'inverse de 10ⁿ : 10⁻² = 1 ÷ 100 = 0,01.
Ton objectif : savoir lire, écrire et utiliser une puissance de 10, positive ou négative, puis t'en servir pour convertir une unité. Avant de commencer, vérifie trois prérequis : multiplier un nombre par 10,100 ou 1 000, lire un nombre décimal, connaître les unités de longueur et de masse. Cette fiche correspond au chapitre « Tableau des puissances de 10 » du programme de 4e.
Le tableau des puissances de 10, de 10⁻³ à 10¹⁵
Une ligne, une puissance : à gauche 10ⁿ, puis sa valeur, son nom et son préfixe. Franchement, c'est la seule page à garder sous les yeux le jour du contrôle.
| Puissance de 10 | Écriture décimale | Nom du nombre | Préfixe |
|---|---|---|---|
| 10⁻⁶ | 0,000 001 | un millionième | micro |
| 10⁻³ | 0,001 | un millième | milli |
| 10⁻² | 0,01 | un centième | centi |
| 10⁻¹ | 0,1 | un dixième | déci |
| 10⁰ | 1 | un | aucun préfixe |
| 10¹ | 10 | dix | déca |
| 10² | 100 | cent | hecto |
| 10³ | 1 000 | mille | kilo |
| 10⁶ | 1 000 000 | un million | méga |
| 10⁹ | 1 000 000 000 | un milliard | giga |
| 10¹² | 1 000 000 000 000 | un billion | téra |
| 10¹⁵ | 1 000 000 000 000 000 | un billiard | péta |
Le tableau saute des exposants pour rester lisible, mais les autres se déduisent en comptant les zéros : 10¹⁰ = 10 000 000 000 se lit dix milliards, et 10 000 000 000 000, avec ses 13 zéros, c'est 10¹³, soit dix billions. Quant à 1 000, c'est 10³. Attention au faux ami : en anglais, billion désigne 10⁹, notre milliard, alors qu'en français un billion vaut 10¹². Côté informatique, 1 gigaoctet = 1 × 10⁹ octets, soit un milliard d'octets.
Et quand l'exposant est négatif ?
Le signe moins ne rend pas le nombre négatif, il le rend petit. 10⁻³ est l'inverse de 10³, donc 1 ÷ 1 000 = 0,001. Repère simple : l'exposant, sans son signe, donne la position du chiffre 1 après la virgule. Pour 10⁻³, le 1 est en troisième position : 0,001. C'est là que tout le monde se plante : 0,001 contient deux zéros, mais l'exposant vaut 3, parce que tu comptes aussi le 1. La puissance de 10 de 0,001, c'est donc 10⁻³. Et n'oublie pas la ligne du milieu : 10⁰ = 1.
La méthode, étape par étape, pour lire, écrire et convertir
Pour convertir avec une puissance de 10, tu trouves le facteur entre les deux unités, tu l'écris sous la forme 10ⁿ, puis tu multiplies. Fil rouge : 5 km en mètres, quatre étapes à recopier sur ton brouillon.
- Écris ce que tu cherches : 5 km = ? m.
- Repère le facteur entre les deux unités : 1 km = 1 000 m.
- Écris ce facteur sous la forme 10ⁿ et choisis le signe de n. Le mètre est plus petit que le kilomètre, il en faut donc davantage : on multiplie, n est positif. Ici 1 000 = 10³.
- Calcule : 5 × 10³ = 5 000 m. Vérifie l'ordre de grandeur : 5 000 est bien plus grand que 5, normal pour une petite unité. Si tu trouvais 0,005, tu aurais multiplié dans le mauvais sens.
Dans l'autre sens, l'unité d'arrivée est plus grande, donc le signe de n devient négatif : 250 mm = 250 × 10⁻³ m = 0,25 m. La limite de la méthode est simple : elle suppose que tu connais le facteur entre les unités, alors apprends kilo, centi et milli par cœur.
Convertir avec un préfixe : le cas du gigaoctet
Un préfixe, c'est une puissance de 10 déguisée. Giga veut dire 10⁹ : 1 Go = 1 × 10⁹ octets, donc 3 Go = 3 × 10⁹ octets = 3 000 000 000 octets. Le même raisonnement marche vers le tout petit : micro veut dire 10⁻⁶, donc 1 µm = 10⁻⁶ m, un millionième de mètre. Retiens juste ça : tu remplaces le préfixe par sa puissance de 10, puis tu calcules comme d'habitude.
Deux exemples résolus, brouillon à l'appui
Exemple 1. Énoncé : écris 0,0001 sous la forme d'une puissance de 10. Sur ton brouillon, tu notes d'abord ce que tu cherches : 0,0001 = 10^ ?. Tu repères le 1 : il est en 4e position après la virgule, et le nombre est plus petit que 1, donc l'exposant est -4. Résultat : 0,0001 = 10⁻⁴. Vérifie ton résultat : 1 ÷ 10 000 donne bien 0,0001.
