Problèmes croisés : vitesse, fonctions, proportionnalité

1. Introduction et problématique

Situation-problème : deux élèves comparent deux trajets pour se rendre à un stade. Lina part à 8 h 00 en vélo à 18 km/h. Noé part à 8 h 20 en scooter à 36 km/h, depuis le même endroit et par la même route. Qui sera le plus avancé à 8 h 45 ? À quelle heure Noé rattrapera-t-il Lina ? Ce type de question est fréquent dans les problèmes croisés de 3e, notamment au Brevet : il faut utiliser à la fois la vitesse, la proportionnalité, les fonctions affines et parfois la résolution d’une équation.

Dans un problème de trajet, le mot repère est trajet : tra-jet. Par exemple, à 60 km/h pendant 1,5 h, la distance parcourue est 60 × 1,5 = 90 km. On reconnaît alors la formule essentielle d = v × t, où d désigne la distance, v la vitesse et t le temps. Mais les énoncés de Brevet ne se limitent pas toujours à un cas simple : il peut y avoir un départ différé, une avance, un retard, une pause, une distance restante, ou deux personnes à comparer.

L’objectif de cette leçon est de savoir modéliser une situation avec une fonction du type f(t)=at+b, puis de calculer, comparer ou résoudre une équation comme f(t)=g(t). On apprend à choisir une variable, à convertir les durées, à écrire correctement les fonctions, puis à interpréter le résultat dans le contexte. Cette démarche permet de traiter un exercice de Brevet sur les comparaisons de trajets avec rigueur et méthode.

2. Définition

Définition : Modéliser un problème de trajet consiste à représenter une grandeur, souvent une distance, en fonction du temps. Si la distance parcourue est proportionnelle au temps, on écrit une fonction linéaire du type d(t)=v × t. Si la situation comporte une distance initiale, une avance, un retard, une distance restante ou un décalage, on utilise souvent une fonction affine du type f(t)=at+b.

Dans l’écriture f(t)=at+b, la variable t représente généralement une durée. Le nombre a est le coefficient directeur : dans un problème de vitesse, il correspond souvent à une vitesse, positive si la distance parcourue augmente, négative si la distance restante diminue. Le nombre b représente la valeur au départ du modèle : distance déjà parcourue, distance initiale, avance, ou position à l’instant choisi comme origine.

Il faut bien distinguer deux choix possibles. Si d(t) désigne la distance parcourue depuis le départ, elle augmente souvent avec le temps. Si r(t) désigne la distance restante jusqu’à l’arrivée, elle diminue souvent avec le temps. Par exemple, pour un trajet de 120 km effectué à 80 km/h, la distance parcourue est d(t)=80t, tandis que la distance restante est r(t)=120−80t, si t est exprimé en heures.

Les unités sont essentielles. Si la vitesse est en km/h, le temps doit être exprimé en heures et la distance en kilomètres. Ainsi, 1 h 30 = 1,5 h, 30 min = 0,5 h, 15 min = 0,25 h et 45 min = 0,75 h. Une erreur de conversion peut rendre toute la résolution fausse, même si la méthode semble correcte.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour un mouvement à vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée du trajet. Si v est la vitesse constante et t la durée, alors d = v × t. Réciproquement, si une distance parcourue est donnée par d(t)=v × t, le mouvement est modélisé par une fonction linéaire de coefficient v.

Dans un problème de 3e, cette propriété est souvent combinée avec les fonctions affines. Si une personne a déjà parcouru 10 km au moment où l’on commence à compter le temps, puis avance à 12 km/h, sa distance depuis le point de départ est f(t)=12t+10. Le terme 10 n’est pas une vitesse : c’est une distance initiale. Si une autre personne part du même point au même instant à 20 km/h, sa distance est g(t)=20t. Pour savoir quand elles sont au même niveau, on résout f(t)=g(t).

Comparer deux trajets peut se faire de plusieurs façons. On peut comparer les distances à un instant donné, comparer les heures d’arrivée, ou chercher le moment où les deux distances sont égales. Attention : une vitesse plus grande ne suffit pas toujours à conclure qu’une personne arrive avant. Un départ plus tardif, une pause ou une distance initiale différente peut modifier le résultat.

Les fonctions affines permettent de représenter graphiquement une situation. Sur un repère, l’axe horizontal représente souvent le temps, et l’axe vertical représente la distance. Une fonction linéaire d(t)=vt est représentée par une droite passant par l’origine. Une fonction affine f(t)=at+b est représentée par une droite qui ne passe pas forcément par l’origine. Le point d’intersection de deux droites correspond au moment où les deux valeurs sont égales.

4. Démonstration

La formule d = v × t vient de la définition de la vitesse moyenne dans le cas d’un mouvement uniforme. Si une personne parcourt toujours la même distance pendant la même durée, alors la distance parcourue est proportionnelle au temps. Par exemple, à 60 km/h, on parcourt 60 km en 1 h, 120 km en 2 h, 30 km en 0,5 h, et 90 km en 1,5 h. Le coefficient de proportionnalité est donc la vitesse.

