Révision Brevet 1 : Nombres, Calcul littéral, Équations

1. Introduction et problématique

En classe de 3e, une grande partie des exercices du Brevet porte sur les nombres, le calcul littéral et les équations. Ces questions peuvent sembler très différentes : simplifier une fraction, écrire un nombre en notation scientifique, développer une expression, factoriser avec une identité remarquable, résoudre une équation ou interpréter une solution dans un problème. Pourtant, elles reposent toutes sur une même compétence : savoir choisir une méthode adaptée, effectuer les calculs avec rigueur, puis vérifier la cohérence du résultat.

Situation-problème : dans un sujet type Brevet, on propose le programme de calcul suivant : « Choisir un nombre, lui ajouter 3, multiplier le résultat par le nombre choisi, puis soustraire 10. » On demande d’abord de calculer le résultat pour un nombre donné, puis d’écrire une expression littérale, de la développer, enfin de trouver les nombres qui donnent 0 comme résultat. Pour réussir, il faut passer du calcul numérique au calcul littéral, puis à la résolution d’une équation.

Cette fiche de révision a pour objectif de regrouper les méthodes essentielles du programme de cycle 4, conformément aux attendus du BO 2018 : pratiquer le calcul numérique, utiliser les puissances, manipuler les expressions littérales, reconnaître les formes équivalentes, résoudre des équations et rédiger clairement une réponse mathématique.

2. Définition

Définition : Réviser les nombres et le calcul littéral pour le Brevet, c’est savoir transformer une écriture mathématique en une autre écriture équivalente afin de calculer, comparer, démontrer ou résoudre un problème. Une expression numérique ne contient que des nombres ; une expression littérale contient des lettres qui représentent des nombres variables ou inconnus.

Une lettre peut avoir plusieurs rôles. Dans une formule, elle représente une grandeur variable, par exemple l’aire d’un rectangle : A = L × l. Dans une équation, elle représente une inconnue que l’on cherche à déterminer, par exemple 3x + 5 = 17. Dans une identité, l’égalité est vraie pour toutes les valeurs autorisées des lettres, par exemple a² - b² = (a - b)(a + b).

Il faut aussi distinguer plusieurs types de calculs. Un calcul numérique demande un résultat exact ou approché. Un calcul littéral demande souvent de développer, réduire ou factoriser. Une équation demande de trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie. Un système d’équations demande de trouver un couple de valeurs, souvent noté (x ; y), qui vérifie simultanément deux égalités.

Le mot repère est « brevet » : bre-vet = 2 syllabes. Dans un exercice de Brevet, on découpe souvent la tâche en deux temps : identifier la méthode, puis effectuer le calcul. Cette habitude évite de se lancer trop vite dans des opérations inutiles.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si un produit de facteurs est égal à 0, alors au moins l’un de ses facteurs est égal à 0. Autrement dit, si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0. Cette propriété permet de résoudre une équation produit nul comme (ax + b)(cx + d) = 0.

Les propriétés suivantes sont indispensables dans les sujets de DNB. Pour les puissances de dix, on utilise : 10ⁿ × 10^m = 10^n+m et 10ⁿ ÷ 10^m = 10^n-m. Elles servent à écrire un nombre en notation scientifique, c’est-à-dire sous la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10.

Pour les fractions, on additionne ou on soustrait seulement lorsqu’elles ont le même dénominateur : a/c + b/c = (a + b)/c, avec c ≠ 0. Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser par une fraction non nulle, on multiplie par son inverse.

En calcul littéral, il faut connaître les identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a - b)² = a² - 2ab + b² ; a² - b² = (a - b)(a + b). Elles permettent de développer rapidement ou de factoriser. Le développement transforme un produit en somme ; la factorisation transforme une somme en produit.

Pour résoudre une équation du premier degré, on effectue les mêmes opérations sur les deux membres de l’égalité afin d’isoler l’inconnue. Pour un système de deux équations à deux inconnues, on peut utiliser la substitution ou la combinaison, selon la forme des égalités.

4. Démonstration

Montrons d’abord l’identité remarquable a² - b² = (a - b)(a + b). On développe le membre de droite en utilisant la distributivité :

(a - b)(a + b) = a × a + a × b - b × a - b × b.

