Lecture graphique de fonctions : image, antécédent, équation

1. Introduction et problématique

Situation-problème : lors d’une sortie scolaire, une classe observe la température extérieure au cours d’une journée. Le professeur donne un graphique : en abscisse, on lit l’heure ; en ordonnée, on lit la température en °C. À 8 h, la courbe indique 6 °C ; à 14 h, elle indique 17 °C ; la température de 10 °C est atteinte à deux moments différents. Sans calcul compliqué, il faut répondre à des questions comme : « Quelle est la température à 12 h ? », « À quelles heures fait-il 10 °C ? », « Quand la température est-elle nulle ? ».

Ces questions correspondent exactement à la lecture graphique de fonctions en classe de 3e. On apprend à lire une image, à trouver un ou plusieurs antécédents, et à résoudre graphiquement une équation du type f(x) = k. Cette compétence est essentielle au collège, car elle permet de comprendre des situations modélisées par une courbe : vitesse, distance, température, prix, hauteur, population, volume, etc.

Dans le programme de mathématiques du cycle 4, une fonction est étudiée comme un outil qui associe à un nombre un autre nombre. Le graphique d’une fonction permet de visualiser cette association. L’objectif de cette leçon est donc de savoir passer d’une phrase, comme « lire l’image de 2 », à une action précise sur le repère : partir de l’abscisse 2, rejoindre la courbe, puis lire l’ordonnée. Inversement, si l’on cherche les antécédents de 5, on part de l’ordonnée 5, on rejoint la courbe horizontalement, puis on lit toutes les abscisses correspondantes.

Problématique : comment lire avec précision, sur un graphique, une image, un antécédent et les solutions d’une équation de la forme f(x) = k, sans confondre l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées ?

2. Définition

Définition : Une fonction f associe à un nombre x, appelé antécédent possible, un nombre noté f(x), appelé image de x par f. Sur le graphique de f, si le point de la courbe d’abscisse a a pour ordonnée b, alors f(a) = b. Le nombre b est l’image de a, et le nombre a est un antécédent de b.

Dans un repère, l’axe horizontal est l’axe des abscisses, souvent noté x. L’axe vertical est l’axe des ordonnées, souvent noté y. Un point du graphique d’une fonction a des coordonnées de la forme (x ; f(x)). Cela signifie que son ordonnée est l’image de son abscisse.

Lire f(a), c’est chercher l’image du nombre a. On part donc de a sur l’axe horizontal, puis on monte ou on descend verticalement jusqu’à la courbe, et enfin on lit l’ordonnée du point obtenu. Par exemple, si le point de la courbe situé au-dessus de x = 2 a pour coordonnées (2 ; 5), alors on écrit f(2) = 5.

Chercher un antécédent de k, ou résoudre graphiquement f(x) = k, c’est chercher les valeurs de x dont l’image est k. On part alors de k sur l’axe vertical, on trace ou on imagine la droite horizontale d’équation y = k, puis on lit les abscisses des points d’intersection avec la courbe.

Les trois expressions suivantes sont liées : « les antécédents de k », « les solutions de f(x) = k » et « les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite y = k ». Elles désignent la même recherche, mais avec des formulations différentes.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Soit f une fonction représentée par une courbe dans un repère. Un point M de coordonnées (a ; b) appartient à la courbe représentative de f si et seulement si b = f(a). Ainsi, lire une image revient à lire une ordonnée, et résoudre f(x) = k revient à lire les abscisses des points d’intersection entre la courbe et la droite horizontale y = k.

Cette propriété est la base de toute lecture graphique de fonctions en 3e. Elle permet de traduire une information graphique en égalité mathématique. Si un point de la courbe a pour coordonnées (4 ; -1), alors on peut écrire f(4) = -1. Cela signifie que l’image de 4 par f est -1. On peut aussi dire que 4 est un antécédent de -1 par f.

Il faut bien distinguer deux lectures :

• Lecture d’une image : on connaît x, on cherche y. On part de l’axe des abscisses.
• Lecture d’un antécédent : on connaît y, on cherche x. On part de l’axe des ordonnées.

Une image, lorsqu’elle existe, est unique pour un x donné : une fonction ne peut pas attribuer deux images différentes au même nombre. En revanche, une même valeur de y peut être atteinte plusieurs fois par la courbe. Il peut donc y avoir zéro, un, deux ou plusieurs antécédents pour une même valeur k.

Cas particulier important : les intersections avec l’axe des abscisses correspondent aux points dont l’ordonnée vaut 0. Elles donnent donc les solutions de l’équation f(x) = 0. Les intersections avec l’axe des ordonnées correspondent, lorsque la fonction est définie en 0, à la valeur f(0).

4. Démonstration

La justification repose sur la définition même du graphique d’une fonction. La courbe représentative d’une fonction f est l’ensemble des points dont les coordonnées sont de la forme (x ; f(x)). Autrement dit, pour chaque valeur de x pour laquelle la fonction est définie, on place le point qui a pour abscisse x et pour ordonnée f(x).

