Systèmes de deux équations à deux inconnues

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au cinéma, Léa achète 2 places adultes et 3 places enfants pour 39 €. Le même jour, Sami achète 1 place adulte et 4 places enfants pour 34 €. Quel est le prix d’une place adulte et celui d’une place enfant ?

Avec une seule équation, il serait difficile de répondre, car il y a deux inconnues. On peut noter x le prix d’une place adulte et y le prix d’une place enfant. La première information donne l’équation 2x + 3y = 39. La deuxième information donne l’équation x + 4y = 34. Les deux équations doivent être vraies en même temps : on obtient donc un système de deux équations à deux inconnues.

En classe de 3e, conformément aux attendus du cycle 4, l’objectif est de savoir traduire une situation par des équations, transformer correctement des égalités, choisir une méthode adaptée, puis vérifier le résultat obtenu. Les deux méthodes principales étudiées sont la substitution et la combinaison linéaire.

On retiendra le mot-repère : couple. Un couple solution s’écrit par exemple (3 ; 2), ce qui signifie x = 3 et y = 2. On ne donne donc pas une seule valeur, mais deux valeurs rangées dans un ordre précis.

2. Définition

Définition : Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations contenant deux nombres inconnus, souvent notés x et y, que l’on doit vérifier simultanément. Résoudre le système consiste à trouver tous les couples (x ; y) qui rendent vraies les deux équations.

On écrit souvent un système avec une accolade :

{ 2x + 3y = 39
x + 4y = 34 }

Les deux lignes ne sont pas deux exercices séparés : elles forment une seule condition double. Le couple cherché doit vérifier la première équation et la deuxième équation.

Vocabulaire essentiel :

• SYSTÈME : deux équations à résoudre en même temps.
• COUPLE SOLUTION : valeurs de x et y qui vérifient les deux équations.
• SUBSTITUTION : remplacer une inconnue par une expression égale.
• COMBINAISON : additionner ou soustraire des équations pour éliminer une inconnue.

Un couple solution se présente généralement sous la forme (x ; y). Par exemple, si on trouve x = 6 et y = 7, on écrit : le couple solution est (6 ; 7). L’ordre est important : (6 ; 7) ne signifie pas la même chose que (7 ; 6).

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : On obtient un système équivalent, c’est-à-dire ayant les mêmes solutions, lorsqu’on remplace une équation par une équation obtenue en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre non nul, ou lorsqu’on remplace une inconnue par une expression qui lui est égale.

Cette propriété justifie les deux méthodes principales.

1. La substitution. Si une équation donne par exemple x = 2y + 1, alors on peut remplacer x par 2y + 1 dans l’autre équation. On obtient alors une équation à une seule inconnue, que l’on sait résoudre.

2. La combinaison linéaire. Si deux coefficients d’une même inconnue sont opposés, par exemple 3x et −3x, alors l’addition des deux équations permet d’éliminer x. Si les coefficients ne sont pas encore opposés, on peut parfois multiplier une ou deux équations pour les rendre opposés.

Dans tous les cas, une transformation correcte respecte l’égalité. Si l’on multiplie une équation par 2, on multiplie tous les termes des deux membres par 2. Si l’on remplace une expression, on utilise des parenthèses pour éviter les erreurs de signe.

4. Démonstration

On explique pourquoi les méthodes utilisées ne changent pas les solutions du système.

Supposons qu’un couple (x ; y) vérifie le système :

{ x = 2y + 1
3x + y = 19 }

Puisque x est égal à 2y + 1, remplacer x par 2y + 1 dans la deuxième équation ne change pas la valeur de l’expression. On obtient :

3(2y + 1) + y = 19.

Cette équation est vraie exactement pour les mêmes valeurs de y que celles qui conviennent au système. Une fois y trouvé, on revient à x = 2y + 1 pour trouver x. La substitution conserve donc les solutions.

Pour la combinaison, considérons :

{ 2x + 3y = 16
−2x + 5y = 24 }

Si un couple vérifie les deux équations, alors les membres de gauche sont égaux aux membres de droite. On peut donc additionner les égalités :

(2x + 3y) + (−2x + 5y) = 16 + 24.

Les termes 2x et −2x s’annulent, donc :

8y = 40.

