Révision Brevet 2 : Géométrie (Pythagore, Thalès, Trigo)

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au brevet, un exercice de géométrie peut demander de calculer la hauteur d’un arbre, la longueur d’une rampe, la distance entre deux points ou la mesure d’un angle. L’énoncé donne souvent une figure codée, quelques longueurs, un angle droit, des droites parallèles ou un angle connu. La difficulté n’est pas seulement de calculer : il faut surtout choisir le bon outil. Faut-il utiliser le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès ou la trigonométrie ? Cette fiche de révision Brevet géométrie sert à construire une méthode rapide et fiable pour reconnaître la situation, appliquer la bonne formule et rédiger une réponse complète.

En classe de 3e, conformément aux attendus du programme de mathématiques du cycle 4, on doit savoir raisonner à partir d’hypothèses, utiliser des théorèmes, calculer avec des longueurs et des angles, puis communiquer une solution claire. Les notions Pythagore, Thalès, Trigo Brevet reviennent très souvent dans les exercices type DNB. Elles sont parfois séparées, mais elles peuvent aussi être mélangées dans un même problème de synthèse.

Le mot repère est triangle rectangle : un triangle possède 3 côtés et 3 sommets ; il est rectangle lorsqu’il a un angle droit de 90°. Par exemple, dans un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 8 cm, l’hypoténuse vaut 10 cm car 6² + 8² = 36 + 64 = 100 et √100 = 10. Cette idée simple permet déjà d’identifier une grande partie des exercices de géométrie du brevet.

2. Définition

Définition : Réviser la géométrie du brevet, c’est savoir reconnaître et utiliser trois familles d’outils : le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle, le théorème de Thalès dans une configuration avec droites parallèles, et la trigonométrie dans un triangle rectangle pour relier un angle aigu à des longueurs.

Pythagore s’utilise dans un triangle rectangle pour calculer une longueur. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, donc BC. On a alors : AB² + AC² = BC². La formule à retenir est souvent résumée par a² + b² = c², où c représente l’hypoténuse.

Thalès s’utilise quand deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles. Il permet d’écrire des rapports de longueurs égaux. L’idée importante est la proportionnalité : les longueurs des deux triangles formés sont proportionnelles. On retient l’expression rapports de longueurs égaux.

La trigonométrie s’utilise dans un triangle rectangle avec un angle aigu. On repère l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle choisi et le côté adjacent à cet angle. Les trois formules principales sont : sin(angle) = opposé ÷ hypoténuse, cos(angle) = adjacent ÷ hypoténuse, tan(angle) = opposé ÷ adjacent.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. C’est le théorème de Pythagore.

La réciproque de Pythagore permet de prouver qu’un triangle est rectangle. Si, dans un triangle, le carré de la plus grande longueur est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs, alors ce triangle est rectangle. Attention : pour utiliser cette réciproque, il faut comparer avec le plus grand côté.

Théorème : Dans une configuration de Thalès, si deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, alors les longueurs des triangles correspondants sont proportionnelles.

Par exemple, si les points A, B, M sont alignés, les points A, C, N sont alignés, et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on peut écrire : AB ÷ AM = AC ÷ AN = BC ÷ MN, à condition de respecter les côtés correspondants. La réciproque de Thalès sert à démontrer que deux droites sont parallèles lorsque des rapports de longueurs sont égaux.

Théorème : Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, les rapports trigonométriques sont : sinus = côté opposé ÷ hypoténuse, cosinus = côté adjacent ÷ hypoténuse, tangente = côté opposé ÷ côté adjacent.

Ces formules permettent soit de calculer une longueur, soit de calculer un angle. Pour calculer un angle, on utilise les touches inverses de la calculatrice : sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹, souvent notées arcsin, arccos ou arctan selon les modèles. Au collège, la calculatrice doit être réglée en degrés.

4. Démonstration

Au brevet, on ne demande pas toujours de redémontrer les grands théorèmes, mais on attend une rédaction justifiée. Une bonne démonstration suit le schéma : hypothèses → formule → calcul → conclusion. Ce schéma est essentiel pour obtenir les points de raisonnement, même si le résultat numérique est légèrement imprécis.

Pour Pythagore, la justification commence par l’hypothèse : « Le triangle ABC est rectangle en A. » On nomme ensuite l’hypoténuse : « donc BC est l’hypoténuse ». On applique le théorème : « D’après le théorème de Pythagore, AB² + AC² = BC². » On remplace par les valeurs, on calcule, puis on prend la racine carrée si l’on cherche une longueur.

Pour la réciproque de Pythagore, on ne peut pas dire directement qu’un triangle est rectangle. Il faut d’abord calculer séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres côtés. Si les deux résultats sont égaux, on conclut : « D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. » S’ils ne sont pas égaux, on conclut qu’il n’est pas rectangle.

