Probabilités : événements indépendants

1. Introduction et problématique

Situation-problème : Lina lance une pièce équilibrée puis tire une carte au hasard dans un paquet bien mélangé. Elle s’intéresse à deux événements : A : « obtenir pile » et B : « tirer un cœur ». Elle se demande quelle est la probabilité que les deux événements se produisent en même temps, c’est-à-dire « obtenir pile et tirer un cœur ». Comme le résultat du lancer de la pièce ne change pas le contenu du paquet de cartes, on peut penser que ces deux événements n’ont pas d’influence l’un sur l’autre. On dit alors qu’ils sont indépendants.

En classe de 3e, les probabilités permettent de modéliser des situations de hasard : lancer une pièce, tirer une boule dans une urne, choisir une personne au hasard, lire un arbre pondéré. Une question importante est de savoir si deux événements sont liés ou non. Par exemple, tirer une boule rouge dans une urne puis tirer une deuxième boule sans remettre la première change la composition de l’urne : les deux tirages ne sont généralement pas indépendants. Au contraire, lancer un dé puis lancer une pièce sont deux expériences qui n’agissent pas l’une sur l’autre.

La problématique de cette leçon est donc la suivante : comment reconnaître deux événements indépendants et comment calculer la probabilité que deux événements indépendants se réalisent simultanément ? L’objectif est de comprendre la phrase clé : deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre. Dans ce cas, on peut utiliser la formule du produit : P(A et B) = P(A) × P(B).

2. Définition

Définition : Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de réalisation de l’autre. Autrement dit, savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité que B se réalise, et savoir que B est réalisé ne change pas la probabilité que A se réalise.

Le mot repère est indépendants, que l’on peut découper en syllabes : in-dé-pen-dants. Deux événements indépendants « ne dépendent pas » l’un de l’autre. Par exemple, lancer une pièce et tirer une carte dans un paquet sont indépendants car le lancer ne change pas les probabilités du tirage.

Il faut bien distinguer l’indépendance du fait que deux événements se produisent l’un après l’autre. Deux événements peuvent être successifs sans être indépendants. Dans un tirage sans remise, le premier tirage modifie les chances du second. En revanche, dans un tirage avec remise, on remet l’objet tiré avant le deuxième tirage : la situation redevient identique, ce qui peut rendre les événements indépendants.

Dans le langage des probabilités, « A et B » signifie que les deux événements se réalisent en même temps ou dans une même expérience composée. On note cette probabilité P(A et B). Au collège, on utilise souvent la notation en français « et », mais on peut aussi rencontrer la notation A ∩ B dans certains documents.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si A et B sont deux événements indépendants, alors la probabilité que A et B se réalisent est égale au produit de leurs probabilités : P(A et B) = P(A) × P(B).

Cette propriété est appelée la formule du produit. Elle est essentielle pour calculer la probabilité d’un événement composé lorsque les événements sont indépendants. Par exemple, si P(A) = 0,4 et P(B) = 0,25, alors, si A et B sont indépendants, P(A et B) = 0,4 × 0,25 = 0,1.

Dans un arbre pondéré, chaque branche porte une probabilité. La probabilité d’un chemin se calcule en multipliant les probabilités des branches de ce chemin. Cette règle est particulièrement utile pour représenter deux expériences successives. Si les expériences sont indépendantes, les probabilités des branches du deuxième niveau ne changent pas selon le résultat du premier niveau.

Il faut retenir trois idées : d’abord, l’indépendance est une condition ; ensuite, la formule P(A et B) = P(A) × P(B) ne s’utilise que dans le bon contexte ; enfin, une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Si un calcul donne 1,2 ou 150 %, il y a forcément une erreur.

4. Démonstration

Au collège, on ne demande pas toujours une démonstration formelle de l’indépendance, mais il est important de comprendre pourquoi le produit apparaît. Prenons une situation simple : on lance une pièce équilibrée et on lance un dé équilibré à six faces. On note A : « obtenir pile » et B : « obtenir un nombre pair ».

La pièce a deux issues possibles : pile ou face. Le dé a six issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6. L’expérience complète possède donc 2 × 6 = 12 issues équiprobables : pile-1, pile-2, pile-3, pile-4, pile-5, pile-6, face-1, face-2, face-3, face-4, face-5, face-6.

