Homothétie : agrandissement et réduction

1. Introduction et problématique

Situation-problème : on souhaite reproduire le logo d’un club sur deux supports différents. Sur une affiche, il doit être plus grand ; sur un autocollant, il doit être plus petit. Dans les deux cas, la forme du logo ne doit pas changer : les angles doivent rester les mêmes, les côtés doivent rester dans les mêmes proportions, et les points doivent être placés avec précision. Comment obtenir une copie agrandie ou réduite d’une figure sans la déformer ?

En classe de 3e, on utilise pour cela une transformation géométrique appelée homothétie. Elle permet de construire l’image d’un point, d’un segment, d’un triangle ou d’une figure plus complexe à partir d’un centre et d’un rapport. Le mot repère à garder en tête est : centre-rapport-image. On repère d’abord le centre, on utilise ensuite le rapport, puis on construit l’image.

Par exemple, si O est le centre, si OM = 4 cm et si le rapport est k = 2, alors le point image M' est placé sur la demi-droite [OM) et OM' = 2 × 4 = 8 cm. La figure obtenue est deux fois plus grande, mais elle garde la même forme. Si le rapport était k = 0,5, la figure serait deux fois plus petite. Si le rapport était négatif, le point image serait placé de l’autre côté du centre O.

L’objectif de cette leçon est donc de comprendre l’homothétie comme un outil d’agrandissement ou de réduction, puis d’apprendre à construire correctement l’image d’un point et d’une figure.

2. Définition

Définition : Une homothétie de centre O et de rapport k, où k est un nombre non nul, est une transformation qui associe à chaque point M un point M' tel que les points O, M et M' sont alignés et tel que OM' = |k| × OM. Le signe de k indique le côté où l’on place M' par rapport au centre O.

On note souvent cette transformation : homothétie de centre O et de rapport k. Le point O est appelé le centre de l’homothétie. Le nombre k est appelé le rapport de l’homothétie. Le point M' est appelé l’image du point M.

Il faut retenir deux idées essentielles. Premièrement, les points O, M et M' sont toujours alignés. Deuxièmement, la distance entre le centre O et l’image M' est obtenue en multipliant la distance OM par |k|. La notation |k| se lit « valeur absolue de k » : elle correspond à la distance positive associée au rapport. Par exemple, si k = -3, alors |k| = 3.

Lorsque k est positif, M' est situé du même côté que M par rapport au centre O. Lorsque k est négatif, M' est situé de l’autre côté du centre O. Le signe ne sert donc pas à calculer une longueur négative, car une longueur est toujours positive ; il sert à déterminer le sens de placement.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Une homothétie de rapport k multiplie toutes les longueurs par |k|, conserve les alignements, conserve les angles et transforme une droite en une droite parallèle ou confondue avec la droite de départ.

Une homothétie permet donc de faire un agrandissement ou une réduction sans déformer la figure. Si une figure F a pour image une figure F', alors les longueurs de F' sont proportionnelles aux longueurs correspondantes de F. Le coefficient de proportionnalité est |k|.

Si |k| > 1, l’homothétie produit un agrandissement. Par exemple, avec k = 2 ou k = -2, les longueurs sont multipliées par 2. La figure image est plus grande que la figure initiale.

Si 0 < |k| < 1, l’homothétie produit une réduction. Par exemple, avec k = 0,5 ou k = -0,5, les longueurs sont multipliées par 0,5. La figure image est plus petite que la figure initiale.

Si k = 1, chaque point garde sa position : la figure image est la même que la figure de départ. Si k = -1, chaque point est envoyé de l’autre côté de O à la même distance : cette transformation correspond à une symétrie centrale de centre O.

Le centre O est un point particulier : son image est lui-même. On dit que le centre de l’homothétie est invariant.

4. Démonstration

On peut justifier les propriétés de l’homothétie à partir de la définition et de la proportionnalité. Considérons deux points A et B et leurs images A' et B' par une homothétie de centre O et de rapport k. Par définition, O, A et A' sont alignés, et OA' = |k| × OA. De même, O, B et B' sont alignés, et OB' = |k| × OB.

