Révision Brevet 5 : Sujet complet annales

1. Introduction et problématique

Un sujet complet de mathématiques au Brevet, ou DNB, n’est pas seulement une suite de calculs. C’est une épreuve de 2 heures, souvent notée sur 100 points, qui mélange plusieurs chapitres du cycle 4 : nombres, calcul littéral, fonctions, géométrie, probabilités, statistiques, algorithmique et problèmes concrets. S’entraîner sur des annales, un sujet zéro ou une épreuve type permet donc de vérifier à la fois ses connaissances, sa rapidité et sa capacité à rédiger.

La difficulté principale n’est pas toujours le niveau des questions. Beaucoup d’élèves perdent des points parce qu’ils commencent par l’exercice le plus long, oublient les unités, ne justifient pas un résultat ou ne gardent pas de temps pour relire. Pourtant, un sujet de Brevet comporte souvent des questions accessibles dès le début de chaque exercice. La bonne stratégie consiste à repérer ces questions, à les traiter proprement, puis à revenir aux questions plus difficiles.

Le mot repère est Annales, que l’on peut découper en syllabes : an - nales. Un sujet d’annales comporte souvent 5 à 7 exercices notés sur 100 points : il faut repérer rapidement les exercices faciles pour gagner des points. Dans cette leçon, on apprend à gérer un Sujet complet, à utiliser le Barème, à rédiger une Justification et à travailler en Temps limité.

2. Définition

Définition : Un sujet complet de Brevet en mathématiques est une épreuve d’entraînement qui reprend les conditions réelles du DNB : durée de 2 heures, calculatrice autorisée ou non selon les consignes, plusieurs exercices indépendants, barème global sur 100 points, rédaction exigée et compétences variées du programme de 3e.

Un sujet complet n’est pas une fiche d’exercices classique. Il faut gérer plusieurs tâches en même temps : comprendre les consignes, choisir les outils mathématiques, effectuer les calculs, rédiger les réponses et vérifier les résultats. Les exercices peuvent être indépendants, mais à l’intérieur d’un même exercice, certaines questions peuvent s’appuyer sur les précédentes.

Les compétences évaluées correspondent aux attendus du cycle 4 du BO 2018 : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer. Par exemple, dans un exercice de géométrie, il ne suffit pas de trouver une longueur : il faut souvent citer le théorème utilisé, vérifier ses conditions d’application et écrire une phrase de conclusion. Dans un exercice de probabilités, il faut identifier les issues possibles, les issues favorables et donner une probabilité sous forme de fraction, de décimal ou de pourcentage selon la question.

La routine à appliquer est simple : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère les données et les questions accessibles. J’applique la bonne méthode : calcul, équation, théorème, tableau, formule ou schéma. Je vérifie les unités, les ordres de grandeur, les signes, les arrondis et la cohérence de la réponse.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans un sujet complet de Brevet, une réponse mathématique est pleinement validée lorsqu’elle associe une méthode correcte, des calculs exacts, une justification adaptée et une phrase réponse cohérente avec la question posée.

Ce principe est essentiel pour comprendre le barème. Un résultat numérique seul peut rapporter une partie des points, mais une justification manquante peut faire perdre des points importants. À l’inverse, une démarche correcte peut être partiellement valorisée même si une erreur de calcul apparaît à la fin.

Plusieurs propriétés reviennent très souvent dans les annales du DNB. En géométrie, le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle : si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². Sa réciproque permet de prouver qu’un triangle est rectangle. Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs dans une configuration de droites parallèles, en utilisant des rapports égaux. Sa réciproque peut servir à démontrer que deux droites sont parallèles.

En fonctions, on doit savoir lire une image et un antécédent, compléter un tableau de valeurs, comparer deux expressions et interpréter graphiquement une situation. En probabilités, si toutes les issues sont équiprobables, on utilise la formule : probabilité = nombre d’issues favorables ÷ nombre total d’issues. En calcul, il faut maîtriser les fractions, les puissances, les racines carrées simples, les pourcentages et les priorités opératoires.

4. Démonstration

Montrons pourquoi la stratégie globale est efficace. Supposons un sujet de 100 points composé de cinq parties : questions flash sur 15 points, fonctions et tableau sur 18 points, géométrie sur 22 points, probabilités sur 15 points et problème complet sur 30 points. Si un élève commence par le problème complet et y passe 55 minutes, il peut se retrouver en difficulté pour traiter les autres exercices, même s’ils contiennent des questions simples.

À l’inverse, s’il lit tout le sujet en 5 minutes, il peut repérer les questions rapides : calculs directs, lecture de tableau, probabilité simple, application immédiate de Pythagore, conversion d’unités. Ces questions peuvent rapporter de nombreux points en peu de temps. Il sécurise ainsi une partie du barème avant d’affronter les tâches longues.