Exemple 2. Énoncé : calcule 10⁵ × 10⁻². Dans un produit, les exposants s'additionnent : 5 + (-2) = 3, donc 10⁵ × 10⁻² = 10³ = 1 000. Le piège classique, c'est de soustraire parce que tu vois un moins ; on additionne toujours, le moins fait simplement partie du nombre -2. Vérifie ton résultat : 100 000 × 0,01 = 1 000.
Mini-cas pour finir : 3 × 10⁴ = 3 × 10 000 = 30 000. Le 3 reste devant, seul 10⁴ se transforme. Vérifie ton résultat en décalant la virgule de quatre rangs vers la droite.
Les pièges classiques qui font perdre des points
On se calme : quatre erreurs reviennent à chaque contrôle, et c'est là que tout le monde se plante.
- 10³ n'est pas 10 × 3. Le premier calcul donne 1 000, le second 30. L'exposant compte des facteurs 10, il ne multiplie rien.
- 10⁰ = 1, pas 0. Mini-cas : 10⁵ × 10⁰ = 10⁵ × 1 = 10⁵. Si 10⁰ valait 0, ce produit s'effondrerait à 0.
- 10⁻² n'est ni -100 ni -20. C'est l'inverse de 10², donc 1 ÷ 100 = 0,01. Un exposant négatif donne un petit nombre, jamais un nombre négatif.
- En notation scientifique, le plus grand exposant fait le plus grand nombre : 1,5 × 10⁹ dépasse très largement 1,5 × 10⁻⁹. Condition : les deux nombres s'écrivent a × 10ⁿ avec a supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10. Sinon, compare les valeurs décimales.
Pourquoi 10² + 10³ ne fait pas 10⁵
Tu as déjà écrit 10² + 10³ = 10⁵ ? Presque tout le monde l'a fait. Les exposants s'additionnent dans un produit, jamais dans une somme. Calcul de contrôle : 10² + 10³ = 100 + 1 000 = 1 100, alors que 10² × 10³ = 10⁵ = 100 000. Pour une somme, tu calcules les valeurs puis tu additionnes ; et si tu veux une puissance de 10 dans le résultat, 1 100 s'écrit 1,1 × 10³.
Huit exercices pour t'entraîner, du plus simple au plus costaud
Huit exercices, du plus simple au plus costaud : lis 10³ et 10⁻², écris un nombre en puissance de 10, convertis des unités, multiplie des puissances, range des nombres. Note ton prénom et la date en haut de la fiche, écris tes réponses sur les pointillés, sans calculatrice, puis vérifie avec la correction juste après.
Exercice 1 (niveau 1)
Complète avec l'écriture décimale.
a) 10³ = 10 × 10 × 10 = ____
b) 10⁵ = ____
c) 10⁰ = ____
d) 10⁻² = ____
Exercice 2 (niveau 1)
Écris chaque nombre sous la forme d'une puissance de 10.
a) 10 000 = ____
b) 0,001 = ____
c) 1 000 000 = ____
d) 0,1 = ____
Exercice 3 (niveau 1)
Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul.
a) 10³ = 30 : ____
b) 10⁻² = 0,01 : ____
c) 10⁰ = 0 : ____
Exercice 4 (niveau 2)
Convertis en complétant les pointillés.
a) 3 km = 3 × 10____ m = ____ m
b) 2 kg = 2 × 10____ g = ____ g
c) 500 mm = 500 × 10____ m = ____ m
Exercice 5 (niveau 2)
Calcule et donne chaque résultat sous la forme 10ⁿ.
a) 10⁴ × 10³ = ____
b) 10⁶ × 10⁻² = ____
c) 10⁻³ × 10⁻² = ____
Exercice 6 (niveau 2)
Une clé USB a une capacité de 8 Go. Sachant que 1 Go = 1 × 10⁹ octets, complète : 8 Go = 8 × 10____ octets = ____ octets.
Exercice 7 (niveau 3)
Entoure le plus grand de ces nombres, puis range-les du plus petit au plus grand : 2 × 10³ ; 5 × 10⁻² ; 1 × 10⁰ ; 4 × 10² ; 3 × 10⁻¹.
Ordre croissant : ____ < ____ < ____ < ____ < ____
Exercice 8 (niveau 3)
Défi bonus. Un élève écrit : 10⁴ + 10⁴ = 10⁸. Calcule 10⁴ + 10⁴, calcule 10⁸, dis si l'élève a raison, puis corrige en complétant : 10⁴ + 10⁴ = 2 × 10____.