Comme a × b = b × a, les deux termes +ab et -ab s’annulent. Il reste donc a² - b². Ainsi, pour tous nombres a et b, on a bien : (a - b)(a + b) = a² - b². Cette démonstration montre aussi pourquoi l’identité est vraie : les termes croisés disparaissent.

Démontrons maintenant l’intérêt de l’équation produit nul. Si A × B = 0, alors le produit de deux nombres est nul. Or, si A n’est pas nul, on peut diviser l’égalité par A et on obtient B = 0. Si A est nul, la conclusion est déjà vraie. Donc, dans tous les cas, A = 0 ou B = 0. Cette propriété est utilisée quand l’équation est déjà factorisée.

Par exemple, pour résoudre (x - 4)(2x + 3) = 0, on ne développe pas nécessairement. On écrit : x - 4 = 0 ou 2x + 3 = 0. On obtient x = 4 ou 2x = -3, donc x = -3/2. L’ensemble des solutions est S = {-3/2 ; 4}. La démonstration justifie la méthode et évite l’erreur classique qui consiste à diviser par une expression contenant x.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère le type de question. Est-ce un calcul numérique, une simplification de fraction, une puissance, un développement, une factorisation, une équation, un système ou un problème concret ?
2. Je relève les informations utiles. Je souligne les nombres, les inconnues, les unités, les égalités et les mots importants : « simplifier », « démontrer », « résoudre », « interpréter ».
3. J’applique la méthode adaptée. Pour les priorités opératoires, je commence par les parenthèses, puis les puissances, les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. Pour les fractions, je mets au même dénominateur si nécessaire.
4. Je transforme les expressions. Si on me demande de développer, j’utilise la distributivité. Si on me demande de factoriser, je cherche un facteur commun ou une identité remarquable comme a² - b² = (a - b)(a + b).
5. Je résous les équations avec rigueur. Je garde l’égalité à chaque ligne. Si l’équation est un produit nul, j’applique directement : A × B = 0 signifie A = 0 ou B = 0.
6. Je vérifie le résultat. Je contrôle les signes, les simplifications, les unités et, si possible, je remplace la solution dans l’égalité de départ.
7. Je rédige une phrase-réponse. Dans un problème type Brevet, un résultat seul ne suffit pas toujours. Il faut expliquer ce que représente le nombre trouvé.

Routine à mémoriser : 🔎 Je repère, ✏️ j’applique, ✅ je vérifie. Cette routine simple permet d’éviter les oublis et de gagner des points de méthode.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut simplifier et calculer l’expression suivante : A = 3² - 2 × 5 + 18 ÷ 3.

On respecte les priorités opératoires. D’abord la puissance : 3² = 9. Puis la multiplication et la division : 2 × 5 = 10 et 18 ÷ 3 = 6. L’expression devient donc A = 9 - 10 + 6.

On termine de gauche à droite : 9 - 10 = -1, puis -1 + 6 = 5. Donc A = 5.

Attention au signe : si l’on avait eu (-3)², le résultat aurait été 9, car (-3)² = (-3) × (-3) = 9. En revanche, -3² signifie l’opposé de 3², donc -9. Les parenthèses changent le sens du calcul.

Autre exemple numérique fréquent au Brevet : écrire 0,000 072 en notation scientifique. On déplace la virgule pour obtenir un nombre compris entre 1 et 10 : 0,000 072 = 7,2 × 10^-5. L’exposant est négatif car le nombre est plus petit que 1.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On donne l’expression B = x² - 16 et on demande de la factoriser, puis de résoudre B = 0.

On reconnaît une différence de deux carrés : x² - 16 = x² - 4². On utilise l’identité remarquable a² - b² = (a - b)(a + b), avec a = x et b = 4. Donc B = (x - 4)(x + 4).

Pour résoudre B = 0, on écrit : (x - 4)(x + 4) = 0. D’après la propriété du produit nul, x - 4 = 0 ou x + 4 = 0. Ainsi x = 4 ou x = -4. L’ensemble des solutions est S = {-4 ; 4}.

Cet exemple est un cas inverse car on part d’une forme développée, x² - 16, pour retrouver une forme factorisée. La forme factorisée est utile pour résoudre l’équation, tandis que la forme développée est parfois utile pour calculer rapidement une valeur.

