Inéquations du premier degré : résolution complète

1. Introduction et problématique

Situation-problème : un club de sport propose deux tarifs pour une sortie. Le tarif A coûte 12 € d’inscription puis 4 € par activité. Le tarif B coûte 30 € au total, quel que soit le nombre d’activités. À partir de combien d’activités le tarif A devient-il moins cher que le tarif B ? On ne cherche pas une égalité exacte, mais une condition : on veut savoir pour quelles valeurs le coût du tarif A est inférieur à celui du tarif B. Si on note x le nombre d’activités, le tarif A coûte 12 + 4x et on veut résoudre 12 + 4x < 30.

Ce type de question conduit à une inéquation du premier degré. En classe de 3e, on apprend à résoudre ces inéquations en utilisant les mêmes idées que pour les équations : regrouper les termes en x, isoler l’inconnue, simplifier. Mais une règle supplémentaire est essentielle : si on multiplie ou si on divise les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif, le sens de l’inégalité change. Par exemple, si -2x > 6, alors en divisant par -2, on obtient x < -3.

Le mot repère est inégalité, que l’on peut découper ainsi : i-né-ga-li-té. Une inégalité compare deux expressions avec les symboles <, >, ≤ ou ≥. Résoudre une inéquation, c’est déterminer toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent cette comparaison vraie. Contrairement à une équation, la réponse n’est pas souvent une seule valeur, mais un ensemble de solutions, que l’on peut écrire avec une inégalité, représenter sur une droite graduée ou parfois écrire sous forme d’intervalle.

2. Définition

Définition : Une inéquation est une comparaison entre deux expressions contenant une inconnue, à l’aide d’un des symboles <, >, ≤ ou ≥. Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inéquation qui peut se ramener à une forme du type ax + b < c, ax + b > c, ax + b ≤ c ou ax + b ≥ c, avec a, b et c des nombres et a ≠ 0.

Les symboles d’inégalité ont un sens précis. L’écriture a < b signifie que a est strictement inférieur à b : c’est une inégalité stricte. L’écriture a ≤ b signifie que a est inférieur ou égal à b : c’est une inégalité large. De même, a > b signifie que a est strictement supérieur à b, et a ≥ b signifie que a est supérieur ou égal à b.

Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs possibles de x. Par exemple, résoudre x < 4 signifie déterminer l’ensemble des solutions formé de tous les nombres strictement inférieurs à 4. Les nombres 3, 0, -5 et 3,99 sont solutions, mais 4 et 6 ne le sont pas. L’inconnue ne désigne donc pas un seul nombre, mais une zone de nombres.

On appelle solution d’une inéquation une valeur de l’inconnue qui rend l’inégalité vraie lorsqu’on remplace x par cette valeur. Par exemple, pour l’inéquation 2x + 1 ≤ 7, le nombre 2 est solution car 2 × 2 + 1 = 5 et 5 ≤ 7. Le nombre 4 n’est pas solution car 2 × 4 + 1 = 9 et 9 ≤ 7 est faux.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité sans changer le sens de cette inégalité. On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre positif sans changer le sens. Si l’on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre négatif, alors le sens de l’inégalité est inversé.

Ces propriétés sont les règles de transformation qui permettent de résoudre une inéquation. Elles garantissent que l’on obtient une inéquation équivalente, c’est-à-dire une inéquation qui a le même ensemble de solutions.

Par exemple, à partir de x + 5 < 9, on peut soustraire 5 aux deux membres. On obtient x < 4. Le sens < ne change pas, car on a seulement ajouté ou soustrait un nombre. De même, à partir de 3x ≥ 12, on peut diviser par 3. Comme 3 est positif, le sens reste le même : x ≥ 4.

En revanche, à partir de -2x > 6, on divise les deux membres par -2. Comme -2 est négatif, le sens de l’inégalité change : x < -3. C’est le point le plus important de la leçon. On peut mémoriser : multiplier ou diviser par un nombre négatif = changement de sens.

Pour les inégalités larges, la même règle s’applique. Si -5x ≤ 20, on divise par -5 et on inverse le sens : x ≥ -4. Le symbole ≤ devient ≥, et le symbole < devient >. Le caractère strict ou large, lui, ne change pas : une inégalité stricte reste stricte, une inégalité large reste large.

4. Démonstration

La propriété d’addition et de soustraction se comprend avec l’ordre des nombres. Si un nombre a est inférieur à un nombre b, alors en ajoutant la même quantité aux deux nombres, leur position relative ne change pas. Par exemple, 2 < 5. Si on ajoute 10 aux deux membres, on obtient 12 < 15, ce qui reste vrai. Si on soustrait 7 aux deux membres, on obtient -5 < -2, ce qui reste vrai aussi. Ajouter ou soustraire déplace les deux nombres de la même distance sur la droite graduée : l’ordre est conservé.