Cette nouvelle équation est une conséquence des deux premières et permet de trouver y. Ensuite, on remplace y dans l’une des équations de départ pour calculer x. La combinaison est donc fondée sur les propriétés de l’égalité.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. J’observe le système. Une équation isole-t-elle déjà x ou y ? Les coefficients permettent-ils d’éliminer facilement une inconnue ?
2. Je choisis la méthode. Si une inconnue est déjà seule, j’utilise souvent la substitution. Si deux coefficients sont opposés, égaux ou faciles à rendre opposés, j’utilise la combinaison.
3. J’applique correctement la transformation. En substitution, je remplace avec des parenthèses. En combinaison, je multiplie toute l’équation si nécessaire, puis j’additionne ou je soustrais.
4. Je résous l’équation à une inconnue. Après élimination d’une inconnue, il reste une équation du type ax = b ou ay = b.
5. Je calcule la deuxième inconnue. Je remplace la valeur trouvée dans l’une des équations les plus simples du système.
6. Je vérifie. Je remplace x et y dans les deux équations de départ. Les deux égalités doivent être vraies.
7. Je conclus. J’écris le couple solution sous la forme (x ; y), accompagné d’une phrase si le système vient d’un problème concret.

Routine à retenir : 🔎 Je repère / 🧮 J’applique / ✅ Je vérifie. Cette routine évite de choisir une méthode au hasard et oblige à contrôler le résultat final.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Résoudre le système suivant par substitution :

{ x = 2y + 1
3x + y = 22 }

La première équation donne déjà x en fonction de y. On remplace donc x par 2y + 1 dans la deuxième équation :

3(2y + 1) + y = 22.

On développe :

6y + 3 + y = 22.

On réduit :

7y + 3 = 22.

On soustrait 3 aux deux membres :

7y = 19.

On divise par 7 :

y = 19 ÷ 7, donc y = 19/7.

On remplace y dans l’équation x = 2y + 1 :

x = 2 × 19/7 + 1 = 38/7 + 7/7 = 45/7.

Le couple trouvé est donc (45/7 ; 19/7).

Vérification dans la deuxième équation :

3 × 45/7 + 19/7 = 135/7 + 19/7 = 154/7 = 22.

La deuxième équation est vérifiée, et la première l’est par construction. Le couple solution est (45/7 ; 19/7).

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Résoudre le système suivant par combinaison :

{ 4x + 3y = 25
2x − 3y = 5 }

Les coefficients de y sont 3 et −3. Ils sont opposés. On peut donc additionner les deux équations pour éliminer y :

(4x + 3y) + (2x − 3y) = 25 + 5.

On réduit :

6x = 30.

On divise par 6 :

x = 5.

On remplace x par 5 dans une équation du système, par exemple la deuxième :

2x − 3y = 5.

2 × 5 − 3y = 5.

10 − 3y = 5.

On soustrait 10 aux deux membres :

−3y = −5.

On divise par −3 :

y = 5/3.

Le couple candidat est (5 ; 5/3).

Vérification dans la première équation :

4 × 5 + 3 × 5/3 = 20 + 5 = 25.

Vérification dans la deuxième équation :

2 × 5 − 3 × 5/3 = 10 − 5 = 5.

Les deux équations sont vérifiées. Le couple solution est donc (5 ; 5/3).

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Dans une papeterie, 3 cahiers et 2 stylos coûtent 11 €. Dans le même magasin, 2 cahiers et 5 stylos coûtent 13 €. On cherche le prix d’un cahier et le prix d’un stylo.

On note :

• x le prix d’un cahier, en euros ;
• y le prix d’un stylo, en euros.

On traduit les informations :

{ 3x + 2y = 11
2x + 5y = 13 }

Pour éliminer y, on rend les coefficients de y opposés. Dans la première équation, le coefficient de y est 2. Dans la deuxième, il est 5. On peut multiplier la première équation par 5 et la deuxième par −2 :

5 × (3x + 2y = 11) donne 15x + 10y = 55.

−2 × (2x + 5y = 13) donne −4x − 10y = −26.

On additionne :

(15x + 10y) + (−4x − 10y) = 55 − 26.

Donc :

11x = 29.

Ainsi :

x = 29/11.