Vérification : si x = 4, alors x² - 16 = 16 - 16 = 0. Si x = -4, alors x² - 16 = 16 - 16 = 0. Les deux solutions conviennent.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un cinéma propose deux tarifs. Tarif A : 8 € par séance. Tarif B : une carte d’abonnement à 20 €, puis 5 € par séance. On cherche à partir de combien de séances le tarif B devient plus avantageux.

On note x le nombre de séances. Le coût avec le tarif A est 8x. Le coût avec le tarif B est 20 + 5x. Pour savoir quand les deux tarifs sont égaux, on résout l’équation : 8x = 20 + 5x.

On soustrait 5x aux deux membres : 3x = 20. Puis on divise par 3 : x = 20/3, soit environ 6,67. Les deux tarifs sont égaux pour un nombre non entier de séances, ce qui signifie qu’il faut comparer autour de cette valeur.

Pour 6 séances : tarif A = 8 × 6 = 48 € ; tarif B = 20 + 5 × 6 = 50 €. Le tarif A est moins cher. Pour 7 séances : tarif A = 8 × 7 = 56 € ; tarif B = 20 + 5 × 7 = 55 €. Le tarif B devient moins cher.

Phrase-réponse : à partir de 7 séances, le tarif B est plus avantageux. Dans un problème de Brevet, cette phrase finale est essentielle car elle relie le calcul au contexte.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : écrire (-3)² = -9 — À faire : revenir à la définition : (-3)² = (-3) × (-3) = 9.
• Erreur : additionner directement les dénominateurs, par exemple 1/3 + 1/4 = 2/7 — À faire : mettre les fractions au même dénominateur : 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12.
• Erreur : oublier le double produit dans (a + b)² — À faire : utiliser la formule complète : (a + b)² = a² + 2ab + b².
• Erreur : diviser par un facteur contenant x dans une équation produit nul — À faire : appliquer la règle : si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0.
• Erreur : donner un résultat sans interprétation dans un problème — À faire : écrire une phrase finale avec l’unité ou la signification du nombre trouvé.
• Erreur : confondre développer et factoriser — À faire : retenir que développer transforme un produit en somme, tandis que factoriser transforme une somme en produit.
• Erreur : oublier de simplifier une fraction — À faire : chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, par exemple avec le PGCD.

10. À retenir

• Les priorités opératoires sont : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, additions et soustractions.
• Pour additionner des fractions, il faut un même dénominateur ; pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs.
• La notation scientifique s’écrit a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10.
• Les identités remarquables à connaître sont : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a - b)² = a² - 2ab + b² ; a² - b² = (a - b)(a + b).
• Développer, c’est transformer un produit en somme. Factoriser, c’est transformer une somme en produit.
• Une équation produit nul se résout en annulant chaque facteur : (ax + b)(cx + d) = 0 donne ax + b = 0 ou cx + d = 0.
• Un système d’équations peut se résoudre par substitution ou par combinaison. La solution est souvent un couple (x ; y).
• Au Brevet, la rédaction compte : il faut montrer les étapes, vérifier si possible et conclure par une phrase claire.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : Révision Brevet 1 — Nombres, calcul littéral, équations.

Le fichier propose cinq séries d’exercices progressifs, inspirés des attendus du DNB. La première série, « Automatismes numériques », entraîne les priorités opératoires, les fractions, les puissances et les calculs avec des nombres relatifs. La deuxième, « Nombres : justifier et simplifier », porte sur les critères de divisibilité, le PGCD, les fractions irréductibles et la notation scientifique. La troisième, « Recomposer les formes équivalentes », fait travailler le développement, la réduction, la factorisation et les identités remarquables. La quatrième, « Équations et système », propose des équations du premier degré, des équations produit nul et un système de deux équations. La cinquième, « Problème type Brevet », demande de modéliser une situation, résoudre puis interpréter.

Barème indicatif : calculs numériques et automatismes, 4 points ; nombres et justifications, 4 points ; calcul littéral, 4 points ; équations et système, 5 points ; rédaction type Brevet, 3 points. Les attendus sont des résultats exacts, des méthodes adaptées, une notation correcte de l’ensemble des solutions et une phrase-réponse lorsque la question est contextualisée.

12. Questions fréquentes