Représentations statistiques : histogrammes et polygones d'effectifs

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une classe de 3e, on a relevé le temps passé par les élèves sur un trajet domicile-collège. Les réponses sont nombreuses : 7 min, 12 min, 18 min, 21 min, 29 min, 34 min, etc. Si l’on écrit toutes les valeurs une par une, il est difficile de voir rapidement si la majorité des élèves habite près du collège ou non. Pour rendre ces données lisibles, on les regroupe dans des intervalles appelés classes, par exemple [0 ; 10[, [10 ; 20[, [20 ; 30[, [30 ; 40[. On compte ensuite combien de valeurs appartiennent à chaque classe : c’est l’effectif de la classe.

En statistiques, le programme de cycle 4 demande de savoir organiser, représenter et interpréter des données. En 3e, on doit notamment savoir construire et lire des représentations graphiques adaptées. Deux représentations sont particulièrement utiles lorsque les valeurs sont regroupées en classes : l’histogramme et le polygone des effectifs. L’histogramme utilise des rectangles accolés, car les classes représentent des intervalles continus. Le polygone des effectifs utilise des points placés aux milieux des classes, puis reliés par des segments.

La problématique de cette leçon est donc la suivante : comment construire correctement un histogramme et un polygone des effectifs à partir d’un tableau de données en classes ? Pour répondre, il faut savoir lire les bornes d’une classe, calculer son amplitude, déterminer son milieu, choisir une échelle et placer les éléments graphiques avec précision.

2. Définition

Définition : Une classe est un intervalle de valeurs. Une classe notée [a ; b[ contient toutes les valeurs supérieures ou égales à a et strictement inférieures à b. Son amplitude est b − a. Son milieu est (a + b) ÷ 2. L’effectif d’une classe est le nombre de valeurs appartenant à cette classe.

Par exemple, la classe [20 ; 30[ contient les valeurs de 20 inclus à 30 exclu. Ainsi, 20 appartient à cette classe, mais 30 n’y appartient pas. Si la classe suivante est [30 ; 40[, alors 30 appartient à la classe [30 ; 40[. L’amplitude de [20 ; 30[ est 30 − 20 = 10. Son milieu est (20 + 30) ÷ 2 = 25.

Un histogramme est une représentation graphique de données regroupées en classes. Chaque classe est représentée par un rectangle. Sur l’axe horizontal, on place les classes. Sur l’axe vertical, on place les effectifs ou une grandeur proportionnelle aux effectifs. Dans cette fiche, on travaille avec des classes de même amplitude : la hauteur de chaque rectangle peut donc être directement l’effectif.

Un polygone des effectifs est une ligne brisée obtenue en plaçant, pour chaque classe, un point dont l’abscisse est le milieu de la classe et dont l’ordonnée est l’effectif correspondant. On relie ensuite ces points dans l’ordre des classes.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Lorsque des données sont regroupées en classes de même amplitude, l’histogramme peut être construit avec des rectangles accolés dont les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs. Le polygone des effectifs se construit en reliant les points de coordonnées (milieu de classe ; effectif).

Cette propriété repose sur une idée simple : si toutes les classes ont la même largeur, comparer les hauteurs des rectangles revient à comparer les effectifs. Plus la hauteur est grande, plus l’effectif de la classe est important. Par exemple, si la classe [10 ; 20[ a un effectif de 8 et la classe [20 ; 30[ a un effectif de 14, le rectangle de [20 ; 30[ sera plus haut.

Il faut cependant faire attention : dans un histogramme, les rectangles sont accolés. Ils ne sont pas séparés par des espaces, car les classes sont des intervalles continus. Ce n’est pas un diagramme en barres. Un diagramme en barres sert souvent à comparer des catégories distinctes, comme des couleurs préférées ou des moyens de transport. Un histogramme sert à représenter une variable numérique regroupée en intervalles.

Pour le polygone des effectifs, le point ne se place ni au début ni à la fin de la classe. Il se place au milieu de la classe. Pour la classe [20 ; 30[, le milieu est 25. Si l’effectif est 12, le point correspondant a pour coordonnées (25 ; 12). Cette écriture des coordonnées évite les erreurs de placement.

4. Démonstration

On considère des classes de même amplitude, par exemple [0 ; 10[, [10 ; 20[, [20 ; 30[, [30 ; 40[. Chaque classe a une amplitude de 10. Supposons que les effectifs soient respectivement 4, 9, 12 et 5. Comme toutes les classes ont la même largeur sur l’axe horizontal, la seule différence visuelle entre les rectangles de l’histogramme vient de leur hauteur. Il est donc cohérent de prendre pour hauteur l’effectif de la classe, ou une hauteur proportionnelle à cet effectif.