Dans le cas où A et B ne sont pas sur la même droite passant par O, on peut comparer les triangles OAB et OA'B'. Les points A' et B' sont placés sur les droites (OA) et (OB), avec des distances au centre multipliées par le même nombre |k|. Les rapports OA'/OA et OB'/OB sont donc égaux à |k|. Les triangles OAB et OA'B' sont alors des triangles de même forme : leurs côtés correspondants sont proportionnels et leurs angles correspondants sont égaux.

On en déduit que A'B' = |k| × AB. Cela montre que la longueur du segment image est multipliée par |k|. Cette propriété ne dépend pas du segment choisi : elle s’applique à tous les segments de la figure.

Comme les angles sont conservés, une homothétie ne déforme pas la figure. Un triangle reste un triangle de même forme ; un rectangle reste un rectangle ; un cercle devient un cercle dont le rayon est multiplié par |k|. Les alignements sont également conservés : si trois points A, B et C sont alignés, alors leurs images A', B' et C' sont alignées.

Cette démonstration explique pourquoi l’homothétie est utilisée pour produire des agrandissements et des réductions rigoureux en géométrie.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : j’identifie le centre O, le point à transformer et le rapport k. Je lis attentivement le signe de k et sa valeur absolue |k|.
2. Je trace : je trace la droite passant par le centre O et le point M. C’est sur cette droite que se trouvera l’image M'.
3. Je choisis le bon côté : si k > 0, je place M' du même côté que M par rapport à O ; si k < 0, je place M' de l’autre côté du centre O.
4. Je calcule la distance : j’utilise la formule OM' = |k| × OM. Attention : une longueur est toujours positive.
5. Je reporte la longueur : avec la règle graduée ou le compas, je reporte la distance OM' depuis O dans le bon sens.
6. Je nomme l’image : j’écris M' au point obtenu. Pour une figure, je construis de la même manière A', B', C', etc.
7. Je vérifie : je contrôle que O, M et M' sont alignés, que la distance est correcte et que le placement respecte le signe de k.

Cette routine peut se résumer ainsi : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le centre, le point et le rapport ; j’applique la construction avec la droite et la distance ; je vérifie l’alignement, la longueur et le sens.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère une homothétie de centre O et de rapport k = 3. Le point M est tel que OM = 2 cm. Construire l’image M' de M.

Ici, le rapport est positif : k = 3. Le point image M' sera donc placé du même côté que M par rapport au centre O. On calcule la distance OM' :

OM' = |k| × OM = |3| × 2 = 3 × 2 = 6 cm.

On trace la droite (OM). Puisque k est positif, on place M' sur la demi-droite [OM), c’est-à-dire dans le même sens que M à partir de O. On reporte ensuite 6 cm depuis O. Le point obtenu est M'.

Vérification : les points O, M et M' sont alignés ; M' est du même côté que M ; la distance OM' vaut 6 cm. La construction est donc correcte.

Cette homothétie est un agrandissement, car |k| = 3 et 3 > 1. Toutes les longueurs d’une figure seraient multipliées par 3. Si un segment AB mesure 4 cm, son image A'B' mesurerait 12 cm.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On considère une homothétie de centre O et de rapport k = -0,5. Le point M est tel que OM = 8 cm. Construire M'.

Cette fois, le rapport est négatif. Cela signifie que l’image M' est située de l’autre côté du centre O par rapport à M. Pour calculer la distance, on utilise la valeur absolue du rapport :

OM' = |k| × OM = |-0,5| × 8 = 0,5 × 8 = 4 cm.

On trace la droite (OM), puis on prolonge cette droite de l’autre côté de O. On place M' à 4 cm de O, du côté opposé à M. Le point obtenu est l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport -0,5.

Vérification : O, M et M' sont alignés ; M et M' sont de part et d’autre du centre O ; OM' = 4 cm. La longueur image est bien positive, même si le rapport est négatif.

Cette homothétie est une réduction, car |k| = 0,5 et 0 < 0,5 < 1. La figure image est deux fois plus petite que la figure initiale. Le signe négatif ne signifie pas que la figure est « négative » ; il indique seulement qu’elle est placée de l’autre côté du centre.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un architecte dessine le plan d’un jardin triangulaire ABC. Il souhaite construire une version agrandie A'B'C' du triangle à partir d’un point O, avec une homothétie de centre O et de rapport k = 1,5. Les distances sont : OA = 4 cm, OB = 5 cm et OC = 6 cm. Comment construire l’image du triangle ABC ?