L’événement A : « obtenir pile » correspond à 6 issues sur 12, donc P(A) = 6 ÷ 12 = 1 ÷ 2. L’événement B : « obtenir un nombre pair » correspond aux nombres 2, 4 et 6. Pour chaque résultat de la pièce, il y a 3 issues favorables sur 6 pour le dé, donc P(B) = 3 ÷ 6 = 1 ÷ 2.

L’événement « A et B » signifie : obtenir pile et obtenir un nombre pair. Les issues favorables sont pile-2, pile-4 et pile-6. Il y en a 3 sur 12, donc P(A et B) = 3 ÷ 12 = 1 ÷ 4.

Or P(A) × P(B) = 1 ÷ 2 × 1 ÷ 2 = 1 ÷ 4. On retrouve bien P(A et B) = P(A) × P(B). Le produit vient du fait que l’on combine deux choix indépendants : le résultat de la pièce ne change pas les chances d’obtenir un nombre pair avec le dé.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les événements. J’identifie clairement les deux événements A et B. Par exemple : A : « tirer une boule rouge » et B : « obtenir pile ».
2. Je vérifie le contexte. Je me demande si la réalisation de l’un des événements modifie la probabilité de l’autre. Si non, les événements sont indépendants. Si oui, il faut faire attention : la formule du produit simple ne s’applique pas directement.
3. J’écris les probabilités données ou calculées. Je note P(A) et P(B), sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage converti.
4. J’applique la formule du produit. Si A et B sont indépendants, alors P(A et B) = P(A) × P(B).
5. Je calcule proprement. Avec des fractions, je multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Avec des décimaux, je peux utiliser le calcul mental, posé ou la calculatrice.
6. Je vérifie la cohérence. Le résultat doit être compris entre 0 et 1. Il doit aussi correspondre à l’événement demandé : « A et B » et non « A ou B ».
7. Je rédige une phrase de conclusion. Par exemple : « La probabilité d’obtenir pile et de tirer un cœur est 1 ÷ 8, soit 0,125. »

Routine à retenir : 🔎 Je repère les événements et l’indépendance ; ✖️ J’applique P(A et B) = P(A) × P(B) ; ✅ Je vérifie que le résultat est plausible et que la phrase répond à la question.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On lance une pièce équilibrée et on lance un dé équilibré. On note A : « obtenir pile » et B : « obtenir un 6 ». Calculer P(A et B).

Les deux expériences sont indépendantes : le lancer de la pièce ne modifie pas le résultat du dé, et le lancer du dé ne modifie pas le résultat de la pièce. On peut donc utiliser la formule du produit.

On a P(A) = 1 ÷ 2, car une pièce équilibrée a deux faces et une seule correspond à pile. On a P(B) = 1 ÷ 6, car un dé équilibré a six faces et une seule correspond au nombre 6.

Comme A et B sont indépendants, P(A et B) = P(A) × P(B). Donc P(A et B) = 1 ÷ 2 × 1 ÷ 6 = 1 ÷ 12.

Conclusion : la probabilité d’obtenir pile et d’obtenir un 6 est égale à 1 ÷ 12. Cela signifie qu’en répétant un très grand nombre de fois cette expérience, on peut s’attendre à obtenir environ une fois sur douze le résultat « pile et 6 ».

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On sait que deux événements A et B sont indépendants. On donne P(A) = 0,3 et P(A et B) = 0,12. On cherche P(B).

Comme A et B sont indépendants, on peut écrire la formule : P(A et B) = P(A) × P(B). On remplace par les valeurs connues : 0,12 = 0,3 × P(B).

Pour trouver P(B), on divise 0,12 par 0,3 : P(B) = 0,12 ÷ 0,3. Or 0,12 ÷ 0,3 = 0,4. Donc P(B) = 0,4.

On vérifie : 0,3 × 0,4 = 0,12. Le résultat est compris entre 0 et 1, donc il est plausible. On peut conclure que la probabilité de l’événement B est 0,4, c’est-à-dire 40 %.

Ce type d’exercice montre que la formule du produit peut être utilisée dans les deux sens. Si on connaît P(A) et P(B), on calcule P(A et B). Si on connaît P(A et B) et l’une des deux probabilités, on peut retrouver l’autre, à condition que les événements soient bien indépendants.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Dans un jeu, un joueur fait tourner une roue puis tire une carte. La roue a 5 secteurs de même taille : 2 secteurs rouges et 3 secteurs bleus. Le paquet contient 20 cartes : 8 cartes gagnantes et 12 cartes perdantes. La roue et le paquet sont indépendants : le résultat de la roue ne change pas le paquet. Quelle est la probabilité que le joueur obtienne un secteur rouge et tire une carte gagnante ?