La démonstration repose sur une idée simple : le score obtenu ne dépend pas seulement de ce que l’on sait faire, mais aussi de l’ordre dans lequel on le fait. Deux élèves de niveau comparable peuvent obtenir des résultats différents si l’un gère mieux son temps. Un exercice difficile ne doit pas bloquer toute l’épreuve. Si aucune piste n’apparaît après 3 à 4 minutes, il est préférable de laisser un espace sur la copie et de passer à la suite.

Enfin, la rédaction augmente la valeur d’une réponse. Par exemple, écrire seulement « AB = 5 cm » est moins solide que : « Le triangle ABC est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². On en déduit AB = 5 cm. » La deuxième réponse montre la méthode et permet au correcteur d’attribuer les points de raisonnement.

5. Méthode pas à pas

1. Préparer le matériel : stylo, crayon, gomme, règle, équerre, compas, calculatrice si elle est autorisée. Vérifier que tout fonctionne avant de commencer.
2. Lire tout le sujet en 5 minutes : ne pas résoudre immédiatement. Entourer les mots importants, repérer le barème et noter les exercices qui semblent accessibles.
3. Commencer par les points sûrs : traiter d’abord les questions flash, les calculs directs, les lectures graphiques ou les questions de cours maîtrisées.
4. Rédiger chaque étape : écrire la formule utilisée, remplacer par les valeurs, effectuer le calcul, puis conclure avec une phrase réponse.
5. Gérer le temps : pour 100 points en 120 minutes, on peut viser environ 1 minute par point, en gardant 5 à 10 minutes pour la relecture.
6. Ne pas rester bloqué : si une question résiste, laisser un espace, passer à la suivante et revenir plus tard si le temps le permet.
7. Vérifier les unités : distinguer cm, m, cm², m², L, m³. Une conversion d’aire ne se fait pas comme une conversion de longueur.
8. Contrôler la cohérence : une probabilité doit être comprise entre 0 et 1, une longueur doit être positive, un prix doit être réaliste.
9. Relire la question : vérifier que la réponse donnée correspond bien à ce qui est demandé : valeur exacte, valeur arrondie, justification ou conclusion.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère une série de questions flash de début de sujet, notée sur 15 points. L’objectif est d’obtenir rapidement des points en appliquant des techniques de base.

Question 1 : Calculer A = 3² + 4 × 5. On respecte les priorités : 3² = 9 et 4 × 5 = 20, donc A = 9 + 20 = 29.

Question 2 : Simplifier la fraction 18 ÷ 24. On cherche un diviseur commun : 18 = 6 × 3 et 24 = 6 × 4, donc 18/24 = 3/4.

Question 3 : Donner 20 % de 45 €. On calcule 20 % = 20/100 = 0,20, donc 0,20 × 45 = 9. La réponse est 9 €.

Question 4 : Résoudre 2x + 5 = 17. On soustrait 5 : 2x = 12. On divise par 2 : x = 6.

Question 5 : Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? Il y a 3 issues favorables sur 10 issues possibles, donc la probabilité est 3/10.

Dans ce cas direct, les méthodes sont immédiates. Le danger est de répondre trop vite sans détailler. Même dans les questions flash, il faut poser les calculs essentiels, surtout lorsque le résultat peut être vérifié par le correcteur.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On étudie une fonction f définie par f(x) = 2x + 3. Dans un sujet de Brevet, on peut demander une image ou un antécédent. L’image est le résultat obtenu en remplaçant x. L’antécédent est la valeur de x qui donne un résultat demandé.

Question directe : Calculer l’image de 4. On remplace x par 4 : f(4) = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11. L’image de 4 par f est 11.

Question inverse : Trouver l’antécédent de 15. On cherche x tel que f(x) = 15. On résout donc 2x + 3 = 15. On soustrait 3 : 2x = 12. On divise par 2 : x = 6. L’antécédent de 15 par f est 6.

Cette distinction est souvent source d’erreurs. Si l’on demande « l’image de 4 », le nombre de départ est 4. Si l’on demande « l’antécédent de 15 », le nombre d’arrivée est 15 et il faut remonter vers x. Dans un tableau de valeurs, les antécédents sont souvent placés sur la première ligne et les images sur la deuxième ligne.

Pour vérifier, on remplace x par 6 dans la fonction : f(6) = 2 × 6 + 3 = 12 + 3 = 15. La réponse est cohérente. Cette vérification rapide permet d’éviter une confusion entre image et antécédent.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un problème complet type Brevet peut mélanger conversions, aires, proportionnalité, coût et remise. Voici un exemple. Une famille veut poser du gazon synthétique sur une terrasse rectangulaire de longueur 6 m et de largeur 3,5 m. Le gazon est vendu en rouleaux couvrant chacun 4 m². Un rouleau coûte 18 €. Le magasin accorde une remise de 10 % sur le prix total.

