En 3e, calcule le cosinus dans un triangle rectangle
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Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le rapport entre le côté adjacent et l’hypoténuse : cos(Â) = côté adjacent / hypoténuse. Il permet de calculer une longueur ou un angle, après avoir repéré l’angle droit et l’angle étudié.
Le piège classique arrive quand tu appelles « adjacent » le côté placé près de l’angle droit : c’est faux. Le côté adjacent dépend toujours de l’angle que tu regardes. On se calme : commence par entourer l’angle étudié, barre l’hypoténuse, puis repère le côté qui touche ton angle sans être l’hypoténuse. Avec cette habitude, la formule devient beaucoup moins mystérieuse et les calculs à la calculatrice tombent juste.
Cosinus dans un triangle rectangle : le rappel à connaître
Prénom : ________ Date : ________
3e · Cycle 4 · Mathématiques · Trigonométrie
Tu vas apprendre à calculer une longueur ou un angle sans te perdre dans les lettres. On se calme : il faut surtout savoir regarder le bon côté du triangle.
Objectif : Je sais calculer une longueur ou un angle avec le cosinus dans un triangle rectangle.
Avant de commencer, tu dois reconnaître un angle droit, nommer les côtés, régler ta calculatrice en mode degré et savoir arrondir un résultat.
Un triangle rectangle a un angle droit. Le côté placé en face de cet angle droit s'appelle l'hypoténuse : c'est toujours le même, et c'est le plus long côté.
Le cosinus sert uniquement pour un angle aigu, donc un angle plus petit que l'angle droit. La formule à retenir est : cos(Â) = côté adjacent / hypoténuse. Franchement, le cosinus est juste un rapport entre deux longueurs.
Le vocabulaire qui évite les erreurs
Dans le triangle ABC rectangle en B, AC est l'hypoténuse, car il est face à l'angle droit B. Si tu regardes l'angle Â, AB est le côté adjacent et BC est le côté opposé.
Le côté adjacent change quand tu changes d'angle. Si l'on étudie l'angle Ĉ, les rôles de AB et BC s'inversent. L'hypoténuse, elle, ne change jamais. C'est là que tout le monde se plante : adjacent ne veut pas dire « côté près de l'angle droit ». Choisis d'abord l'angle étudié, puis seulement le côté adjacent.
La méthode, étape par étape, pour utiliser le cosinus
L'idée reçue, c'est qu'il faut choisir une formule au hasard puis taper des touches. Non : ton brouillon décide avant la calculatrice.
- Entoure l'angle droit sur le dessin et souligne l'hypoténuse, le côté placé en face.
- Choisis l'angle étudié. Parmi les deux autres côtés, repère celui qui touche cet angle : c'est l'adjacent.
- Écris cos(Â) = adjacent/hypoténuse, puis isole ce que tu cherches.
- Calcule en mode degré, arrondis selon la consigne et vérifie ton résultat sur le brouillon.
Les trois formes utiles sont : adjacent = hypoténuse × cos(Â), hypoténuse = adjacent / cos(Â) et  = cos-1(adjacent/hypoténuse).
cos-1 se lit arccos : c'est la touche inverse de cos sur la calculatrice, pas 1/cos. Le jour du contrôle, une longueur a une unité ; un cosinus n'en a jamais.
Cosinus, sinus et tangente : ne mélange pas tout
| Relation | Rapport de longueurs |
|---|---|
| Cosinus | adjacent/hypoténuse |
| Sinus | opposé/hypoténuse |
| Tangente | opposé/adjacent |
Quand l'hypoténuse et le côté adjacent sont les deux côtés utiles, tu prends le cosinus. Le sinus utilise le côté opposé et l'hypoténuse ; la tangente utilise le côté opposé et le côté adjacent. Ces trois relations marchent dans un triangle rectangle : regarde les côtés connus et cherchés avant de choisir.
Exemples de calculs de longueurs et d’angles
Une formule ne sert à rien si tu ne vois pas comment elle tombe sur une vraie question. Voici la méthode, avec toutes les lignes à poser le jour du contrôle.
