Rotation : centre, angle, sens

1. Introduction et problématique

Dans de nombreuses situations, on observe des objets qui tournent autour d’un point fixe : les aiguilles d’une horloge tournent autour du centre du cadran, une grande roue tourne autour de son axe, une porte tourne autour de ses gonds, un logo peut être répété en tournant autour d’un point. En géométrie, ce mouvement s’appelle une rotation. En classe de 3e, on apprend à décrire précisément ce mouvement avec trois informations essentielles : le centre, l’angle et le sens.

La situation-problème est la suivante : on donne un point O, un triangle ABC et une consigne comme « Construire l’image du triangle ABC par la rotation de centre O, d’angle 90°, dans le sens direct ». Comment placer correctement les points A’, B’ et C’ ? Comment être sûr que la figure obtenue est bien l’image du triangle initial et non une figure seulement “à peu près tournée” ?

Pour répondre, il faut comprendre que chaque point de la figure tourne autour du centre O. Si A devient A’, alors la distance au centre est conservée : OA = OA’. De plus, l’angle AOA’, mesuré au centre O, est égal à l’angle de rotation. Enfin, le placement de A’ dépend du sens choisi : sens direct, aussi appelé sens trigonométrique, ou sens horaire.

L’objectif de cette leçon est donc double : construire l’image d’une figure par rotation et identifier le centre, l’angle et le sens d’une rotation à partir d’une figure. On retiendra la routine : Je repère / J’applique / Je vérifie.

2. Définition

Définition : Une rotation est une transformation géométrique qui fait tourner tous les points d’une figure autour d’un point fixe, appelé centre de rotation, selon un angle donné et dans un sens donné.

Le centre est souvent noté O. Lorsqu’un point A a pour image un point A’ par une rotation de centre O, cela signifie que le point A a tourné autour de O pour arriver en A’. Le point O, lui, ne bouge pas : on dit qu’il est invariant ou fixe.

Une rotation est donc déterminée par trois informations :

• le centre : le point autour duquel on tourne, par exemple O ;
• l’angle : la mesure de la rotation, par exemple 90°, 120° ou 180° ;
• le sens : sens direct, c’est-à-dire inverse des aiguilles d’une montre, ou sens horaire, c’est-à-dire le sens des aiguilles d’une montre.

On peut écrire : « la rotation de centre O, d’angle 90°, dans le sens direct ». Cette phrase indique que chaque point de la figure tourne d’un quart de tour autour de O, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Si A devient A’, on a alors OA = OA’ et l’angle orienté de OA vers OA’ mesure 90° dans le sens direct.

Une rotation de 180° est un cas particulier : elle correspond à un demi-tour. Elle donne exactement la même image qu’une symétrie centrale de même centre.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Une rotation conserve les distances, les alignements, les angles et les aires. Une figure et son image par rotation sont superposables : elles ont la même forme et la même taille.

Les propriétés importantes d’une rotation sont les suivantes :

• Conservation des distances : si A’ est l’image de A et B’ l’image de B, alors AB = A’B’. En particulier, si A devient A’, alors OA = OA’.
• Conservation des angles : un angle de la figure initiale a la même mesure que l’angle correspondant dans la figure image.
• Conservation des alignements : si A, B et C sont alignés, alors A’, B’ et C’ sont aussi alignés.
• Conservation des milieux : si M est le milieu de [AB], alors son image M’ est le milieu de [A’B’].
• Conservation des aires : l’aire d’une figure ne change pas après une rotation.

Ces propriétés montrent qu’une rotation ne déforme pas la figure. Elle la déplace en la faisant tourner. Les longueurs restent les mêmes, les angles restent les mêmes, et l’ordre des sommets est conservé. Si l’on construit l’image d’un triangle ABC, il faut donc obtenir un triangle A’B’C’ congruent au triangle ABC.

Le centre de rotation est le seul point qui reste fixe, sauf cas particulier où certains points de la figure sont aussi au centre. Pour reconnaître une rotation, on peut observer les segments reliant un point et son image au centre : pour chaque point A, les longueurs OA et OA’ sont égales et l’angle AOA’ est le même que l’angle de rotation.