Pour une multiplication par un nombre positif, l’ordre est également conservé. Par exemple, 2 < 5. En multipliant par 3, on obtient 6 < 15. Les deux nombres sont agrandis dans le même sens. De même, si on divise par un nombre positif, c’est comme multiplier par son inverse positif : l’ordre reste le même.

La situation change avec un nombre négatif. Si 2 < 5 et que l’on multiplie par -3, on obtient -6 et -15. Or -6 est supérieur à -15, donc -6 > -15. Le sens de l’inégalité s’est inversé. La multiplication par un nombre négatif transforme les nombres en leurs opposés multipliés par une valeur positive : elle retourne l’ordre sur la droite graduée. C’est pourquoi l’inégalité change de sens.

On peut retenir cette idée par une image : sur une droite graduée, multiplier par -1 transforme chaque nombre en son opposé. Le nombre 5 devient -5, et le nombre 2 devient -2. Comme -5 est à gauche de -2, l’ordre est inversé. Cette propriété justifie rigoureusement la règle utilisée en résolution d’inéquations du premier degré.

5. Méthode pas à pas

1. 🔎 Je repère : j’identifie l’inconnue, le symbole d’inégalité et les opérations qui entourent l’inconnue. Je regarde aussi si le coefficient de x est positif ou négatif.
2. Je réduis : je développe si nécessaire, puis je regroupe les termes semblables. Par exemple, 3x + 2x devient 5x, et 7 - 4 devient 3.
3. Je regroupe les x d’un côté : j’ajoute ou je soustrais le même terme en x dans les deux membres. Le sens de l’inégalité ne change pas lors d’une addition ou d’une soustraction.
4. Je regroupe les nombres de l’autre côté : j’ajoute ou je soustrais les constantes pour obtenir une inéquation du type ax < b, ax > b, ax ≤ b ou ax ≥ b.
5. ✏️ J’applique : je divise les deux membres par le coefficient de x. Si ce coefficient est positif, je garde le sens. S’il est négatif, j’inverse le sens de l’inégalité.
6. J’écris l’ensemble des solutions : je donne la réponse sous la forme x < a, x > a, x ≤ a ou x ≥ a. Si on utilise les intervalles, on fait attention aux crochets ouverts ou fermés.
7. ✅ Je vérifie : je teste une valeur qui doit être solution et une valeur qui ne doit pas l’être. Je remplace x dans l’inéquation de départ pour contrôler le sens et le résultat.

Cette routine « Je repère / J’applique / Je vérifie » évite les erreurs les plus fréquentes. Elle oblige notamment à repérer le moment où l’on divise par un nombre négatif. On peut entourer le coefficient négatif et écrire à côté : division par négatif = sens inversé.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Résolvons l’inéquation suivante : 3x + 5 ≤ 17.

On commence par isoler le terme contenant x. On soustrait 5 aux deux membres :

3x + 5 - 5 ≤ 17 - 5

Donc :

3x ≤ 12

On divise ensuite les deux membres par 3. Comme 3 est positif, le sens de l’inégalité ne change pas :

x ≤ 4

L’ensemble des solutions est donc l’ensemble de tous les nombres inférieurs ou égaux à 4. On peut écrire : x ≤ 4. Si l’on représente les solutions sur une droite graduée, on place un point plein en 4, car 4 est compris dans les solutions, puis on colorie vers la gauche.

Vérification : prenons x = 2. Dans l’inéquation de départ, 3 × 2 + 5 = 11 et 11 ≤ 17 est vrai, donc 2 est solution. Prenons x = 5. On obtient 3 × 5 + 5 = 20 et 20 ≤ 17 est faux, donc 5 n’est pas solution. Cela confirme que la réponse x ≤ 4 est cohérente.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Résolvons l’inéquation suivante : -2x + 7 > 13.

On commence par isoler le terme en x. On soustrait 7 aux deux membres :

-2x + 7 - 7 > 13 - 7

Donc :

-2x > 6

On doit maintenant diviser les deux membres par -2. Attention : -2 est un nombre négatif. Le sens de l’inégalité change. Le symbole > devient < :

x < -3

L’ensemble des solutions est donc l’ensemble de tous les nombres strictement inférieurs à -3. Le nombre -3 n’est pas solution, car l’inégalité est stricte. Sur une droite graduée, on place un cercle ouvert en -3, puis on colorie vers la gauche.

Vérification : prenons x = -4, qui est bien inférieur à -3. Dans l’inéquation de départ, -2 × (-4) + 7 = 8 + 7 = 15, et 15 > 13 est vrai. Donc -4 est solution. Prenons x = 0. On obtient -2 × 0 + 7 = 7, et 7 > 13 est faux. Donc 0 n’est pas solution. La réponse x < -3 est bien confirmée.