Exemple 1, Calculer une longueur
Dans le triangle ABC rectangle en B, AC = 10 cm et  = 53°. Calcule AB.
Je cherche : AB.
Je connais : AC = 10 cm et  = 53°.
Formule : cos(Â) = AB/AC.
Calcul : AB = AC × cos(Â) = 10 × cos(53°) ≈ 6,0.
Conclusion : AB ≈ 6,0 cm.
AB est bien adjacent à A et AC est l'hypoténuse. Rien de magique : tu as seulement remplacé les lettres après avoir écrit la relation.
Exemple 2, Calculer un angle
Dans le triangle DEF rectangle en E, DE = 8 cm et DF = 10 cm. Calcule D̂.
Je cherche : D̂.
Je connais : DE = 8 cm et DF = 10 cm.
Formule : cos(D̂) = DE/DF.
Calcul : cos(D̂) = 8/10 = 0,8, donc D̂ = cos-1(0,8) ≈ 36,9°.
Conclusion : D̂ ≈ 36,9°.
Vérifie que l'angle est inférieur à 90°. Si tu trouves un cosinus supérieur à 1 ou un angle droit, on se calme et on vérifie les côtés choisis.
Vérifie ton résultat avant de passer à la suite
Avant de rendre ta copie, contrôle trois choses. Un cosinus d'angle aigu est compris entre 0 et 1, le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse, et l'angle trouvé est entre 0° et 90°. Le cosinus est sans unité : garde donc l'unité seulement dans la conclusion quand tu calcules une longueur.
Cette vérification prend dix secondes. Franchement, c'est souvent la différence entre une erreur bête et un résultat propre. Si un calcul donne une hypoténuse plus courte que l'autre côté connu, ou un angle qui n'est pas aigu, reprends les lettres de la formule avant de toucher à la calculatrice.
Le piège classique avec les lettres du triangle
Le nom du triangle ne te donne pas automatiquement le côté adjacent. Tu dois regarder l'angle demandé, pas réciter les lettres dans l'ordre.
Dans l'exercice 6, DF est l'hypoténuse parce qu'il est face à l'angle droit E. DE est adjacent car il touche l'angle D sans être l'hypoténuse. Verdict : l'angle étudié commande tout.
Exercices de trigonométrie dans le triangle rectangle
Commence toujours par l'hypoténuse, puis écris la relation avec les lettres. Ne tape pas les nombres directement : c'est le moyen le plus sûr de choisir le mauvais côté.
Exercice 1 ⭐
Dans le triangle ABC rectangle en B, AC = 12 cm et  = 60°. Complète : cos(Â) = __/__, puis calcule AB au dixième de cm.
Exercice 2 ⭐
Dans le triangle MNP rectangle en N, MN = 7 cm et MP = 9 cm. Calcule M̂ au dixième de degré.
Exercice 3 ⭐
Dans le triangle RST rectangle en S, entoure l'hypoténuse parmi RS, ST et RT. Si l'angle étudié est R̂, complète : cos(R̂) = __/__.
Exercice 4 ⭐⭐
Dans le triangle GHI rectangle en H, GH = 5,4 cm et Ĝ = 48°. Calcule l'hypoténuse GI au dixième de cm.
Exercice 5 ⭐⭐
Un câble de 15 m relie le sol au sommet d’un poteau vertical, perpendiculaire au sol. Il forme un angle de 35° avec le sol. Calcule la distance horizontale entre le pied du poteau et le point d'ancrage, au dixième de m.
Exercice 6 ⭐⭐
Dans le triangle DEF rectangle en E, DE = 11 cm et DF = 14 cm. Rédige le calcul de D̂, puis donne son arrondi au dixième de degré.
Exercice 7 ⭐⭐⭐
Dans le triangle JKL rectangle en K, JL = 13 cm et Ĵ = 41°. Léa affirme que JK = 13 ÷ cos(41°). Vrai ou faux ? Corrige son calcul et donne JK au dixième de cm.
Exercice 8 ⭐⭐⭐
Dans un triangle UVW rectangle en V, UV = 6 cm et UW = 10 cm. Sami trouve Û = 126,9°. Explique pourquoi son résultat est impossible, puis calcule le bon angle au dixième de degré.