4. Démonstration

On justifie les propriétés de la rotation à partir de sa construction. Prenons un point O, centre de la rotation, et un point A. Pour construire l’image A’ de A par une rotation de centre O et d’angle 90° dans le sens direct, on commence par tracer la demi-droite issue de O obtenue en tournant la direction OA de 90° dans le sens direct. Ensuite, on reporte sur cette demi-droite la longueur OA. Le point obtenu est A’.

Par construction, la distance entre O et A’ est la même que la distance entre O et A. On a donc OA = OA’. Toujours par construction, l’angle formé au centre, c’est-à-dire l’angle AOA’, mesure 90° dans le sens demandé. Ainsi, l’image d’un point par rotation est entièrement déterminée par ces deux conditions : même distance au centre et angle au centre égal à l’angle de rotation.

Pour une figure composée de plusieurs points, comme un triangle ABC, on applique la même rotation à chaque sommet. Le point A devient A’, le point B devient B’ et le point C devient C’. Comme tous les points tournent du même angle autour du même centre, les positions relatives sont conservées. Les côtés du triangle gardent leur longueur : AB = A’B’, BC = B’C’ et CA = C’A’. Les angles du triangle sont également conservés.

Cette idée peut se comprendre avec un calque : si l’on pose un calque sur la figure, que l’on fixe une pointe au point O, puis que l’on fait tourner le calque d’un angle donné, la figure dessinée sur le calque ne change pas de taille ni de forme. Elle occupe simplement une nouvelle position. La rotation est donc une transformation rigide, comme la translation et la symétrie.

5. Méthode pas à pas

Pour construire l’image d’un point ou d’une figure par une rotation, on suit une méthode rigoureuse. La routine à retenir est : Je repère / J’applique / Je vérifie.

1. Je repère le centre. Je trouve le point O autour duquel la figure doit tourner. Ce point ne bougera pas.
2. Je repère l’angle. Je lis la mesure indiquée : 60°, 90°, 120°, 180°… Un angle de 90° correspond à un quart de tour ; un angle de 180° correspond à un demi-tour.
3. Je repère le sens. Le sens direct, ou sens trigonométrique, est le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le sens horaire est le sens des aiguilles d’une montre.
4. Je trace le segment reliant le centre au point. Pour construire l’image de A, je trace ou j’observe le segment [OA].
5. Je mesure l’angle au centre. Avec le rapporteur placé en O, je construis la demi-droite qui forme l’angle demandé avec [OA], dans le bon sens.
6. Je reporte la distance. Avec le compas, je reporte la longueur OA à partir de O sur la nouvelle demi-droite. Le point obtenu est A’.
7. Je recommence pour chaque sommet. Pour une figure ABCD, je construis A’, B’, C’ et D’ de la même façon.
8. Je relie les points images dans le même ordre. Si la figure initiale est ABCD, l’image est A’B’C’D’, en respectant l’ordre des sommets.
9. Je vérifie. Je contrôle que OA = OA’, OB = OB’, et que les angles AOA’, BOB’ correspondent à l’angle de rotation dans le bon sens.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Construire l’image du point A par la rotation de centre O, d’angle 90°, dans le sens direct.

Analyse : Le centre est O. L’angle est 90°, c’est-à-dire un quart de tour. Le sens direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre. On cherche un point A’ tel que OA = OA’ et que l’angle AOA’ mesure 90° dans le sens direct.

Construction : On trace le segment [OA]. On place le rapporteur avec son centre sur O et son zéro aligné sur la demi-droite [OA). On mesure 90° dans le sens direct, donc en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On trace la nouvelle demi-droite issue de O. Ensuite, avec le compas, on prend l’écartement OA et on le reporte sur cette demi-droite à partir de O. Le point obtenu est A’.

Vérification : On vérifie d’abord la longueur : le compas doit confirmer que OA = OA’. On vérifie ensuite l’angle : l’angle AOA’ doit mesurer 90° et être orienté dans le sens direct. Le point A’ est donc correctement construit.

Conclusion : L’image de A par la rotation de centre O, d’angle 90°, dans le sens direct est le point A’. Cette construction illustre les deux idées essentielles : la distance au centre est conservée et l’angle se mesure toujours au centre O.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Sur une figure, on sait que A’ est l’image de A par une rotation de centre O. On observe que OA = OA’ et que l’angle AOA’ mesure 120°. Identifier l’angle et le sens de la rotation.

