Révision Brevet 3 : Fonctions, Statistiques, Probabilités

1. Introduction et problématique

Au Brevet, la partie « Organisation et gestion de données, fonctions » revient très souvent. Elle peut apparaître dans un exercice complet ou être mélangée à de la géométrie, à un problème de tarif, à une étude de résultats sportifs, à une expérience aléatoire ou à une situation de la vie courante. L’objectif de cette fiche est de réviser efficacement trois grands thèmes de 3e : les fonctions, les statistiques et les probabilités. Ces notions sont essentielles car elles permettent de lire, calculer, comparer, prévoir et justifier.

Situation-problème : une association organise une sortie. Le coût total dépend du nombre de participants, les âges des participants sont résumés dans une série statistique, et un tirage au sort désigne une personne gagnante. Pour répondre aux questions, il faut savoir calculer une image ou un antécédent avec une fonction, déterminer une moyenne ou une médiane, puis calculer une probabilité. C’est exactement le type de raisonnement attendu dans un sujet de Brevet.

La routine à retenir est simple : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère d’abord le thème de la question : fonction, statistiques ou probabilités. J’applique ensuite la formule ou la méthode adaptée : image, antécédent, moyenne, médiane, arbre ou fraction de probabilité. Enfin, je vérifie la cohérence du résultat : unité, ordre de grandeur, probabilité entre 0 et 1, phrase de conclusion.

2. Définition

Définition : Une fonction est un procédé qui associe à un nombre de départ, souvent noté x, un unique nombre résultat, noté f(x). Le nombre f(x) s’appelle l’image de x par la fonction f. Si f(a)=b, alors b est l’image de a et a est un antécédent de b.

Une fonction affine est une fonction qui peut s’écrire sous la forme f(x)=ax+b, où a et b sont des nombres. Si b=0, on obtient une fonction linéaire : f(x)=ax. Au Brevet, les fonctions affines modélisent souvent des situations de prix, de distance, de conversion ou de consommation.

Définition : En statistiques, une série est un ensemble de valeurs. L’effectif total est le nombre de valeurs. La moyenne est égale à la somme des valeurs ÷ l’effectif total. La médiane est une valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif. L’étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur.

Les quartiles permettent de préciser la répartition des données. Le premier quartile Q1 est une valeur telle qu’au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales. Le troisième quartile Q3 est une valeur telle qu’au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.

Définition : Une probabilité mesure la chance qu’un événement se réalise. Dans une situation d’équiprobabilité, on calcule : P(A)=nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour une fonction affine f définie par f(x)=ax+b, l’image de x se calcule en remplaçant x par la valeur donnée. Pour trouver un antécédent d’un nombre y, on résout l’équation ax+b=y.

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Le nombre a est le coefficient directeur : il indique la variation de f(x) lorsque x augmente de 1. Le nombre b est l’ordonnée à l’origine : c’est l’image de 0, donc le point où la droite coupe l’axe vertical.

Théorème : Pour calculer une moyenne pondérée, on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne les produits, puis on divise par l’effectif total.

Si une série statistique est donnée dans un tableau avec des effectifs, il ne faut pas additionner seulement les valeurs différentes. Il faut tenir compte du nombre de fois où chaque valeur apparaît. Par exemple, si la note 12 apparaît 5 fois, elle compte pour 12×5 dans la somme.

Théorème : Pour tout événement A, on a 0 ≤ P(A) ≤ 1. L’événement contraire de A, noté « non A », vérifie P(non A)=1−P(A).

Cette propriété est très utile au Brevet. Il est parfois plus rapide de calculer la probabilité de l’événement contraire, puis de la soustraire à 1. Par exemple, si la probabilité de perdre est 0,35, alors la probabilité de ne pas perdre est 1−0,35=0,65.

4. Démonstration

On justifie d’abord la méthode pour une fonction affine. Soit f(x)=ax+b. Si on cherche l’image de 2, on remplace x par 2 : f(2)=a×2+b. Ce calcul donne un unique résultat, car une fonction associe une seule image à chaque nombre de départ. Si on cherche l’antécédent d’un nombre y, on veut trouver la valeur de x qui vérifie f(x)=y. On écrit donc ax+b=y, puis on résout l’équation. Cette démarche explique pourquoi une question d’antécédent est une question d’équation.

Pour la moyenne, la formule vient de l’idée de partage équitable. Si plusieurs valeurs sont regroupées, la moyenne est la valeur que chaque élément aurait si la somme totale était répartie également entre tous. Ainsi, si la somme des valeurs est S et si l’effectif total est N, alors chaque élément recevrait S ÷ N. On obtient donc : moyenne = somme des valeurs ÷ effectif total.