Supposons qu’un point A de la courbe ait pour coordonnées (a ; b). Comme A est sur la courbe de f, son ordonnée est l’image de son abscisse. L’abscisse de A est a, son ordonnée est b, donc l’image de a est b. On écrit alors f(a) = b. Cela prouve que lire l’image de a revient à lire l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse a.

Réciproquement, si l’on sait que f(a) = b, alors le point de coordonnées (a ; b) appartient à la courbe représentative de f. Par exemple, si f(2) = 5, cela signifie que la courbe passe par le point (2 ; 5). La notation f(2) ne désigne pas un point, mais une valeur : l’image de 2. Le point associé est le point de coordonnées (2 ; f(2)), donc ici (2 ; 5).

Pour résoudre graphiquement l’équation f(x) = k, on cherche toutes les valeurs de x pour lesquelles l’ordonnée de la courbe vaut k. Or tous les points d’ordonnée k sont situés sur la droite horizontale d’équation y = k. Les solutions de f(x) = k sont donc les abscisses des points où cette droite coupe la courbe. S’il n’y a aucune intersection, l’équation n’a pas de solution visible sur l’intervalle représenté. S’il y a plusieurs intersections, il y a plusieurs solutions.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère la question. Je détermine si l’on me demande une image, un antécédent ou les solutions d’une équation graphique f(x) = k. Si je vois une écriture comme f(2), je pars de x = 2. Si je vois f(x) = 2, je pars de y = 2.
2. Je repère les axes. L’axe horizontal donne les valeurs de x, c’est-à-dire les abscisses. L’axe vertical donne les valeurs de y, c’est-à-dire les ordonnées. Je regarde aussi l’échelle : un carreau peut valoir 1, 2, 0,5 ou une autre unité.
3. Pour lire une image f(a). Je pars de a sur l’axe horizontal, je trace mentalement ou à la règle une verticale jusqu’à la courbe, puis je lis l’ordonnée du point obtenu. J’écris la réponse sous la forme f(a) = b.
4. Pour trouver les antécédents de k. Je pars de k sur l’axe vertical, je trace mentalement ou à la règle l’horizontale y = k, je repère tous les points d’intersection avec la courbe, puis je lis leurs abscisses.
5. Pour résoudre f(x) = k. J’utilise exactement la même méthode que pour chercher les antécédents de k. Les solutions sont les valeurs de x lues sur l’axe horizontal.
6. Je vérifie le nombre de réponses. Une image est une seule valeur si la fonction est définie en a. Des antécédents peuvent être plusieurs valeurs. Je balaie toute la courbe de gauche à droite pour ne pas oublier d’intersection.
7. Je rédige correctement. Pour une image : « f(2) = 5 ». Pour des antécédents : « Les antécédents de 5 sont 1 et 4 ». Pour une équation : « Les solutions de f(x) = 5 sont x = 1 et x = 4 ».

Routine à mémoriser : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère la donnée demandée, j’applique la lecture verticale ou horizontale, puis je vérifie l’axe et la notation. IMAGE : f(a). ANTÉCÉDENT : f(x) = k. ÉQUATION GRAPHIQUE : intersection avec la droite y = k.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère une fonction f représentée par une courbe. On sait lire sur le graphique que le point A de coordonnées (2 ; 5) appartient à la courbe. On demande : lire f(2).

La notation f(2) signifie que l’on cherche l’image du nombre 2. On connaît donc l’abscisse x = 2 et on cherche l’ordonnée correspondante. On part de 2 sur l’axe horizontal. On monte verticalement jusqu’à la courbe. Le point rencontré est A, dont l’ordonnée est 5. On lit donc 5 sur l’axe vertical.

Conclusion : f(2) = 5. L’image de 2 par la fonction f est 5.

Il est important de ne pas répondre seulement « 2 donne 5 » sans notation. En 3e, on attend une rédaction mathématique précise. La phrase complète peut être : « Sur le graphique, le point de la courbe d’abscisse 2 a pour ordonnée 5, donc f(2) = 5. »

Attention : f(2) n’est pas une équation à résoudre. On ne cherche pas plusieurs valeurs de x. On part uniquement de l’abscisse 2. Si la courbe représente bien une fonction et si 2 appartient au domaine représenté, il ne peut y avoir qu’une seule image de 2.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On considère maintenant la même fonction f. On lit sur le graphique que la droite horizontale d’équation y = 3 coupe la courbe en deux points : B(1 ; 3) et C(4 ; 3). On demande : quels sont les antécédents de 3 ?

La question porte sur des antécédents. On connaît donc l’image, qui vaut 3, et l’on cherche les valeurs de x qui donnent cette image. On part de 3 sur l’axe vertical. On trace mentalement l’horizontale y = 3. Cette droite coupe la courbe en deux points. Il faut alors lire les abscisses de ces points.

Le premier point d’intersection a pour abscisse 1. Le second point d’intersection a pour abscisse 4. Cela signifie que f(1) = 3 et f(4) = 3. Donc 1 et 4 sont des antécédents de 3.