Pour Thalès, la démonstration repose sur les alignements et le parallélisme. On écrit par exemple : « Les points A, B, M sont alignés, les points A, C, N sont alignés, et les droites (BC) et (MN) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès… » Ensuite, on écrit les rapports dans le bon ordre. La rigueur de l’ordre est fondamentale : petit triangle avec petit triangle, grand triangle avec grand triangle.

Pour la trigonométrie, la démonstration commence par : « Dans le triangle ABC rectangle en A… » Puis on repère les côtés par rapport à l’angle utilisé. Par exemple, par rapport à l’angle ABC, le côté opposé est AC, le côté adjacent est AB et l’hypoténuse est BC. On choisit alors sin, cos ou tan selon les longueurs connues et cherchées.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les indices. Je cherche un angle droit, des droites parallèles, des points alignés, un angle aigu donné, des longueurs proportionnelles ou le plus grand côté.
2. Je choisis l’outil. Pythagore sert à calculer une longueur dans un triangle rectangle. La réciproque de Pythagore sert à prouver qu’un triangle est rectangle. Thalès sert à calculer une longueur avec des parallèles. La réciproque de Thalès sert à prouver que deux droites sont parallèles. La trigonométrie sert à relier angles et longueurs dans un triangle rectangle.
3. J’écris les hypothèses utiles. Je ne me contente pas de calculer : j’indique pourquoi j’ai le droit d’utiliser le théorème. Exemple : « Le triangle ABC est rectangle en A » ou « Les droites (BC) et (MN) sont parallèles ».
4. J’écris la formule. Pour Pythagore : a² + b² = c². Pour Thalès : rapports de longueurs égaux. Pour la trigonométrie : sin, cos ou tan selon les côtés repérés.
5. Je remplace par les valeurs. Je garde les unités dans la conclusion, mais dans les calculs je reste clair et organisé. Si une longueur est au carré, je n’oublie pas la racine carrée à la fin.
6. Je calcule avec précision. J’utilise la calculatrice en mode degrés pour la trigonométrie. Je vérifie les priorités opératoires, les carrés, les racines carrées et les divisions.
7. Je vérifie la cohérence. Une hypoténuse doit être le plus grand côté d’un triangle rectangle. Une longueur ne peut pas être négative. Un angle aigu dans un triangle rectangle est compris entre 0° et 90°.
8. Je conclus par une phrase. Une réponse au brevet doit contenir l’unité, l’arrondi demandé et une phrase qui répond clairement à la question.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm. On veut calculer la longueur BC.

Étape 1 : repérer. Le triangle est rectangle en A. Les côtés AB et AC forment l’angle droit. Le côté BC est donc l’hypoténuse. On cherche une longueur dans un triangle rectangle : on utilise le théorème de Pythagore.

Étape 2 : appliquer. D’après le théorème de Pythagore, AB² + AC² = BC². Donc 6² + 8² = BC². On calcule : 36 + 64 = BC², donc 100 = BC².

Étape 3 : finir le calcul. Comme BC² = 100, alors BC = √100 = 10. On prend la racine carrée car on cherche la longueur BC, et non son carré.

Conclusion : la longueur BC mesure 10 cm. On retrouve le triplet classique 6, 8, 10, très utile en révision Brevet géométrie.

Si l’on voulait vérifier qu’un triangle de côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm est rectangle, on utiliserait la réciproque : 10² = 100 et 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Les deux résultats sont égaux, donc le triangle est rectangle, et son hypoténuse mesure 10 cm.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On considère deux droites sécantes en A. Les points A, B, M sont alignés dans cet ordre, et les points A, C, N sont alignés dans cet ordre. On donne AB = 3 cm, AM = 9 cm, AC = 4 cm et AN = 12 cm. On veut savoir si les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Étape 1 : repérer. On observe une configuration de Thalès possible : deux droites sécantes en A et deux segments qui pourraient être parallèles. Comme on veut démontrer un parallélisme, on pense à la réciproque du théorème de Thalès.

Étape 2 : comparer les rapports. On calcule AB ÷ AM = 3 ÷ 9 = 1 ÷ 3. On calcule aussi AC ÷ AN = 4 ÷ 12 = 1 ÷ 3. Les deux rapports sont égaux.