Pour les probabilités en situation d’équiprobabilité, toutes les issues ont la même chance de se produire. Si une expérience possède 10 issues possibles et que 3 issues réalisent l’événement A, alors la part favorable est 3 sur 10. On écrit P(A)=3/10=0,3. Cette valeur est bien comprise entre 0 et 1. Si un événement possède tous les cas possibles, sa probabilité vaut 1. S’il n’a aucun cas favorable, sa probabilité vaut 0.

Enfin, l’événement contraire complète l’événement initial. Soit A un événement. Les issues possibles se répartissent en deux groupes : celles qui réalisent A et celles qui ne réalisent pas A. La somme des probabilités de ces deux groupes vaut 1. Donc P(A)+P(non A)=1, d’où P(non A)=1−P(A).

5. Méthode pas à pas

1. Lire attentivement la question. Repérer les mots-clés : image, antécédent, fonction affine, moyenne, médiane, étendue, probabilité, événement contraire, arbre, tableau.
2. Identifier le thème. Si la question contient f(x)=ax+b, un graphique ou un tableau de valeurs, c’est une question de fonction. Si elle contient une liste de valeurs ou des effectifs, c’est une question de statistiques. Si elle parle de tirage, hasard, dé, roue ou urne, c’est une question de probabilités.
3. Choisir la bonne formule. Pour une image, on remplace x. Pour un antécédent, on résout une équation. Pour une moyenne, on calcule somme ÷ effectif total. Pour une probabilité, on calcule cas favorables ÷ cas possibles.
4. Écrire les calculs clairement. Ne pas donner seulement le résultat. Le correcteur doit voir la méthode. Par exemple : f(2)=−3×2+5=−6+5=−1.
5. Vérifier l’ordre de grandeur. Une probabilité ne peut pas être négative ni supérieure à 1. Une moyenne doit être située entre la plus petite et la plus grande valeur de la série. Une médiane nécessite une série rangée dans l’ordre croissant.
6. Conclure par une phrase. Au Brevet, la rédaction compte. Il faut répondre à la question avec le contexte : « Le coût pour 8 participants est donc de 96 € » ou « La probabilité de tirer une boule rouge est 3/10 ».

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère la fonction affine f définie par f(x)=−3x+5. Calculer l’image de 2 par f.

On cherche une image. Il faut donc remplacer x par 2 dans l’expression de la fonction.

f(2)=−3×2+5

f(2)=−6+5

f(2)=−1

L’image de 2 par la fonction f est donc −1. On peut aussi écrire : f(2)=−1. Cette notation est importante : elle montre clairement le nombre de départ et le résultat obtenu.

Autre cas direct en statistiques : on considère la série 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 15. Calculer la moyenne. La somme des valeurs est 8+10+12+15+15=60. L’effectif total est 5. La moyenne est donc 60÷5=12. La moyenne de la série est 12.

Autre cas direct en probabilités : dans une urne, il y a 4 boules rouges, 3 boules bleues et 5 boules vertes. On tire une boule au hasard. Il y a 4+3+5=12 boules au total. L’événement « tirer une boule rouge » possède 4 cas favorables. Donc P(rouge)=4/12=1/3. La probabilité de tirer une boule rouge est 1/3.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On considère la fonction g définie par g(x)=2x−7. Déterminer un antécédent de 9 par g.

On cherche un antécédent. Cela signifie que l’on connaît le résultat, 9, et que l’on cherche la valeur de départ x. On écrit donc l’équation :

g(x)=9

2x−7=9

2x=16

x=8

Un antécédent de 9 par la fonction g est donc 8. On peut vérifier : g(8)=2×8−7=16−7=9. La vérification confirme le résultat.

Cas inverse en statistiques : une série ordonnée contient les valeurs 4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15. Déterminer la médiane. L’effectif total est 7, donc impair. La médiane est la 4e valeur, car il y a trois valeurs avant et trois valeurs après. La médiane est donc 9.

Si l’effectif total était pair, par exemple avec 4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13, il y aurait 6 valeurs. La médiane serait la moyenne des 3e et 4e valeurs : (7+9)÷2=8. Il faut donc bien distinguer le cas d’un effectif impair et celui d’un effectif pair.

