Agrandissement-réduction et effets sur les aires et volumes

1. Introduction et problématique

Situation-problème : une entreprise fabrique une maquette d’un bâtiment. Sur le plan initial, une salle rectangulaire mesure 6 m de long et 4 m de large. Pour présenter le projet dans une exposition, on décide d’agrandir toutes les longueurs de la maquette avec un coefficient k = 2. La longueur devient donc 12 m sur le modèle agrandi, et la largeur devient 8 m. Mais que devient l’aire de la salle ? Est-elle simplement multipliée par 2 ? Et si l’on agrandit aussi la hauteur, que devient le volume de la pièce ?

En classe de 3e, on étudie les agrandissements et les réductions de figures ou de solides pour comprendre comment un coefficient agit sur différentes grandeurs. L’idée essentielle est la suivante : une longueur, une aire et un volume ne réagissent pas de la même façon. Une longueur se mesure dans une seule direction, une aire dans deux directions, un volume dans trois directions. C’est pourquoi le coefficient k n’a pas le même effet selon la grandeur étudiée.

Cette leçon a pour objectif de comprendre et d’utiliser les règles suivantes : longueur × k, aire × k², volume × k³. Si k > 1, on obtient un agrandissement ; si 0 < k < 1, on obtient une réduction. Ces règles sont très utiles en géométrie, dans les problèmes de maquettes, de plans, d’échelles, de solides, mais aussi pour interpréter des situations concrètes.

2. Définition

Définition : Un agrandissement ou une réduction de coefficient k est une transformation qui multiplie toutes les longueurs d’une figure ou d’un solide par un même nombre positif k. Si k > 1, il s’agit d’un agrandissement. Si 0 < k < 1, il s’agit d’une réduction.

Le nombre k s’appelle le coefficient. On peut le retenir avec le mot repère : co-ef-fi-cient. Il indique comment les longueurs sont transformées. Par exemple, si k = 3, chaque longueur est multipliée par 3. Mais attention : une aire n’est pas une longueur, et un volume n’est pas une aire. Il faut donc adapter le calcul à la grandeur étudiée.

Dans une figure plane, comme un triangle, un rectangle ou un disque, les longueurs peuvent être les côtés, les diagonales, les rayons, les hauteurs. Les aires correspondent aux surfaces. Dans un solide, comme un cube, un pavé droit, un cylindre, une pyramide ou une sphère, les longueurs peuvent être les arêtes, les rayons ou les hauteurs, et les volumes correspondent à l’espace occupé par le solide.

On utilise les notations suivantes : si une longueur initiale vaut L, alors la longueur transformée vaut L × k. Si une aire initiale vaut A, alors l’aire transformée vaut A × k². Si un volume initial vaut V, alors le volume transformé vaut V × k³.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Lors d’un agrandissement ou d’une réduction de coefficient k positif, les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k² et les volumes sont multipliés par k³.

Cette propriété est centrale au cycle 4. Elle permet de passer d’une figure à une figure semblable, ou d’un solide à un solide semblable, en contrôlant précisément les effets du coefficient. Deux figures sont dites semblables lorsque leurs angles correspondants sont égaux et que leurs longueurs correspondantes sont proportionnelles. Le rapport de proportionnalité est alors le coefficient k.

Pour les longueurs : si k = 4, une longueur de 5 cm devient 5 × 4 = 20 cm. Pour les aires : la même transformation multiplie une surface par 4² = 16. Une aire de 7 cm² devient donc 7 × 16 = 112 cm². Pour les volumes : le multiplicateur est 4³ = 64. Un volume de 2 cm³ devient donc 2 × 64 = 128 cm³.

Si k = 0,5, on est dans une réduction. Une longueur est multipliée par 0,5, donc divisée par 2. Une aire est multipliée par 0,5² = 0,25, donc divisée par 4. Un volume est multiplié par 0,5³ = 0,125, donc divisé par 8. Cela montre qu’une réduction des longueurs peut produire une réduction beaucoup plus forte des volumes.

4. Démonstration

Pour comprendre pourquoi l’aire est multipliée par k², on peut partir d’un rectangle. Supposons qu’un rectangle ait pour longueur L et pour largeur l. Son aire initiale vaut L × l. Après un agrandissement ou une réduction de coefficient k, la nouvelle longueur vaut L × k et la nouvelle largeur vaut l × k.

La nouvelle aire vaut donc : (L × k) × (l × k). En réorganisant les facteurs, on obtient L × l × k × k. Or L × l est l’aire initiale, et k × k = k². Donc la nouvelle aire vaut aire initiale × k². Cela explique que la surface dépend de deux dimensions. Le coefficient intervient une fois pour la longueur et une fois pour la largeur.