On note A : « obtenir un secteur rouge » et B : « tirer une carte gagnante ». La probabilité d’obtenir un secteur rouge est P(A) = 2 ÷ 5. La probabilité de tirer une carte gagnante est P(B) = 8 ÷ 20 = 2 ÷ 5.

Comme les deux événements sont indépendants, on applique la formule : P(A et B) = P(A) × P(B). Donc P(A et B) = 2 ÷ 5 × 2 ÷ 5 = 4 ÷ 25.

On peut aussi écrire 4 ÷ 25 = 0,16, soit 16 %. La probabilité que le joueur obtienne un secteur rouge et tire une carte gagnante est donc 4 ÷ 25, c’est-à-dire 16 %.

Dans un arbre pondéré, on représenterait d’abord deux branches pour la roue : rouge avec une probabilité 2 ÷ 5 et bleu avec une probabilité 3 ÷ 5. À partir de chaque branche, on tracerait les branches du tirage : gagnante avec une probabilité 2 ÷ 5 et perdante avec une probabilité 3 ÷ 5. Le chemin « rouge puis gagnante » aurait pour probabilité 2 ÷ 5 × 2 ÷ 5 = 4 ÷ 25.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : additionner les probabilités au lieu de les multiplier, par exemple écrire 1 ÷ 2 + 1 ÷ 6 pour « pile et 6 ». — À faire : reformuler : « et » correspond à un chemin complet dans l’arbre, donc à un produit.
• Erreur : utiliser P(A et B) = P(A) × P(B) sans vérifier l’indépendance. — À faire : se demander systématiquement : « l’un des événements change-t-il la probabilité de l’autre ? »
• Erreur : penser que deux événements successifs sont toujours indépendants. — À faire : comparer un tirage avec remise et un tirage sans remise. Sans remise, le contenu change, donc les probabilités peuvent changer.
• Erreur : obtenir un résultat supérieur à 1, par exemple 1,4. — À faire : rappeler qu’une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 et reprendre le calcul.
• Erreur : mélanger fractions, décimaux et pourcentages sans conversion. — À faire : choisir une forme de calcul claire. Par exemple, convertir 25 % en 0,25 ou en 1 ÷ 4 avant de multiplier.
• Erreur : confondre « A et B » avec « A ou B ». — À faire : retenir que « A et B » signifie les deux à la fois, tandis que « A ou B » signifie au moins l’un des deux.

10. À retenir

• Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.
• Si A et B sont indépendants, alors P(A et B) = P(A) × P(B).
• Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin se calcule en multipliant les probabilités des branches du chemin.
• La formule du produit ne s’utilise pas automatiquement : il faut d’abord vérifier ou justifier l’indépendance.
• Deux événements successifs ne sont pas forcément indépendants. Un tirage avec remise et un tirage sans remise ne se traitent pas de la même manière.
• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Elle peut aussi s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.
• Pour rédiger correctement, on identifie les événements, on indique qu’ils sont indépendants, on applique la formule, puis on conclut avec une phrase claire.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur les événements indépendants en 3e. Cette fiche permet de s’entraîner progressivement à reconnaître des situations indépendantes, à utiliser la formule du produit et à rédiger une solution complète.

Aperçu des types d’exercices proposés : reconnaître des situations indépendantes ; utiliser la formule P(A et B) = P(A) × P(B) ; remettre un raisonnement dans l’ordre ; lire un arbre pondéré ; rédiger une solution complète à partir d’un problème concret.

Exemples de consignes possibles : « On lance un dé puis une pièce. Calculer la probabilité d’obtenir un nombre pair et pile. » ; « Dans une urne, on tire une boule, on la remet, puis on tire une deuxième boule. Les deux tirages sont-ils indépendants ? » ; « Compléter un arbre pondéré et calculer la probabilité d’un chemin. »

Barème possible sur 20 points : reconnaître ou discuter l’indépendance de deux événements, 4 points ; identifier correctement les événements A et B, 3 points ; utiliser la formule P(A et B) = P(A) × P(B) dans le bon contexte, 5 points ; effectuer correctement les calculs avec fractions ou décimaux, 5 points ; rédiger une conclusion claire avec une probabilité cohérente, 3 points.

12. Questions fréquentes