Cas inverse en probabilités : si P(A)=0,72, alors P(non A)=1−0,72=0,28. L’événement contraire a une probabilité de 0,28, soit 28 %.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Une salle de sport propose deux tarifs. Tarif A : 15 € d’inscription puis 4 € par séance. Tarif B : 7 € par séance sans inscription. On note x le nombre de séances. Le coût du tarif A est donné par A(x)=4x+15. Le coût du tarif B est donné par B(x)=7x.

Question 1 : calculer le prix pour 6 séances avec chaque tarif. A(6)=4×6+15=24+15=39. B(6)=7×6=42. Pour 6 séances, le tarif A coûte 39 € et le tarif B coûte 42 €. Le tarif A est donc moins cher.

Question 2 : à partir de combien de séances le tarif A devient-il plus avantageux que le tarif B ? On cherche quand A(x)<B(x). On résout : 4x+15<7x. Donc 15<3x, puis x>5. Le tarif A devient plus avantageux à partir de 6 séances.

La salle a relevé le nombre de séances effectuées par 9 adhérents dans le mois : 4 ; 5 ; 6 ; 6 ; 7 ; 8 ; 8 ; 10 ; 12. La série est déjà rangée. L’étendue vaut 12−4=8. La médiane est la 5e valeur car l’effectif est 9. La médiane est donc 7. Cela signifie qu’au moins la moitié des adhérents ont fait 7 séances ou moins, et au moins la moitié ont fait 7 séances ou plus.

Enfin, une tombola est organisée parmi ces 9 adhérents. Trois ont choisi le tarif A et six ont choisi le tarif B. On tire un nom au hasard. La probabilité que le gagnant ait choisi le tarif A est 3/9=1/3. La probabilité qu’il ait choisi le tarif B est 6/9=2/3. Les deux probabilités sont cohérentes car 1/3+2/3=1.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : remplacer mal x dans une fonction, par exemple écrire f(2)=−3+2+5 au lieu de f(2)=−3×2+5 — À faire : écrire toute la ligne de substitution avec les parenthèses ou le signe ×.
• Erreur : confondre image et antécédent — À faire : retenir que l’image est le résultat, tandis que l’antécédent est la valeur de départ.
• Erreur : chercher un antécédent sans résoudre d’équation — À faire : écrire f(x)=valeur demandée, puis résoudre l’équation.
• Erreur : calculer une médiane sans ranger la série — À faire : commencer par la phrase : « Je range la série dans l’ordre croissant ».
• Erreur : calculer une moyenne en oubliant les effectifs — À faire : utiliser une moyenne pondérée : somme des valeurs × effectifs, puis division par l’effectif total.
• Erreur : obtenir une probabilité supérieure à 1 — À faire : vérifier que le numérateur correspond aux cas favorables et le dénominateur aux cas possibles.
• Erreur : donner un résultat sans unité ou sans phrase de conclusion — À faire : terminer par une phrase qui répond exactement à la question posée.

10. À retenir

• Une fonction associe à un nombre de départ x un résultat appelé image, noté f(x).
• Pour calculer une image, on remplace x dans l’expression de la fonction.
• Pour trouver un antécédent, on résout une équation du type f(x)=nombre donné.
• Une fonction affine s’écrit f(x)=ax+b et sa représentation graphique est une droite.
• La moyenne se calcule avec la formule : moyenne = somme des valeurs ÷ effectif total.
• La médiane se détermine après avoir rangé la série dans l’ordre croissant.
• L’étendue est égale à la plus grande valeur moins la plus petite valeur.
• Une probabilité se calcule souvent par P(A)=nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles.
• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
• La probabilité de l’événement contraire est P(non A)=1−P(A).
• Au Brevet, il faut justifier les calculs et conclure avec une phrase claire.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : Révision Brevet OGD — fonctions, statistiques et probabilités. Le document propose un entraînement progressif avec un tableau de révision rapide, un vrai ou faux, une méthode à remettre dans l’ordre, des réponses à encoder et un mini-sujet type Brevet.

Les exercices portent sur les compétences essentielles : calculer des images et des antécédents, comparer deux tarifs à l’aide de fonctions affines, lire un graphique, calculer une moyenne, une médiane et une étendue, interpréter des quartiles, calculer une probabilité simple, utiliser un événement contraire et compléter un arbre de probabilités.

Barème conseillé sur 20 points : 4 points pour les calculs sur les fonctions, 4 points pour les calculs statistiques, 4 points pour les probabilités, 4 points pour la justification et le raisonnement, 4 points pour la présentation, les unités et les phrases de conclusion. Ce barème rappelle qu’un bon résultat ne suffit pas toujours : la méthode et la rédaction sont également évaluées.

12. Questions fréquentes