On commence par construire les images des sommets. Pour le point A, on calcule :

OA' = |1,5| × OA = 1,5 × 4 = 6 cm.

Comme k est positif, A' est placé sur la demi-droite [OA), à 6 cm de O. Pour le point B :

OB' = |1,5| × OB = 1,5 × 5 = 7,5 cm.

B' est placé sur la demi-droite [OB), à 7,5 cm de O. Pour le point C :

OC' = |1,5| × OC = 1,5 × 6 = 9 cm.

C' est placé sur la demi-droite [OC), à 9 cm de O. Une fois les trois points images construits, on relie A', B' et C' dans le même ordre que les points du triangle initial : A' avec B', B' avec C', puis C' avec A'.

Le triangle A'B'C' est une image agrandie du triangle ABC. Les longueurs sont multipliées par 1,5, les angles sont conservés et les côtés correspondants sont parallèles deux à deux lorsque les droites ne passent pas par le centre. Cette construction montre l’intérêt de l’homothétie : elle permet d’agrandir une figure complète en construisant seulement les images de ses points importants.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : placer M' du mauvais côté du centre. — À faire : verbaliser la règle : si k est positif, M' est du même côté que M ; si k est négatif, M' est de l’autre côté du centre.
• Erreur : utiliser k au lieu de |k| pour calculer une longueur. — À faire : rappeler qu’une longueur est toujours positive : OM' = |k| × OM.
• Erreur : construire M' sans que O, M et M' soient alignés. — À faire : tracer d’abord la droite passant par O et M avant de reporter la longueur.
• Erreur : confondre agrandissement et réduction. — À faire : comparer |k| à 1 : si |k| > 1, c’est un agrandissement ; si 0 < |k| < 1, c’est une réduction.
• Erreur : relier les points images dans le mauvais ordre. — À faire : suivre les correspondances A/A', B/B', C/C' et coder les points avec des couleurs ou des primes.

Une autre erreur fréquente consiste à croire que le centre O se déplace. C’est faux : le centre de l’homothétie reste fixe. Son image est lui-même. Il sert de point de référence pour placer toutes les images.

10. À retenir

• Une homothétie est définie par un centre O et un rapport k.
• Dans une homothétie de centre O et de rapport k, l’image M' d’un point M vérifie : O, M et M' sont alignés.
• La distance au centre est multipliée par la valeur absolue du rapport : OM' = |k| × OM.
• Si k > 0, le point image est du même côté que le point de départ par rapport au centre.
• Si k < 0, le point image est de l’autre côté du centre.
• Si |k| > 1, l’homothétie est un agrandissement.
• Si 0 < |k| < 1, l’homothétie est une réduction.
• Une homothétie conserve les angles, les alignements et la forme des figures.
• Les longueurs sont multipliées par |k|, les aires par |k|² et les volumes par |k|³ lorsqu’on travaille dans l’espace.
• Le centre O est invariant : son image est O lui-même.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Homothétie : agrandissement et réduction (3e) » pour s’entraîner à lire, calculer et construire des images par homothétie.

Aperçu des types d’exercices proposés : lire le centre, le rapport et la longueur image ; répondre à des questions de type vrai ou faux ; remettre une construction dans l’ordre ; coder une homothétie avec des coordonnées ; construire l’image d’un triangle par homothétie.

Pour réussir ces exercices, il faut être capable d’identifier le centre, le point image et le rapport. Il faut aussi savoir calculer correctement les longueurs images avec |k|, placer l’image du bon côté selon le signe de k, réaliser une construction propre et alignée, puis justifier avec le vocabulaire adapté.

Exemple de barème possible sur 10 points : identifier le centre, le point image et le rapport : 2 points ; calculer correctement les longueurs images avec |k| : 3 points ; placer l’image du bon côté selon le signe de k : 3 points ; réaliser une construction propre et alignée : 1 point ; justifier avec le vocabulaire adapté : 1 point.

Conseil de travail : avant de commencer la construction, écrire une phrase de méthode. Par exemple : « Je trace la droite (OM), je calcule OM' = |k| × OM, puis je place M' du bon côté selon le signe de k. » Cette phrase aide à éviter les erreurs de sens et d’alignement.

12. Questions fréquentes