On peut le démontrer avec un tableau de proportionnalité :

Chaque distance s’obtient en multipliant la durée par 60. On écrit donc d(t)=60t. Cette fonction est linéaire parce qu’elle est de la forme d(t)=at, avec a=60. Elle traduit une situation de proportionnalité.

Maintenant, supposons qu’au moment où l’on commence à observer le trajet, une personne ait déjà parcouru 20 km. Ensuite, elle continue à 60 km/h. Après t heures, elle parcourt encore 60t kilomètres, mais sa distance totale depuis le point de départ est 60t+20. On obtient f(t)=60t+20. Cette fonction n’est plus linéaire, car f(0)=20 et non 0. Elle est affine.

Pour comparer deux personnes, on cherche parfois quand elles ont parcouru la même distance. Si f(t)=60t+20 et g(t)=80t, on résout 60t+20=80t. En soustrayant 60t aux deux membres, on obtient 20=20t, donc t=1. Cela signifie qu’au bout de 1 h après l’instant choisi, les deux personnes sont au même niveau. La résolution algébrique correspond au point d’intersection des deux droites sur un graphique.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les données. Je relève les vitesses, les distances, les horaires de départ, les retards, les avances, les pauses et les unités. Je souligne les mots importants : déjà, encore, retard, avance, départ plus tard, distance restante.
2. Je choisis une variable. Le plus souvent, je note t la durée écoulée depuis un instant choisi. Par exemple : t désigne le nombre d’heures écoulées depuis 8 h 00.
3. Je convertis les durées. Si les vitesses sont en km/h, j’exprime t en heures. J’écris par exemple 20 min = 1/3 h, 30 min = 0,5 h, 1 h 30 = 1,5 h.
4. J’écris les fonctions. Pour une distance parcourue à vitesse constante, j’utilise d(t)=v × t. S’il y a une avance ou une distance initiale, j’écris une fonction affine f(t)=at+b.
5. Je calcule ou je résous. Pour connaître une distance à un moment donné, je remplace t par une valeur. Pour savoir quand deux situations sont égales, je résous f(t)=g(t).
6. Je vérifie le sens. Je contrôle les unités, je vérifie si le résultat est cohérent, puis je rédige une phrase. Par exemple : t=1,25 h après 8 h 00, donc il est 9 h 15.

Cette routine peut se résumer ainsi : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère les informations utiles, j’applique un modèle adapté, puis je vérifie que ma réponse correspond bien à la question posée.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Un cycliste roule à vitesse constante de 24 km/h pendant 1 h 30. Quelle distance parcourt-il ?

On reconnaît une situation de proportionnalité : la distance parcourue est proportionnelle au temps. La formule est d = v × t. La vitesse est 24 km/h. La durée doit être exprimée en heures. Or 1 h 30 = 1,5 h.

On calcule :

d = 24 × 1,5 = 36.

Le cycliste parcourt donc 36 km.

On peut aussi écrire une fonction : si t est la durée en heures, alors d(t)=24t. Pour t=1,5, on obtient d(1,5)=24 × 1,5 = 36. Cette fonction est linéaire, car la distance parcourue est nulle au départ et augmente proportionnellement au temps.

Vérification : en 1 h, le cycliste parcourt 24 km. En 0,5 h, c’est-à-dire 30 min, il parcourt 12 km. Au total, 24+12=36 km. Le résultat est cohérent.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Une voiture doit parcourir 150 km. Elle roule à vitesse constante de 75 km/h. Combien de temps dure le trajet ? À quelle heure arrive-t-elle si elle part à 14 h 20 ?

On utilise encore la formule d = v × t. Ici, on cherche le temps. On transforme la formule :

t = d ÷ v.

On remplace par les valeurs :

t = 150 ÷ 75 = 2.

Le trajet dure donc 2 h. Comme la voiture part à 14 h 20, elle arrive à 16 h 20.

On peut aussi modéliser la distance parcourue par la fonction d(t)=75t, où t est le temps en heures après 14 h 20. On cherche quand d(t)=150 :

75t=150, donc t=150 ÷ 75 = 2.

Interprétation : t=2 signifie 2 h après 14 h 20, et non pas 2 h du matin ou 2 h de l’après-midi. Dans un problème de Brevet, il faut absolument relier la valeur de t à l’instant choisi dans l’énoncé. On écrit donc : la voiture arrive 2 h après son départ, soit à 16 h 20.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Lina part à 8 h 00 à vélo à 18 km/h. Noé part du même endroit à 8 h 20 en scooter à 36 km/h. Ils suivent la même route. On veut savoir à quelle heure Noé rattrape Lina.

On choisit comme variable t le nombre d’heures écoulées depuis 8 h 00. La distance parcourue par Lina depuis 8 h 00 est :

f(t)=18t.