Pour comprendre pourquoi le volume est multiplié par k³, on peut utiliser un pavé droit. Supposons qu’il ait pour longueur L, largeur l et hauteur h. Son volume initial vaut L × l × h. Après transformation de coefficient k, les trois dimensions deviennent L × k, l × k et h × k.

Le nouveau volume vaut donc : (L × k) × (l × k) × (h × k). En regroupant, on obtient L × l × h × k × k × k. Or L × l × h est le volume initial et k × k × k = k³. Donc le nouveau volume vaut volume initial × k³. Un volume dépend de trois dimensions : longueur, largeur et hauteur. Le coefficient est donc utilisé trois fois.

Cette démonstration est faite avec un rectangle et un pavé droit, mais la propriété reste valable pour toutes les figures et tous les solides semblables : triangles, disques, cylindres, pyramides, cônes, sphères, etc.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère le coefficient k. Je lis l’énoncé et j’identifie le nombre qui multiplie les longueurs. Si les longueurs doublent, k = 2. Si elles sont divisées par 4, k = 0,25.
2. Je repère la grandeur étudiée. Je me demande si l’on parle d’une longueur, d’une aire ou d’un volume. Une longueur s’exprime en cm, m, km ; une aire en cm², m² ; un volume en cm³, m³ ou L selon le contexte.
3. J’applique le bon multiplicateur. Pour une longueur, je multiplie par k. Pour une aire, je multiplie par k². Pour un volume, je multiplie par k³.
4. J’effectue le calcul. Je calcule d’abord k² ou k³ si nécessaire, puis je multiplie la grandeur initiale par ce nombre.
5. Je vérifie la cohérence. Si k > 1, le résultat doit augmenter. Si 0 < k < 1, le résultat doit diminuer. Je vérifie aussi que l’unité est adaptée : cm, cm² ou cm³.
6. Je rédige une phrase-réponse. Je ne donne pas seulement un calcul : j’indique clairement la grandeur transformée et son unité.

Routine à retenir : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le coefficient et la grandeur. J’applique k, k² ou k³. Je vérifie le sens du résultat : agrandissement ou réduction.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère un triangle dont les côtés mesurent 4 cm, 6 cm et 7 cm. On réalise un agrandissement de coefficient k = 3. L’aire du triangle initial est de 10 cm². On cherche les longueurs des côtés du triangle agrandi et son aire.

Comme il s’agit d’un agrandissement de coefficient 3, toutes les longueurs sont multipliées par 3. Les côtés deviennent donc : 4 × 3 = 12 cm, 6 × 3 = 18 cm et 7 × 3 = 21 cm. Le triangle agrandi a donc pour côtés 12 cm, 18 cm et 21 cm.

Pour l’aire, il ne faut pas multiplier par 3, mais par 3². On calcule 3² = 9. L’aire initiale vaut 10 cm², donc l’aire agrandie vaut 10 × 9 = 90 cm².

Réponse : après un agrandissement de coefficient 3, les côtés mesurent 12 cm, 18 cm et 21 cm, et l’aire vaut 90 cm². On remarque que les longueurs ont été multipliées par 3, mais que l’aire a été multipliée par 9. Cela confirme que l’aire dépend de deux dimensions.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Une figure a une aire initiale de 8 cm². Après agrandissement, son aire vaut 72 cm². On cherche le coefficient d’agrandissement k appliqué aux longueurs.

On sait que les aires sont multipliées par k². On écrit donc : 8 × k² = 72. Pour trouver k², on divise 72 par 8 : k² = 72 ÷ 8 = 9. Il faut maintenant chercher le nombre positif dont le carré vaut 9. Ce nombre est 3, car 3² = 9.

Le coefficient d’agrandissement est donc k = 3. Cela signifie que toutes les longueurs de la figure ont été multipliées par 3. Attention : il serait faux de dire que k = 9, car 9 est le multiplicateur des aires, pas celui des longueurs.

Réponse : le coefficient d’agrandissement est 3. Si les aires sont multipliées par 9, les longueurs sont multipliées par √9 = 3. Cette situation inverse est fréquente : on donne l’effet sur l’aire ou sur le volume, et il faut retrouver le coefficient appliqué aux longueurs.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Une entreprise fabrique une maquette d’un réservoir en forme de cylindre. Le réservoir réel est obtenu par agrandissement de la maquette avec un coefficient k = 5. La maquette a une hauteur de 12 cm, un rayon de 3 cm, une aire latérale de 226 cm² et un volume de 339 cm³. On cherche les grandeurs correspondantes pour le réservoir agrandi.