Cet exemple illustre le point central de la leçon : le changement de sens n’a pas lieu quand on soustrait 7, mais uniquement quand on divise par -2.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un site de téléchargement propose un abonnement de 8 € par mois puis 1,50 € par film téléchargé. Sans abonnement, chaque film coûte 3,50 €. À partir de combien de films l’abonnement est-il plus avantageux sur un mois ?

On note x le nombre de films téléchargés. Avec abonnement, le coût est 8 + 1,5x. Sans abonnement, le coût est 3,5x. On cherche quand l’abonnement est moins cher, donc on résout :

8 + 1,5x < 3,5x

On regroupe les termes en x. On soustrait 1,5x aux deux membres :

8 < 3,5x - 1,5x

Donc :

8 < 2x

On divise par 2, qui est positif. Le sens ne change pas :

4 < x

On peut écrire plus habituellement :

x > 4

L’abonnement est donc plus avantageux pour plus de 4 films. Comme x représente un nombre de films, x doit être un nombre entier. Le premier nombre entier strictement supérieur à 4 est 5. Conclusion : à partir de 5 films téléchargés, l’abonnement est plus avantageux.

Vérification : pour 4 films, l’abonnement coûte 8 + 1,5 × 4 = 14 €, et sans abonnement cela coûte 3,5 × 4 = 14 €. Les deux tarifs sont égaux, donc l’abonnement n’est pas strictement moins cher. Pour 5 films, l’abonnement coûte 8 + 1,5 × 5 = 15,50 €, et sans abonnement cela coûte 3,5 × 5 = 17,50 €. L’abonnement est bien plus avantageux.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : garder le même sens après une division par un nombre négatif, par exemple écrire -2x > 6 donc x > -3 — À faire : entourer le coefficient négatif et écrire : division par négatif = sens inversé, donc x < -3.
• Erreur : changer le sens après une addition ou une soustraction, par exemple écrire x - 5 < 2 donc x > 7 — À faire : retenir qu’ajouter ou soustraire le même nombre conserve toujours le sens de l’inégalité, même si ce nombre est négatif.
• Erreur : oublier de réduire les termes en x dans les deux membres — À faire : présenter la résolution en colonnes, regrouper les x d’un côté et les nombres de l’autre avant de diviser.
• Erreur : confondre inégalité stricte et inégalité large — À faire : associer < ou > à une borne non comprise, et ≤ ou ≥ à une borne comprise.
• Erreur : donner une seule valeur au lieu d’un ensemble de solutions — À faire : écrire une condition comme x < 4 ou x ≥ -2, puis tester plusieurs valeurs pour comprendre qu’il y a souvent une infinité de solutions.
• Erreur : transformer une inéquation comme 4 < x en x < 4 — À faire : lorsque l’on échange les deux membres, inverser aussi le symbole : 4 < x signifie x > 4.

10. À retenir

• Une inéquation compare deux expressions avec <, >, ≤ ou ≥.
• Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’inégalité vraie.
• Une inéquation du premier degré se ramène à une forme comme ax + b < c ou ax + b ≥ c, avec a ≠ 0.
• Ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres conserve le sens de l’inégalité.
• Multiplier ou diviser par un nombre positif conserve le sens de l’inégalité.
• Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.
• Les symboles < et > correspondent à des inégalités strictes : la borne n’est pas comprise.
• Les symboles ≤ et ≥ correspondent à des inégalités larges : la borne est comprise.
• Une vérification consiste à remplacer x par une valeur dans l’inéquation de départ.
• Dans un problème concret, il faut interpréter la solution selon le contexte : âge, prix, distance, nombre entier, durée, etc.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur les inéquations du premier degré en 3e.

La fiche d’exercices permet de s’entraîner progressivement à la résolution complète. Elle contient d’abord des exercices sur les transformations et le sens de l’inégalité : il faut dire si le symbole change ou non lorsqu’on ajoute, soustrait, multiplie ou divise les deux membres. Une attention particulière est portée au cas où l’on multiplie ou divise par un nombre négatif.

On trouve ensuite des exercices pour résoudre des inéquations simples, comme x + 7 ≥ 12, 5x < 20 ou -3x ≤ 18. Ces exercices automatisent les gestes de base : isoler x, diviser par le coefficient, écrire correctement l’ensemble des solutions.

D’autres exercices demandent de remettre une résolution dans l’ordre. Ils aident à comprendre la logique des étapes et à éviter les transformations incorrectes. Une partie est consacrée à encoder l’ensemble des solutions, par une inégalité, une phrase ou une représentation sur une droite graduée. Enfin, des résolutions complètes mélangent calcul littéral, réduction, changement de sens et problèmes concrets.

Barème conseillé pour une résolution complète sur 20 points : identifier correctement l’opération à effectuer pour isoler x, 4 points ; effectuer les calculs algébriques sans erreur, 4 points ; conserver ou inverser correctement le sens de l’inégalité, 5 points ; écrire l’ensemble des solutions sous une forme correcte, 4 points ; présenter une résolution claire et vérifier une solution, 3 points.

12. Questions fréquentes