Noé part à 8 h 20, c’est-à-dire 20 min après 8 h 00. Or 20 min = 1/3 h. Pour t inférieur à 1/3, Noé n’a pas encore démarré. Pour t supérieur ou égal à 1/3, sa durée de trajet est t−1/3. Sa distance est donc :

g(t)=36(t−1/3).

On développe :

g(t)=36t−12.

Pour trouver le moment où Noé rattrape Lina, on résout f(t)=g(t) :

18t = 36t − 12.

On soustrait 18t aux deux membres :

0 = 18t − 12.

Donc 18t = 12, puis t = 12 ÷ 18 = 2/3.

Or 2/3 h = 40 min. Noé rattrape Lina 40 min après 8 h 00, donc à 8 h 40.

Vérification : à 8 h 40, Lina roule depuis 40 min, soit 2/3 h. Elle a parcouru 18 × 2/3 = 12 km. Noé roule depuis 20 min, soit 1/3 h. Il a parcouru 36 × 1/3 = 12 km. Les deux distances sont égales : la réponse est cohérente.

Ce problème montre pourquoi il ne suffit pas de dire que Noé va plus vite. Il faut tenir compte de son départ différé. La modélisation par fonctions permet de comparer précisément les trajets.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : utiliser les minutes comme si c’étaient des heures, par exemple écrire 60 × 30 pour 30 min à 60 km/h — À faire : convertir d’abord : 30 min = 0,5 h, donc d = 60 × 0,5 = 30 km.
• Erreur : écrire toujours une fonction linéaire d(t)=vt — À faire : vérifier s’il existe une avance, un retard, une distance déjà parcourue ou un départ plus tard. Dans ce cas, on obtient souvent une fonction affine.
• Erreur : confondre distance parcourue et distance restante — À faire : préciser par une phrase ce que représente la fonction. Par exemple : f(t) donne la distance parcourue depuis le départ, ou r(t) donne la distance restante.
• Erreur : résoudre correctement l’équation mais oublier de donner l’heure — À faire : relier t à l’origine choisie. Par exemple : t=1,5 h après 9 h 00, donc il est 10 h 30.
• Erreur : comparer seulement les vitesses pour conclure — À faire : comparer les fonctions, les distances à un instant donné ou les horaires d’arrivée. Une personne plus rapide peut partir plus tard et ne pas arriver avant.
• Erreur : oublier les unités dans la réponse finale — À faire : indiquer km, h, min, km/h et rédiger une phrase complète adaptée au contexte.

10. À retenir

• Pour un mouvement à vitesse constante, la formule fondamentale est d = v × t.
• Si la vitesse est en km/h, le temps doit être exprimé en heures : 1 h 30 = 1,5 h, 15 min = 0,25 h, 45 min = 0,75 h.
• Une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire du type d(t)=vt.
• Une avance, un retard, une distance initiale, une distance restante ou un départ différé conduit souvent à une fonction affine du type f(t)=at+b.
• Résoudre f(t)=g(t) signifie chercher le moment où deux grandeurs sont égales : même distance, même position ou même niveau d’avancement.
• Le coefficient a d’une fonction affine représente souvent une vitesse. Le nombre b représente une valeur initiale : distance déjà parcourue, avance ou position de départ.
• Dans un problème de Brevet, il faut expliquer le choix de la variable, écrire les fonctions, effectuer les calculs, puis conclure avec une phrase claire.
• La méthode efficace est : Je repère les données, j’applique le modèle, je vérifie les unités et le sens de la réponse.

11. Exercices d'application

Un fichier PDF d’exercices peut accompagner cette leçon : il contient des activités progressives pour s’entraîner aux problèmes croisés 3e, à la modélisation, aux vitesses et aux fonctions affines. Les exercices proposés peuvent être les suivants : Compléter un tableau de trajets, Associer une situation à une fonction, Remettre une résolution dans l’ordre, Écrire et résoudre le modèle, puis Problème type Brevet : comparer deux trajets.

Dans un premier exercice, on complète un tableau avec des durées, des vitesses et des distances. L’objectif est de consolider la formule d = v × t et les conversions. Dans un deuxième exercice, on associe des phrases comme « une voiture a déjà parcouru 40 km » ou « un train part 15 min plus tard » à des fonctions du type f(t)=at+b. Dans un troisième exercice, on remet dans l’ordre les étapes d’une résolution : choix de la variable, conversion, écriture des fonctions, résolution, conclusion.

Pour un entraînement type Brevet, on pourra utiliser un barème sur 10 points : repérage des données et choix de la variable, 2 points ; écriture correcte des fonctions, 3 points ; conversions de durées et unités, 2 points ; résolution des équations et calculs, 2 points ; interprétation et rédaction de la réponse, 1 point. Ce barème montre que la rédaction et les unités comptent autant que la technique de calcul.

12. Questions fréquentes