On remplace x dans la première équation :

3 × 29/11 + 2y = 11.

87/11 + 2y = 121/11.

2y = 34/11.

y = 17/11.

Le couple solution est (29/11 ; 17/11). Cela signifie qu’un cahier coûte 29/11 €, soit environ 2,64 €, et qu’un stylo coûte 17/11 €, soit environ 1,55 €. Dans un problème concret, il est utile d’ajouter une phrase de conclusion avec les unités.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : donner une seule valeur au lieu d’un couple — À faire : écrire systématiquement la réponse sous la forme (x ; y), avec une phrase d’interprétation.
• Erreur : faire une erreur de signe lors d’une substitution — À faire : utiliser des parenthèses, par exemple écrire 3x − (7 − x), puis réduire ensuite.
• Erreur : additionner les équations sans éliminer d’inconnue — À faire : entourer les coefficients de x et de y avant de choisir l’opération.
• Erreur : multiplier seulement un côté d’une équation — À faire : multiplier les deux membres et tous les termes par le même nombre.
• Erreur : oublier de vérifier le couple trouvé — À faire : ajouter une ligne obligatoire de vérification dans l’équation 1 et dans l’équation 2.
• Erreur : inverser l’ordre du couple — À faire : se rappeler que (x ; y) signifie toujours d’abord la valeur de x, puis celle de y.

10. À retenir

• Un système de deux équations à deux inconnues se résout en cherchant un couple (x ; y).
• Le couple solution doit vérifier les deux équations en même temps.
• La substitution est adaptée quand une inconnue est déjà isolée ou facile à isoler.
• La combinaison est adaptée quand on peut éliminer une inconnue en additionnant ou en soustrayant les équations.
• Lorsqu’on multiplie une équation, on multiplie tous les termes des deux membres.
• Les parenthèses sont indispensables lors d’un remplacement par une expression.
• La vérification finale n’est pas facultative : elle confirme que le couple trouvé est bien solution du système.
• Dans un problème, il faut définir les inconnues, écrire le système, résoudre, puis conclure avec les unités.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur les systèmes de deux équations à deux inconnues en 3e.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Compléter un tableau de résolution : retrouver les étapes manquantes d’une résolution par substitution ou combinaison.
• Choisir la bonne transformation : décider s’il faut isoler une inconnue, multiplier une équation, additionner ou soustraire.
• Remettre une résolution dans l’ordre : reconstruire un raisonnement correct à partir de lignes mélangées.
• Encoder un problème : définir x et y, puis traduire une situation par un système.
• Résoudre des systèmes par combinaison : éliminer x ou y, calculer les deux valeurs, puis vérifier.

Barème possible pour un exercice complet sur 10 points : mise en équations ou lecture correcte du système, 2 points ; choix d’une méthode adaptée, 2 points ; transformations algébriques correctes, 3 points ; obtention correcte des valeurs de x et y, 2 points ; vérification et présentation du couple solution, 1 point.

12. Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’un système de deux équations à deux inconnues ?

C’est un ensemble de deux équations contenant deux inconnues, souvent notées x et y. Résoudre le système consiste à trouver le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations en même temps.

Quand utiliser la méthode par substitution ?

La substitution est pratique lorsqu’une inconnue est déjà isolée, par exemple x = 2y + 1, ou lorsqu’elle est facile à isoler. On remplace alors cette inconnue dans l’autre équation pour obtenir une équation à une seule inconnue.

Quand utiliser la méthode par combinaison ?

La combinaison est pratique lorsque les coefficients d’une même inconnue sont opposés, égaux, ou peuvent le devenir en multipliant une équation. L’objectif est d’additionner ou de soustraire les équations pour éliminer x ou y.

Pourquoi faut-il vérifier la solution dans les deux équations ?

Parce qu’un couple peut vérifier une équation sans vérifier l’autre. Pour être solution du système, il doit rendre vraies les deux égalités de départ. La vérification permet aussi de repérer une erreur de calcul ou de signe.

Peut-il y avoir une solution avec des fractions ?

Oui. Un système peut avoir des solutions entières, décimales ou fractionnaires. La méthode reste la même : on transforme les équations, on résout, puis on vérifie le couple obtenu.