Étape 1 : calculer l’aire. L’aire d’un rectangle est longueur × largeur. Donc A = 6 × 3,5 = 21. L’aire de la terrasse est 21 m².

Étape 2 : déterminer le nombre de rouleaux. Chaque rouleau couvre 4 m². On calcule 21 ÷ 4 = 5,25. On ne peut pas acheter 5,25 rouleaux, il faut donc arrondir au nombre supérieur : il faut 6 rouleaux.

Étape 3 : calculer le prix avant remise. Un rouleau coûte 18 €, donc 6 rouleaux coûtent 6 × 18 = 108 €.

Étape 4 : appliquer la remise. Une remise de 10 % sur 108 € vaut 0,10 × 108 = 10,80 €. Le prix final est donc 108 - 10,80 = 97,20 €.

Phrase réponse : La famille doit acheter 6 rouleaux et paiera 97,20 € après la remise.

Ce type d’exercice montre l’importance de la cohérence. Le résultat 5,25 rouleaux est mathématiquement correct comme quotient, mais impossible comme quantité à acheter. Dans un problème concret, il faut interpréter le calcul et choisir l’arrondi adapté.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Commencer par l’exercice le plus long et manquer de temps — À faire : lire tout le sujet en 5 minutes et commencer par les questions accessibles.
• Erreur : Donner des résultats numériques corrects sans justification — À faire : écrire une phrase de justification après chaque théorème, formule ou propriété utilisée.
• Erreur : Confondre les conversions de longueurs, d’aires et de volumes — À faire : écrire systématiquement les conversions avant le calcul, par exemple 1 m = 100 cm mais 1 m² = 10 000 cm².
• Erreur : Mal appliquer une formule de probabilité — À faire : compléter la phrase : probabilité = nombre d’issues favorables ÷ nombre total d’issues.
• Erreur : Oublier de vérifier la cohérence du résultat final — À faire : réserver 5 minutes à la fin pour contrôler unités, ordre de grandeur, signes, arrondis et phrase réponse.
• Erreur : Confondre image et antécédent dans une fonction — À faire : se demander si l’on part de x ou si l’on cherche x.
• Erreur : Utiliser Pythagore sans triangle rectangle — À faire : vérifier et écrire clairement que le triangle est rectangle avant d’appliquer le théorème.

10. À retenir

• Un sujet complet de Brevet se traite en 2 heures : il faut donc gérer le temps autant que les calculs.
• La lecture globale du sujet permet de repérer les points faciles et d’éviter de rester bloqué trop longtemps.
• Le barème aide à choisir le temps à consacrer à chaque exercice : un exercice de 30 points mérite plus de temps qu’une question de 2 points.
• Une réponse complète contient une méthode, un calcul, une justification et une phrase réponse.
• En géométrie, on cite les théorèmes : Pythagore, Thalès, réciproques, propriétés des parallèles, angles ou triangles.
• En probabilités, on identifie les issues favorables et les issues possibles avant de calculer.
• En fonctions, il faut distinguer image, antécédent, tableau de valeurs et représentation graphique.
• Les conversions doivent être écrites clairement, surtout pour les aires et les volumes.
• La relecture finale est indispensable : elle permet souvent de récupérer des points en corrigeant une unité, un signe ou un oubli.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’entraînement : sujet complet type Brevet avec barème et corrigé.

Le PDF proposé permet de s’entraîner en conditions réelles pendant 2 heures. Il reprend une organisation proche des annales DNB 2024 2025 et d’un sujet zéro. L’objectif est de travailler la gestion du temps, la rédaction et la vérification finale.

Les exercices proposés sont les suivants : Questions flash de début de sujet, pour revoir les automatismes de calcul ; Tableau de valeurs et fonctions, pour travailler images, antécédents et comparaison ; Recomposer une démonstration de géométrie, pour utiliser correctement Pythagore et Thalès ; Probabilités et simulation, pour relier fraction, fréquence et expérience aléatoire ; Problème complet type Brevet, pour enchaîner conversions, aires, arrondis et coût final.

Le barème indicatif est le suivant : questions flash, 15 points, avec calculs rapides exacts et résultats simplifiés lorsque c’est pertinent ; fonctions et tableau, 18 points, avec tableau complété, comparaison correcte, antécédent trouvé et vocabulaire maîtrisé ; géométrie, 22 points, avec théorèmes bien utilisés, rédaction des justifications et unités ; probabilités et simulation, 15 points, avec probabilités sous forme de fractions et interprétation fréquentielle ; problème complet, 30 points, avec conversions, calculs d’aires, division avec arrondi au nombre supérieur si nécessaire, coût final et remise.

12. Questions fréquentes