La hauteur et le rayon sont des longueurs. Ils sont donc multipliés par k = 5. La hauteur devient 12 × 5 = 60 cm. Le rayon devient 3 × 5 = 15 cm.

L’aire latérale est une surface. Elle est donc multipliée par k². On calcule k² = 5² = 25. L’aire latérale du réservoir agrandi vaut 226 × 25 = 5 650 cm².

Le volume est une grandeur à trois dimensions. Il est donc multiplié par k³. On calcule k³ = 5³ = 125. Le volume du réservoir agrandi vaut 339 × 125 = 42 375 cm³.

Réponse : la hauteur du réservoir agrandi est 60 cm, son rayon est 15 cm, son aire latérale est 5 650 cm² et son volume est 42 375 cm³. Ce problème montre que, dans une même situation, on peut rencontrer des longueurs, des aires et des volumes. Il faut donc identifier la nature de chaque grandeur avant de calculer.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : multiplier une aire par k au lieu de k² — À faire : se rappeler qu’une aire dépend de deux dimensions. Si le côté d’un carré est multiplié par k, sa longueur et sa largeur le sont aussi, donc l’aire est multipliée par k × k.
• Erreur : multiplier un volume par k² au lieu de k³ — À faire : penser aux trois dimensions d’un solide : longueur, largeur et hauteur. Le volume est donc multiplié par k × k × k.
• Erreur : croire qu’une réduction divise toujours par 2 — À faire : lire précisément le coefficient. Une réduction peut avoir pour coefficient 0,5 ; 0,25 ; 0,1 ; 0,8 ou tout autre nombre compris entre 0 et 1.
• Erreur : inverser k² et k³ — À faire : associer aire à 2 dimensions et volume à 3 dimensions. Le carré correspond à 2, le cube correspond à 3.
• Erreur : oublier les unités au carré ou au cube — À faire : rédiger avec l’unité adaptée : cm pour une longueur, cm² pour une aire, cm³ pour un volume.
• Erreur : utiliser un coefficient négatif — À faire : retenir qu’un coefficient d’agrandissement ou de réduction est positif dans ce contexte.

10. À retenir

• Un agrandissement ou une réduction multiplie toutes les longueurs par un même coefficient positif k.
• Si k > 1, la figure ou le solide est agrandi.
• Si 0 < k < 1, la figure ou le solide est réduit.
• Les longueurs sont multipliées par k : longueur × k.
• Les aires sont multipliées par k² : aire × k².
• Les volumes sont multipliés par k³ : volume × k³.
• Une aire dépend de deux dimensions, donc le coefficient intervient deux fois.
• Un volume dépend de trois dimensions, donc le coefficient intervient trois fois.
• Pour retrouver k à partir d’un effet sur les aires, on utilise une racine carrée : si k² = 16, alors k = √16 = 4.
• Pour retrouver k à partir d’un effet sur les volumes, on cherche le nombre dont le cube donne le multiplicateur : si k³ = 27, alors k = 3.
• Les unités doivent toujours correspondre à la grandeur : m, m² ou m³.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Agrandissement-réduction et effets sur les aires et volumes — 3e ». Cette fiche peut contenir des exercices progressifs pour s’entraîner à reconnaître la grandeur étudiée, choisir le bon multiplicateur et rédiger une réponse complète avec l’unité adaptée.

Aperçu des types d’exercices proposés : Compléter les effets du coefficient, où il faut remplir un tableau avec k, k² et k³ ; Vrai ou faux ?, pour repérer les affirmations correctes ou incorrectes ; Associer k, k² et k³, afin de relier chaque grandeur à son multiplicateur ; Écrire le calcul adapté, pour choisir entre longueur × k, aire × k² et volume × k³ ; Problème de maquette, pour utiliser les règles dans une situation concrète.

Barème possible sur 20 points : identifier correctement la grandeur concernée, longueur, aire ou volume, vaut 4 points ; choisir le bon multiplicateur, k, k² ou k³, vaut 5 points ; effectuer les calculs numériques avec précision vaut 5 points ; rédiger une réponse avec l’unité adaptée vaut 3 points ; justifier la démarche dans les problèmes vaut 3 points.

Pour réussir ces exercices, il est conseillé de souligner dans l’énoncé les mots qui indiquent la grandeur : côté, rayon, hauteur pour une longueur ; surface, aire, disque, façade pour une aire ; capacité, volume, contenance pour un volume. Ensuite, on écrit clairement le coefficient k, puis on calcule k² ou k³ si nécessaire.

12. Questions fréquentes