Révision Brevet 4 : Algorithmique Scratch + Géométrie espace

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans un sujet de Brevet, on peut rencontrer un programme Scratch qui calcule une longueur, une aire ou un volume, puis une question de géométrie dans l’espace portant sur un pavé droit, un prisme, un cylindre, une pyramide ou un cône. L’objectif est souvent double : comprendre ce que fait l’algorithme et interpréter correctement les résultats dans une situation géométrique.

Par exemple, un programme demande à l’utilisateur la longueur, la largeur et la hauteur d’un pavé droit, puis calcule V = longueur × largeur × hauteur. Si les dimensions sont 4 cm, 3 cm et 2 cm, le volume vaut 4 × 3 × 2 = 24 cm³. Le mot repère est donc volume, que l’on peut découper ainsi : vo-lu-me. Il désigne la place occupée par un solide dans l’espace.

En classe de 3e, conformément aux attendus du cycle 4, il faut savoir lire, interpréter et modifier un algorithme simple, notamment avec des variables, des affectations et des boucles. Il faut aussi connaître les principales formules de volumes et reconnaître certaines sections planes. Cette leçon sert de révision Brevet : elle relie l’algorithmique Scratch et la géométrie de l’espace pour résoudre des exercices complets.

2. Définition

Définition : Un algorithme est une suite d’instructions précises qui permettent de résoudre un problème ou d’effectuer un calcul. Dans Scratch, ces instructions sont représentées par des blocs. Une variable est une mémoire qui contient une valeur, par exemple x, longueur ou volume. L’instruction variable ← valeur, appelée affectation, signifie que la variable prend une nouvelle valeur. Une boucle, par exemple répéter n fois, permet d’exécuter plusieurs fois les mêmes instructions.

En géométrie dans l’espace, un solide est un objet en trois dimensions. Son volume se mesure en unités cubiques : mm³, cm³, dm³, m³. La formule générale pour un prisme droit ou un cylindre est : V = aire de base × hauteur. Pour une pyramide ou un cône, la formule devient : V = aire de base × hauteur ÷ 3.

Une section plane est la figure obtenue lorsqu’un plan coupe un solide. Une section par un plan parallèle à une face ou à une base donne souvent une figure de même nature : par exemple, une section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour un prisme droit ou un cylindre, le volume est égal à l’aire de la base multipliée par la hauteur : V = B × h, où B désigne l’aire de la base et h la hauteur. Pour une pyramide ou un cône, le volume est égal au tiers du volume du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur : V = B × h ÷ 3.

Les formules utiles au Brevet sont les suivantes. Pour un pavé droit : V = longueur × largeur × hauteur. Pour un cube d’arête a : V = a³. Pour un cylindre de rayon r et de hauteur h : V = π × r² × h. Pour un cône de rayon r et de hauteur h : V = π × r² × h ÷ 3.

En algorithmique, une affectation remplace l’ancienne valeur d’une variable. Par exemple, si x vaut 8, l’instruction mettre x à 5 donne x = 5. En revanche, l’instruction ajouter 5 à x donne x = 13. Dans une boucle, on répète exactement les instructions placées à l’intérieur, le nombre de fois indiqué.

4. Démonstration

On peut comprendre la formule V = aire de base × hauteur en imaginant un solide découpé en couches identiques. Dans un pavé droit de dimensions 4 cm, 3 cm et 2 cm, la base est un rectangle d’aire 4 × 3 = 12 cm². La hauteur est 2 cm. On empile donc deux couches de 12 cm³ chacune, d’où 12 × 2 = 24 cm³. Cela justifie la formule V = B × h.

Pour un cylindre, le raisonnement est analogue : la base est un disque d’aire π × r², et cette base est « empilée » tout au long de la hauteur. On obtient donc V = π × r² × h.

Pour une pyramide ou un cône, le solide se termine en un sommet. Son volume n’est donc pas égal à B × h, mais à un tiers de ce volume. Dans les exercices de 3e, on utilise ce résultat admis : une pyramide ou un cône a un volume trois fois plus petit qu’un prisme ou un cylindre de même base et de même hauteur. D’où V = B × h ÷ 3.

En algorithmique, la justification repose sur le suivi des variables. Chaque instruction transforme l’état du programme. Pour démontrer ce que calcule un programme, on peut écrire un tableau : une ligne par instruction, une colonne par variable.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : je lis attentivement l’énoncé. Je relève les valeurs initiales, les variables utilisées, le nombre de répétitions, les dimensions du solide et l’unité demandée.
2. Je distingue les instructions : mettre x à 5 signifie que x devient 5 ; ajouter 5 à x signifie que la valeur de x augmente de 5.
3. Je construis un tableau : pour un programme Scratch, je crée une colonne par variable et une ligne après chaque instruction importante. Cela évite les oublis dans les boucles.
4. J’applique : j’exécute les instructions dans l’ordre ou j’utilise la formule adaptée : pavé droit, cube, prisme, cylindre, pyramide ou cône.
5. Je calcule proprement : je respecte les priorités opératoires, les parenthèses, les puissances comme ² et ³, et les valeurs approchées si π intervient.
6. Je vérifie : je contrôle l’ordre de grandeur, l’unité et la cohérence. Une aire s’exprime en cm², un volume en cm³.
7. Je conclus : je rédige une phrase réponse. Au Brevet, un résultat non expliqué peut perdre des points, même s’il est numériquement correct.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère le programme Scratch suivant : demander un nombre, mettre x à la réponse, mettre V à x × x × x, dire V. On demande ce que le programme affiche si l’utilisateur répond 4.