Si l’on double un effectif, par exemple en passant de 4 à 8, le rectangle correspondant doit être deux fois plus haut. Si l’on divise un effectif par 2, la hauteur doit être divisée par 2. La représentation respecte donc la proportionnalité entre effectifs et hauteurs. C’est pourquoi, dans le cas de classes de même amplitude, l’histogramme permet de comparer rapidement les effectifs des différentes classes.

Pour le polygone des effectifs, on veut résumer chaque classe par un seul point représentatif. Comme une classe est un intervalle, son point représentatif naturel est son milieu. Pour [10 ; 20[, le milieu est (10 + 20) ÷ 2 = 15. Placer le point en 15 revient à le placer au centre de l’intervalle. Si l’effectif de cette classe est 9, le point est donc (15 ; 9). En répétant ce procédé pour toutes les classes, puis en reliant les points, on obtient une ligne brisée qui montre l’évolution des effectifs d’une classe à l’autre.

Cette démonstration justifie deux règles essentielles : dans l’histogramme, les rectangles sont construits sur les classes ; dans le polygone, les points sont placés aux milieux des classes.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les classes. Je lis chaque intervalle, par exemple [0 ; 10[, [10 ; 20[, [20 ; 30[. Je vérifie le sens des crochets : dans [a ; b[, a est inclus et b est exclu.
2. Je lis les effectifs. Pour chaque classe, je note le nombre de valeurs correspondantes. Je peux présenter les informations dans un tableau.
3. Je calcule les amplitudes. Pour une classe [a ; b[, l’amplitude est b − a. Dans cette fiche, les classes ont la même amplitude, ce qui permet d’utiliser directement les effectifs comme hauteurs.
4. Je calcule les milieux de classes. Pour une classe [a ; b[, le milieu est (a + b) ÷ 2. Exemple : le milieu de [20 ; 30[ est (20 + 30) ÷ 2 = 25.
5. Je choisis les graduations. Sur l’axe horizontal, je place les bornes des classes. Sur l’axe vertical, je choisis une échelle régulière adaptée aux effectifs : 1 carreau pour 1 élève, 1 carreau pour 2 élèves, ou 1 carreau pour 5 élèves selon les données.
6. Je trace l’histogramme. Pour chaque classe, je trace un rectangle dont la base correspond à la classe et dont la hauteur correspond à l’effectif. Les rectangles doivent se toucher.
7. Je place les points du polygone. Pour chaque classe, je place un point au milieu de la classe en abscisse et à l’effectif en ordonnée.
8. Je relie les points. Je relie les points dans l’ordre des classes avec des segments. J’obtiens le polygone des effectifs.
9. Je vérifie. Je contrôle les hauteurs, les milieux, les graduations et la cohérence générale du graphique.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On donne le tableau suivant, qui indique le nombre d’élèves selon leur temps de trajet jusqu’au collège.

Les classes sont [0 ; 10[, [10 ; 20[, [20 ; 30[ et [30 ; 40[. Elles ont toutes la même amplitude : 10 − 0 = 10, 20 − 10 = 10, 30 − 20 = 10 et 40 − 30 = 10. On peut donc construire un histogramme avec des rectangles de même largeur et de hauteurs 5, 12, 9 et 4.

Pour le polygone des effectifs, on calcule les milieux : pour [0 ; 10[, le milieu est (0 + 10) ÷ 2 = 5 ; pour [10 ; 20[, le milieu est 15 ; pour [20 ; 30[, le milieu est 25 ; pour [30 ; 40[, le milieu est 35. Les points à placer sont donc (5 ; 5), (15 ; 12), (25 ; 9) et (35 ; 4). On les relie dans cet ordre. On observe que l’effectif maximal est 12 pour la classe [10 ; 20[ : c’est donc la classe la plus représentée.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Cette fois, on connaît les points du polygone des effectifs : (5 ; 3), (15 ; 8), (25 ; 11), (35 ; 6), (45 ; 2). Les classes sont de même amplitude 10. On veut retrouver le tableau des effectifs et préparer l’histogramme.

Les abscisses 5, 15, 25, 35 et 45 sont les milieux des classes. Si l’amplitude est 10, alors chaque classe s’étend de 5 unités à gauche du milieu et de 5 unités à droite du milieu. Le point de milieu 5 correspond donc à la classe [0 ; 10[. Le point de milieu 15 correspond à [10 ; 20[. Le point de milieu 25 correspond à [20 ; 30[. Le point de milieu 35 correspond à [30 ; 40[. Le point de milieu 45 correspond à [40 ; 50[.