Correction
Exercice 1
cos(Â) = AB/AC. Donc AB = 12 × cos(60°) = 6,0 cm. AB est adjacent à A ; AC est l'hypoténuse.
Exercice 2
cos(M̂) = MN/MP = 7/9. Ainsi M̂ = cos-1(7/9) ≈ 38,9°. On utilise arccos car l'inconnue est un angle.
Exercice 3
L'hypoténuse est RT, face à l'angle droit S. Pour l'angle R, cos(R̂) = RS/RT. Le côté adjacent est celui qui touche R sans être l'hypoténuse.
Exercice 4
cos(Ĝ) = GH/GI, donc GI = 5,4 / cos(48°) ≈ 8,1 cm. L'hypoténuse doit être plus longue que 5,4 cm : résultat cohérent.
Exercice 5
La distance horizontale est le côté adjacent. Elle vaut 15 × cos(35°) ≈ 12,3 m. Le câble est l'hypoténuse car il est face à l'angle droit du sol et du poteau.
Exercice 6
cos(D̂) = DE/DF = 11/14. Donc D̂ = cos-1(11/14) ≈ 38,2°. DF est bien l'hypoténuse, face à E.
Exercice 7
Faux. Il faut multiplier : JK = JL × cos(Ĵ) = 13 × cos(41°) ≈ 9,8 cm. Diviser donnerait une longueur plus grande que l'hypoténuse, impossible.
Exercice 8
126,9° est impossible car Û est un angle aigu. cos(Û) = UV/UW = 6/10 = 0,6, donc Û = cos-1(0,6) ≈ 53,1°.
Réponses express
Questions fréquentes
Comment calculer deux côtés d'un triangle rectangle ?
Avec un angle et un côté connu, choisis la relation qui contient les côtés utiles : cosinus, sinus ou tangente. Pour trouver deux côtés, calcule-en un avec une relation, puis utilise une seconde relation ou le théorème de Pythagore si les données le permettent.
Comment calculer le côté d'un triangle rectangle avec un angle ?
Repère l'hypoténuse et place-toi sur l'angle donné. Si tu cherches le côté adjacent et que tu connais l'hypoténuse, écris adjacent = hypoténuse × cosinus de l'angle. Écris les lettres avant les nombres : c'est le réflexe qui évite l'erreur classique.
Comment calculer la longueur du côté adjacent d'un triangle rectangle ?
Le côté adjacent se calcule avec adjacent = hypoténuse × cos(angle). Cette formule marche seulement si l'angle choisi est aigu et si tu as identifié l'hypoténuse, toujours située face à l'angle droit. Garde l'unité de longueur dans la conclusion.
Qu'est-ce que la tangente dans un triangle rectangle ?
La tangente d'un angle aigu est le quotient du côté opposé par le côté adjacent : tan(angle) = opposé/adjacent. Tu l'utilises quand l'hypoténuse ne sert pas dans la question. Comme le cosinus et le sinus, elle concerne un triangle rectangle.
Comment calculer un angle dans un triangle rectangle ?
Écris d'abord le rapport entre les deux côtés connus. Avec l'adjacent et l'hypoténuse, utilise  = cos-1(adjacent/hypoténuse). Mets la calculatrice en mode degré et vérifie que le résultat est un angle aigu, donc inférieur à 90°.
Qu'est-ce qu'un cosinus ?
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le rapport entre le côté adjacent et l'hypoténuse. C'est un nombre sans unité, compris entre 0 et 1 pour un angle aigu. Il sert à trouver une longueur ou un angle.
Quelle est la formule du cosinus dans un triangle rectangle ?
La formule est cos(Â) = côté adjacent à A / hypoténuse. L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit. Attention : le côté adjacent dépend de l'angle observé, alors que l'hypoténuse reste toujours la même.
Retrouve toujours l’hypoténuse en premier : elle est en face de l’angle droit et c’est le plus long côté. Choisis ensuite l’angle étudié pour identifier le côté adjacent. Écris la formule avant les nombres, garde la calculatrice en mode degré et vérifie que ton résultat est cohérent, puis compare tes réponses avec la correction.