Correction
Exercice 1 : a) 1 000 ; b) 100 000 ; c) 1 ; d) 0,01. 10⁵ compte cinq facteurs 10,10⁰ vaut 1 par convention et 10⁻² est l'inverse de 100.
Exercice 2 : a) 10⁴ ; b) 10⁻³ ; c) 10⁶ ; d) 10⁻¹. Pour les grands nombres, tu comptes les zéros ; pour les petits, tu repères la position du 1 après la virgule.
Exercice 3 : a) faux, 10³ = 1 000 et non 10 × 3 = 30 ; b) vrai, 10⁻² = 1 ÷ 100 = 0,01 ; c) faux, 10⁰ = 1.
Exercice 4 : a) 3 × 10³ m = 3 000 m ; b) 2 × 10³ g = 2 000 g ; c) 500 × 10⁻³ m = 0,5 m. Le mètre est plus petit que le kilomètre, d'où l'exposant positif ; il est plus grand que le millimètre, d'où l'exposant négatif.
Exercice 5 : a) 10⁷ car 4 + 3 = 7 ; b) 10⁴ car 6 + (-2) = 4 ; c) 10⁻⁵ car -3 + (-2) = -5. Dans un produit, on additionne les exposants.
Exercice 6 : 8 Go = 8 × 10⁹ octets = 8 000 000 000 octets, soit huit milliards d'octets. Giga remplace 10⁹.
Exercice 7 : le plus grand est 2 × 10³ (2 000). Ordre croissant : 5 × 10⁻² < 3 × 10⁻¹ < 1 × 10⁰ < 4 × 10² < 2 × 10³, soit 0,05 ; 0,3 ; 1 ; 400 ; 2 000. Tous les nombres sont de la forme a × 10ⁿ avec a entre 1 et 10 (1 inclus), donc on compare les exposants : -2, -1,0,2,3.
Exercice 8 : 10⁴ + 10⁴ = 10 000 + 10 000 = 20 000 et 10⁸ = 100 000 000. L'élève a tort : 10⁸ serait le résultat de 10⁴ × 10⁴. La bonne égalité est 10⁴ + 10⁴ = 2 × 10⁴, car une somme double la quantité sans changer l'exposant.
Ce que vous nous demandez
C'est quoi 10 puissance ?
10 puissance n s'écrit 10ⁿ : l'exposant n indique combien de fois tu multiplies 10 par lui-même. Pour le calculer, écris n facteurs 10 : 10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000. Avec un exposant négatif, tu prends l'inverse : 10⁻² = 1 ÷ 100 = 0,01.
Comment écrire 10 puissance 10 ?
On l'écrit 10¹⁰, avec le second 10 en exposant, ou 10^10 au clavier. Sa valeur est un 1 suivi de dix zéros : 10 000 000 000. Cela se lit dix milliards, puisque 10⁹ vaut un milliard et que tu multiplies encore une fois par 10.
Comment s'appelle 10 puissance 15 ?
10¹⁵ s'appelle un billiard, soit 1 000 000 000 000 000, et son préfixe est péta. Il vient juste après le billion (10¹²), associé à téra. Au faux ami anglais : le billion anglo-saxon vaut 10⁹, alors qu'en français il vaut 10¹².
Quelle est la puissance de 10 de 1 000 ?
1 000 = 10 × 10 × 10, donc 1 000 = 10³. Un moyen rapide : compte les zéros après le 1, il y en a trois, ce qui donne l'exposant 3. Ça marche pour tout nombre écrit avec un 1 suivi de zéros, comme 100 = 10² ou 1 000 000 = 10⁶.
Quelle est la puissance de 10 de 0,001 ?
0,001 = 10⁻³. Le chiffre 1 est en troisième position après la virgule, donc l'exposant est -3. Contrôle : 10⁻³ est l'inverse de 10³ = 1 000, et 1 ÷ 1 000 = 0,001.0,001 ne contient que deux zéros, mais l'exposant vaut bien 3.
Comment convertir un nombre avec une puissance de 10 ?
Repère le facteur entre les deux unités, écris-le sous la forme 10ⁿ, puis multiplie. Exemple : 1 km = 1 000 m = 10³ m, donc 5 km = 5 × 10³ m = 5 000 m. Vers une unité plus grande, l'exposant devient négatif : 250 mm = 250 × 10⁻³ m = 0,25 m.
Tu as maintenant le tableau, la méthode et le piège à éviter : l'exposant dit combien de fois on multiplie par 10, pas combien de zéros on additionne à la main. Imprime la fiche, remplis ton Prénom et ta Date, fais les huit exercices sans regarder, puis compare avec la correction en couleur. Refais le défi bonus la veille du contrôle.