Les ordonnées donnent les effectifs. Le tableau est donc :

Pour construire l’histogramme, on trace donc cinq rectangles accolés, chacun de largeur 10, avec les hauteurs 3, 8, 11, 6 et 2. Ce cas inverse montre qu’un polygone des effectifs contient deux informations : le milieu de chaque classe et l’effectif associé.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un professeur d’EPS mesure la distance parcourue par des élèves pendant un test de course. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant.

Les classes ont toutes une amplitude de 200 m. On peut construire un histogramme avec cinq rectangles accolés. Sur l’axe horizontal, on place les bornes 800, 1000, 1200, 1400, 1600 et 1800. Sur l’axe vertical, on choisit une graduation adaptée, par exemple 1 carreau pour 1 élève ou 1 carreau pour 2 élèves. Les hauteurs des rectangles sont 4, 7, 13, 10 et 6.

Pour construire le polygone des effectifs, on calcule les milieux des classes. Le milieu de [800 ; 1000[ est (800 + 1000) ÷ 2 = 900. Le milieu de [1000 ; 1200[ est 1100. Le milieu de [1200 ; 1400[ est 1300. Le milieu de [1400 ; 1600[ est 1500. Le milieu de [1600 ; 1800[ est 1700.

Les points du polygone sont donc (900 ; 4), (1100 ; 7), (1300 ; 13), (1500 ; 10) et (1700 ; 6). On les place puis on les relie. On peut interpréter le graphique : la classe la plus fréquente est [1200 ; 1400[, avec 13 élèves. Cela signifie que le plus grand nombre d’élèves a parcouru une distance comprise entre 1200 m inclus et 1400 m exclu.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : placer le point du polygone à l’extrémité de la classe — À faire : calculer systématiquement le milieu avec la formule (a + b) ÷ 2 avant de placer le point.
• Erreur : laisser des espaces entre les rectangles de l’histogramme — À faire : rappeler qu’un histogramme représente des intervalles continus : les rectangles sont accolés.
• Erreur : tracer une hauteur qui ne correspond pas à l’effectif — À faire : choisir une graduation régulière et vérifier chaque hauteur avec une règle.
• Erreur : inclure la borne droite dans une classe de type [a ; b[ — À faire : retenir que [10 ; 20[ contient 10 mais ne contient pas 20.
• Erreur : relier les sommets des rectangles au lieu des points situés aux milieux des classes — À faire : écrire les coordonnées de chaque point du polygone avant tout tracé.
• Erreur : confondre histogramme et diagramme en barres — À faire : vérifier si les données sont des intervalles numériques continus ou des catégories séparées.

10. À retenir

• Une classe [a ; b[ regroupe les valeurs allant de a inclus à b exclu.
• L’amplitude d’une classe [a ; b[ est b − a.
• Le milieu d’une classe [a ; b[ est (a + b) ÷ 2.
• L’effectif d’une classe est le nombre de valeurs appartenant à cette classe.
• Dans un histogramme, les rectangles représentent les classes et sont accolés.
• Lorsque les classes ont la même amplitude, on peut prendre une hauteur proportionnelle à l’effectif, souvent directement l’effectif.
• Dans un polygone des effectifs, chaque point a pour coordonnées (milieu de classe ; effectif).
• La routine efficace est : Je repère les classes et les effectifs, j’applique les calculs et les tracés, je vérifie les graduations et les coordonnées.

11. Exercices d'application

Pour s’entraîner, on peut télécharger la fiche d’exercices au format PDF : Exercices — histogrammes et polygones d’effectifs en 3e. Les exercices proposés permettent de passer progressivement de la lecture d’un tableau à la construction complète d’un graphique.

Types d’exercices proposés : compléter un tableau de construction avec classes, amplitudes, milieux et effectifs ; répondre à des questions de type vrai ou faux ; remettre les étapes de la méthode dans l’ordre ; encoder les points du polygone sous forme de coordonnées ; choisir la bonne interprétation d’un histogramme ou d’un polygone des effectifs.

Barème possible sur 10 points : lecture correcte des classes et des effectifs, 2 points ; calcul exact des amplitudes et des milieux de classes, 2 points ; construction correcte de l’histogramme, 2 points ; placement et liaison corrects des points du polygone, 2 points ; vérification, justification et interprétation, 2 points.

12. Questions fréquentes