On suit les variables. Au départ, aucune valeur n’est fixée. L’utilisateur répond 4, donc la variable x prend la valeur 4. Ensuite, le programme affecte à V la valeur x × x × x, c’est-à-dire 4 × 4 × 4 = 64. Le programme affiche donc 64.

Ce programme calcule le cube du nombre saisi. En géométrie, si x représente l’arête d’un cube en centimètres, alors V représente le volume du cube en cm³. Pour une arête de 4 cm, on obtient V = 4³ = 64 cm³.

La réponse complète est donc : si l’utilisateur saisit 4, le programme affiche 64. Si ce nombre représente une longueur en cm, alors le volume du cube est 64 cm³. On remarque l’importance de l’unité : 64 seul est un nombre, tandis que 64 cm³ est un volume.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Un programme Scratch calcule le volume d’un cylindre de rayon 3 cm. Il demande la hauteur h, puis met V à π × 3² × h. À la fin, le programme affiche environ 141,3. On demande de retrouver la hauteur saisie.

La formule utilisée est celle du cylindre : V = π × r² × h. Ici, r = 3, donc V = π × 3² × h = 9πh. On sait que le volume affiché vaut environ 141,3 cm³. Il faut donc résoudre : 9πh ≈ 141,3.

On calcule : h ≈ 141,3 ÷ (9π). Comme 9π ≈ 28,27, on obtient h ≈ 141,3 ÷ 28,27 ≈ 5. La hauteur saisie est donc environ 5 cm.

Dans ce type de question inverse, on ne se contente pas de faire fonctionner le programme : on remonte le calcul. Il faut reconnaître la formule, identifier la variable inconnue et effectuer l’opération inverse. Ici, comme on avait multiplié par 9π, on divise par 9π.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Une entreprise fabrique des boîtes en forme de prisme droit. La base est un triangle rectangle dont les côtés perpendiculaires mesurent 6 cm et 8 cm. La hauteur du prisme est 15 cm. Un programme Scratch doit calculer le volume de la boîte. On veut aussi reconnaître la section obtenue par un plan parallèle aux bases triangulaires.

On commence par calculer l’aire de la base. La base est un triangle rectangle, donc son aire vaut : B = 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm². Le volume du prisme est alors : V = B × h = 24 × 15 = 360 cm³.

Un programme Scratch possible est : mettre base à 6 × 8 ÷ 2, mettre volume à base × 15, dire volume. Il affichera 360.

Pour la section plane, le plan est parallèle aux bases triangulaires. Dans un prisme droit, une section par un plan parallèle à la base a la même forme que la base. La section obtenue est donc un triangle rectangle. Sa taille peut être identique si le plan coupe entièrement le prisme parallèlement aux bases, dans le cadre usuel étudié au collège.

La réponse rédigée est : le volume de la boîte est 360 cm³ et la section par un plan parallèle aux bases est un triangle rectangle.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : confondre « mettre x à » et « ajouter à x ». — À faire : retenir que « mettre » remplace l’ancienne valeur, tandis que « ajouter » augmente la valeur actuelle.
• Erreur : oublier le nombre de répétitions dans une boucle. — À faire : écrire le calcul sous la forme valeur initiale + nombre de répétitions × ajout quand la même augmentation est répétée.
• Erreur : exécuter les instructions Scratch dans le mauvais ordre. — À faire : lire le programme de haut en bas et compléter un tableau de variables.
• Erreur : utiliser B × h pour une pyramide ou un cône sans diviser par 3. — À faire : retenir : prisme/cylindre → B × h ; pyramide/cône → B × h ÷ 3.
• Erreur : écrire cm² pour un volume. — À faire : distinguer longueur en cm, aire en cm² et volume en cm³.
• Erreur : imaginer une section plane au hasard. — À faire : repérer si le plan est parallèle à une face, à une arête ou à une base, puis visualiser la trace de coupe.

10. À retenir

• Un algorithme est une suite d’instructions permettant d’obtenir un résultat.
• Dans Scratch, une variable est une mémoire qui contient une valeur.
• variable ← valeur est une affectation : la variable prend une nouvelle valeur.
• Répéter n fois signifie que les instructions de la boucle sont exécutées exactement n fois.
• Pour suivre un programme, il est conseillé de faire un tableau avec les variables en colonnes.
• Le volume d’un prisme droit ou d’un cylindre est V = aire de base × hauteur.
• Le volume d’une pyramide ou d’un cône est V = aire de base × hauteur ÷ 3.
• Le volume d’un cylindre est V = π × r² × h.
• Une section par un plan parallèle à une base a souvent la même forme que cette base.
• Au Brevet, il faut rédiger, justifier et indiquer les unités.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Révision Brevet 4 : Algorithmique Scratch + Géométrie espace ». Elle peut contenir des exercices de type Brevet, avec lecture de programmes, calculs de volumes, questions inverses et reconnaissance de sections planes.

Aperçu des types d’exercices proposés : Associer blocs Scratch et effets, pour reconnaître les instructions d’affectation, d’ajout et de boucle ; Lire un programme de type Brevet, pour suivre les valeurs de plusieurs variables ; Recomposer un raisonnement géométrique, pour choisir la bonne formule de volume ; Encoder des formules et des instructions, pour traduire un calcul en programme Scratch ; Défi Brevet : programme et solide, pour relier un algorithme à un pavé droit, un cylindre ou une pyramide.

Un barème possible sur 20 points est le suivant : lecture d’un programme Scratch, 4 points ; traduction algorithmique et expression littérale, 4 points ; calculs de volumes, 5 points ; sections planes et représentation de l’espace, 4 points ; rédaction et unités, 3 points. Pour réussir, il faut donc autant travailler la méthode de calcul que la présentation de la réponse.

12. Questions fréquentes