Conclusion : les antécédents de 3 par f sont 1 et 4.

On peut formuler la même réponse avec une équation : les solutions de f(x) = 3 sont x = 1 et x = 4. Il ne faut pas écrire « f(x) = 1 et 4 » : cela mélangerait l’équation et ses solutions. Une solution d’équation est une valeur de x.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Une entreprise loue des vélos. Le graphique d’une fonction C donne le coût total C(x), en euros, en fonction de la durée de location x, en heures. Sur le graphique, on lit les informations suivantes : le point (2 ; 9) est sur la courbe, le point (5 ; 15) est sur la courbe, et la droite horizontale y = 12 coupe la courbe au point d’abscisse 3,5.

Première question : quel est le coût pour 2 heures de location ? On cherche l’image de 2 par C. Comme le point (2 ; 9) appartient à la courbe, on a C(2) = 9. Le coût pour 2 heures est donc de 9 €.

Deuxième question : quelle durée correspond à un coût de 12 € ? On cherche un antécédent de 12. On part de 12 sur l’axe vertical, on suit l’horizontale y = 12 jusqu’à la courbe, puis on lit l’abscisse. D’après le graphique, l’abscisse est 3,5. Donc C(3,5) = 12. Une durée de 3,5 h correspond à un coût de 12 €.

Troisième question : résoudre graphiquement C(x) = 15. On cherche les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée vaut 15. Le point (5 ; 15) appartient à la courbe, donc une solution est x = 5. Si la droite y = 15 ne coupe la courbe qu’en ce point sur le graphique, alors l’unique solution visible est x = 5.

Ce problème montre que la lecture graphique a un sens concret : l’abscisse représente une durée, l’ordonnée représente un prix, et l’équation C(x) = 12 signifie « pour quelle durée le coût vaut-il 12 € ? ».

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : confondre f(2) et les solutions de f(x) = 2 — À faire : verbaliser la démarche : f(2) part de x = 2 ; f(x) = 2 part de y = 2.
• Erreur : lire l’axe vertical à la place de l’axe horizontal — À faire : identifier clairement les abscisses et les ordonnées ; on peut colorier l’axe des x en bleu et l’axe des y en rouge.
• Erreur : ne donner qu’un seul antécédent alors qu’il y en a deux ou plus — À faire : balayer toute la courbe de gauche à droite et repérer toutes les intersections avec la droite y = k.
• Erreur : écrire f(x) = 3 comme réponse finale au lieu de x = 3 — À faire : rappeler qu’une équation se résout et que sa solution est une valeur de x.
• Erreur : donner une réponse approximative sans vérifier l’échelle — À faire : utiliser une règle, lire les graduations, et préciser si la valeur est exacte ou approchée.
• Erreur : oublier le cas f(x) = 0 — À faire : se souvenir que résoudre f(x) = 0 revient à chercher les intersections avec l’axe des abscisses.

10. À retenir

• Le graphique d’une fonction f est formé de points de coordonnées (x ; f(x)).
• Lire f(a), c’est chercher l’image de a : on part de a sur l’axe horizontal, puis on lit l’ordonnée sur la courbe.
• Chercher les antécédents de k, c’est chercher les valeurs de x telles que f(x) = k.
• Résoudre graphiquement f(x) = k, c’est lire les abscisses des points d’intersection entre la courbe et la droite horizontale y = k.
• Une image est unique pour une valeur de x donnée, mais une valeur de y peut avoir plusieurs antécédents.
• Les solutions de f(x) = 0 sont les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses.
• Pour bien rédiger : écrire f(2) = 5 pour une image, et x = 1 et x = 4 pour les solutions d’une équation.
• La précision dépend de l’échelle du graphique : il faut toujours regarder les graduations avant de répondre.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices en PDF : Lecture graphique de fonctions en 3e. Cette fiche permet de s’entraîner progressivement à la lecture graphique fonctions 3e, à la distinction image antécédent, à la résolution d’une équation graphique et à l’intersection axes.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Lire des images dans un tableau : associer une valeur de x à son image f(x), puis traduire la lecture sous forme d’égalité.
• Vrai ou faux : image et antécédent : repérer les affirmations correctes, par exemple « 4 est un antécédent de 7 » ou « f(3) = -2 ».
• Recomposer les équations et leurs solutions : associer une équation f(x) = k aux abscisses des points d’intersection avec y = k.
• Encoder une lecture graphique : transformer une phrase en notation mathématique, par exemple « l’image de 2 est 5 » devient f(2) = 5.
• Analyser une courbe avec précision : lire plusieurs images, trouver plusieurs antécédents, résoudre f(x) = 0 et interpréter les résultats.

Barème indicatif pour un devoir sur 20 points : lecture correcte des coordonnées sur un repère, 4 points ; identification correcte d’une image f(a), 4 points ; identification d’un ou plusieurs antécédents, 4 points ; résolution graphique d’une équation f(x) = k, 5 points ; notation, précision et rédaction des réponses, 3 points.

12. Questions fréquentes