Étape 3 : conclure avec rigueur. Les points A, B, M sont alignés dans le même ordre que les points A, C, N. De plus, AB ÷ AM = AC ÷ AN. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

La principale vigilance est l’ordre des rapports. Il faut comparer des longueurs correspondantes : AB avec AM, AC avec AN, BC avec MN si elles sont connues. Une erreur fréquente consiste à mélanger petit et grand triangle, par exemple AB ÷ AN, ce qui n’a pas de sens dans cette configuration.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un observateur se trouve à 25 m du pied d’un bâtiment. Il mesure un angle d’élévation de 38° entre le sol horizontal et la direction du sommet du bâtiment. On suppose que le bâtiment est vertical et que le sol est horizontal. On veut estimer la hauteur du bâtiment, au mètre près.

Étape 1 : modéliser. La situation forme un triangle rectangle : le sol est horizontal, le bâtiment est vertical, donc l’angle au pied du bâtiment est droit. La distance au sol, 25 m, est le côté adjacent à l’angle de 38°. La hauteur cherchée est le côté opposé à cet angle.

Étape 2 : choisir la formule. On connaît le côté adjacent et on cherche le côté opposé. Le rapport qui relie opposé et adjacent est la tangente. On écrit : tan(38°) = hauteur ÷ 25.

Étape 3 : calculer. On en déduit : hauteur = 25 × tan(38°). Avec une calculatrice réglée en degrés, on obtient hauteur ≈ 25 × 0,7813, donc hauteur ≈ 19,53.

Conclusion : la hauteur du bâtiment est d’environ 20 m, au mètre près.

Ce problème concret est typique d’un exercice type DNB : il faut interpréter la figure, choisir la trigonométrie, utiliser correctement la calculatrice, arrondir au bon niveau et écrire une conclusion. Si la calculatrice était réglée en radians, le résultat serait faux : c’est pourquoi le mode degrés doit toujours être vérifié.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : utiliser Pythagore alors qu’il n’y a pas de triangle rectangle — À faire : vérifier et écrire explicitement que le triangle est rectangle en un sommet précis.
• Erreur : confondre sinus, cosinus et tangente — À faire : colorier mentalement l’angle choisi, repérer l’hypoténuse, puis nommer le côté opposé et le côté adjacent.
• Erreur : écrire des rapports de Thalès dans le mauvais ordre — À faire : écrire les deux triangles dans le même ordre et vérifier que petit ÷ grand est comparé avec petit ÷ grand.
• Erreur : oublier la racine carrée dans Pythagore — À faire : écrire une ligne séparée : longueur² = ..., donc longueur = √...
• Erreur : prendre le mauvais côté comme hypoténuse — À faire : retenir que l’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit et le plus long côté du triangle rectangle.
• Erreur : oublier le mode degrés de la calculatrice — À faire : vérifier l’affichage avant tout calcul trigonométrique.
• Erreur : donner un résultat sans unité ou sans phrase — À faire : terminer par : « Donc ... mesure environ ... cm/m/degrés. »

10. À retenir

• Pythagore : dans un triangle rectangle, a² + b² = c², où c est l’hypoténuse.
• Réciproque de Pythagore : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle.
• Thalès : avec deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles, on obtient des rapports de longueurs égaux.
• Réciproque de Thalès : si les points sont alignés dans le même ordre et si les rapports correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.
• Trigonométrie : dans un triangle rectangle, sin = opposé ÷ hypoténuse, cos = adjacent ÷ hypoténuse, tan = opposé ÷ adjacent.
• Routine Brevet : je repère, j’applique, je vérifie. Je cherche les indices, je choisis le bon outil, puis je contrôle l’unité, l’arrondi et la cohérence.
• Rédaction : une solution complète contient les hypothèses, le théorème ou la formule, le calcul, l’arrondi éventuel et une conclusion.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : Révision Brevet 2 — Géométrie, Pythagore, Thalès, Trigonométrie. Le fichier propose une série d’exercices type DNB pour s’entraîner à choisir le bon théorème, rédiger une démonstration et vérifier les calculs.

Aperçu des types d’exercices : Choisir le bon théorème, avec des figures à analyser ; Pythagore en mode brevet, pour calculer une longueur ou vérifier qu’un triangle est rectangle ; Recomposer une démonstration de Thalès, pour remettre les hypothèses et les rapports dans l’ordre ; Encoder une solution trigonométrique, pour choisir entre sin, cos et tan ; Problème de synthèse type DNB, où plusieurs étapes sont nécessaires.

Barème conseillé sur 20 points : choix du bon théorème ou du bon rapport trigonométrique, 4 points ; écriture correcte des hypothèses et de la formule, 4 points ; calculs numériques exacts ou cohérents, 4 points ; utilisation correcte des unités, arrondis et calculatrice, 4 points ; rédaction claire avec conclusion, 4 points. Ce barème montre qu’au brevet, la méthode et la rédaction comptent autant que le résultat final.

12. Questions fréquentes