Simplifier une fraction
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Cours sur les fractions
Quotients égaux
- Si l'on multiplie le numérateur (a) et le dénominateur (b) d'une fraction par le même nombre k ( différent de 0 ) alors le quotient garde la même valeur:
a = k x a
b k x b
Exemple:
2 = 2 x 5 = 10
3 3 x 5 15
- Si l'on divise le numérateur (a) et le dénominateur (b) d'une fraction par le même nombre k ( différent de 0 ) alors le quotient garde la même valeur:
a = a : k
b b : k
Exemple:
12 = 12 : 4 = 3
8 8 : 4 2
Méthode pour simplifier une fraction
Pour simplifier une fraction il faut dans un premier temps exprimer le numérateur et le dénominateur comme des produits.
Il suffit ensuite de les diviser par leurs facteurs communs.
On dit qu'une fraction est simplifiée lorsque le numérateur et le dénominateur ne possèdent plus de facteur commun (sauf 1)
Exemple
70
42
70 peut s'écrire: 70 = 7 x 10 que l'on peut encore décomposer en 70 = 7 x 2 x 5
14 peut sécrire: 14 = 6 x 7 que l'on peut encore décomposer en 14 = 2 x 3 x 7
Donc on a légalité:
70 = 7 x 2 x 5
14 2 x 3 x 7
7 est un facteur commun au numérateur et au dénomintateur, on peut donc les diviser par 7:
7 x 2 x 5 = 7 x 2 x 5 : 7 = 2 x 5
2 x 3 x 7 2 x 3 x 7 : 7 2 x 3
2 est un facteur commun au numérateur et au dénomintateur, on peut donc les diviser par 2:
2 x 5 = 2 x 5 : 2 = 5
2 x 3 = 2 x 3 : 2 = 3
Donc: 70 = 5
14 3
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Outil pratique : vérifiez vos calculs avec notre simplificateur de fractions avec étapes détaillées (PGCD par l’algorithme d’Euclide, décomposition en facteurs premiers et fraction irréductible).
En résumé: la simplification de fractions
Les fractions sont des expressions numériques omniprésentes dans le monde des mathématiques. Au sein de ce domaine, une des propriétés fondamentales est les "Quotients Égaux". C'est un concept qui révèle comment multiplier ou diviser les parties d'une fraction par un même nombre peut aboutir à un rapport équivalent. Dans cette fiche, nous avons exploré cette propriété intrigante et avons montré la méthode pour simplifier les fractions en réduisant les facteurs communs.
Simplifier une fraction, c'est quoi ?
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec des nombres plus petits sans changer sa valeur. Par exemple, 6⁄8 et 3⁄4 représentent exactement la même quantité : la seconde écriture est juste plus simple. Le secret tient en une phrase : on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
La méthode pas à pas
Tant que le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun (autre que 1), on les divise tous les deux par ce nombre. On recommence jusqu'à ce que ce ne soit plus possible.
Exemple avec 12⁄18 :
- 12 et 18 sont tous les deux divisibles par 2 → 6⁄9
- 6 et 9 sont tous les deux divisibles par 3 → 2⁄3
- 2 et 3 n'ont plus de diviseur commun : on s'arrête. 12⁄18 = 2⁄3.
La méthode rapide : le PGCD
Pour aller plus vite, on divise directement par le PGCD (le plus grand diviseur commun) du numérateur et du dénominateur. Pour 12⁄18, le PGCD de 12 et 18 est 6 : on divise une seule fois par 6 et on obtient tout de suite 2⁄3. Les deux méthodes donnent le même résultat ; la division par étapes est plus sûre quand on débute.
Une fraction « irréductible »
Quand on ne peut plus simplifier, on dit que la fraction est irréductible : son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun à part 1. C'est toujours la forme attendue dans un résultat.
Rappel : les critères de divisibilité (très utiles ici)
- par 2 : le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
- par 3 : la somme des chiffres est dans la table de 3 (ex. 18 → 1+8=9).
- par 5 : le nombre se termine par 0 ou 5.
- par 9 : la somme des chiffres est dans la table de 9.
Exemples résolus
15⁄25 : 15 et 25 finissent par 5 → divisibles par 5 → 3⁄5 (irréductible).
24⁄36 : PGCD(24, 36) = 12 → 2⁄3.
7⁄13 : 7 et 13 sont premiers, aucun diviseur commun → déjà irréductible.
Erreurs fréquentes
- Diviser le numérateur OU le dénominateur seulement : il faut diviser les deux par le même nombre.
- Soustraire au lieu de diviser (ex. 6⁄8 → 5⁄7) : c'est faux, ça change la valeur.
- S'arrêter trop tôt : vérifie toujours s'il reste un diviseur commun.
Exercices d'entraînement (avec corrigés)
- 10⁄15 → ÷5 → 2⁄3
- 16⁄24 → PGCD 8 → 2⁄3
- 9⁄12 → ÷3 → 3⁄4
- 21⁄28 → ÷7 → 3⁄4
- 45⁄60 → PGCD 15 → 3⁄4
Questions fréquentes
Comment savoir si une fraction est déjà simplifiée ? Si le seul diviseur commun au numérateur et au dénominateur est 1, elle est irréductible.
Faut-il toujours passer par le PGCD ? Non : diviser par étapes (2, puis 3, puis 5…) marche très bien et limite les erreurs.