Analyse : Pour retrouver une rotation, il faut regarder le mouvement qui permet de passer du point A au point A’ autour du centre O. Le centre est déjà donné : c’est O. La distance OA est égale à OA’, ce qui confirme que les deux points sont à la même distance du centre. L’angle de rotation est l’angle au centre entre les demi-droites [OA) et [OA’).

Recherche de l’angle : On place le rapporteur au point O. On mesure l’angle entre OA et OA’. On obtient 120°. L’angle de rotation est donc 120°.

Recherche du sens : Il faut maintenant déterminer dans quel sens on tourne pour passer de A à A’. Si, en partant de la demi-droite [OA), on arrive à [OA’) en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, alors le sens est direct. Si l’on arrive à [OA’) en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre, alors le sens est horaire.

Conclusion possible : Si le passage de A vers A’ se fait dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, alors la transformation est la rotation de centre O, d’angle 120°, dans le sens direct. Si le passage se fait dans le sens des aiguilles d’une montre, c’est une rotation de centre O, d’angle 120°, dans le sens horaire.

Cet exemple montre qu’il ne suffit pas de connaître l’angle : il faut aussi préciser le sens. Deux rotations de même centre et de même angle, mais de sens opposés, donnent généralement deux images différentes.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Un carreleur veut reproduire un motif triangulaire autour d’un point O. Le triangle ABC doit être tourné d’un angle de 90° dans le sens direct pour obtenir le triangle A’B’C’. Comment construire précisément le nouveau motif ?

Étape 1 : repérer les données. Le centre de la rotation est O. L’angle est 90°. Le sens est direct, donc inverse des aiguilles d’une montre. La figure à transformer est le triangle ABC.

Étape 2 : construire l’image de A. On trace mentalement ou réellement la demi-droite [OA). Avec le rapporteur placé en O, on construit une demi-droite formant un angle de 90° avec [OA), dans le sens direct. Avec le compas, on reporte la longueur OA sur cette demi-droite. On obtient A’.

Étape 3 : construire l’image de B. On recommence avec le point B. On fait tourner la direction OB de 90° dans le sens direct, puis on reporte la longueur OB. On obtient B’.

Étape 4 : construire l’image de C. On fait de même pour C. La direction OC tourne de 90° dans le sens direct, et la distance OC est reportée à partir de O. On obtient C’.

Étape 5 : relier dans le bon ordre. On relie A’ à B’, B’ à C’ et C’ à A’. Il faut respecter l’ordre du triangle initial. Si l’on relie les points dans un mauvais ordre, la figure image peut être fausse, même si les points sont bien placés.

Vérification : Les longueurs du triangle sont conservées : AB = A’B’, BC = B’C’ et CA = C’A’. Les distances au centre sont aussi conservées : OA = OA’, OB = OB’ et OC = OC’. Le motif obtenu est bien le triangle initial tourné d’un quart de tour autour de O.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Placer A’ à la bonne distance mais du mauvais côté. — À faire : Tracer une flèche autour du centre et rappeler que le sens direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
• Erreur : Mesurer l’angle au niveau du point A au lieu du centre O. — À faire : Verbaliser systématiquement : l’angle se mesure toujours au centre, donc ici on mesure l’angle AOA’.
• Erreur : Ne pas conserver la distance au centre. — À faire : Utiliser le compas pour reporter exactement la longueur OA à partir de O, afin d’obtenir OA = OA’.
• Erreur : Relier les points images dans le mauvais ordre. — À faire : Nommer clairement A’, B’, C’, puis relier les points dans le même ordre que la figure initiale.
• Erreur : Penser qu’une rotation de 180° est une symétrie axiale. — À faire : Comparer les transformations : une rotation de 180° autour de O correspond à une symétrie centrale de centre O, et non à une symétrie axiale.
• Erreur : Oublier le sens de rotation quand l’angle est donné. — À faire : Toujours écrire les trois informations : centre, angle, sens.

10. À retenir

• Une rotation fait tourner une figure autour d’un point fixe appelé centre.
• Une rotation est définie par trois informations : centre, angle et sens.
• Le sens direct, ou sens trigonométrique, est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
• Le sens horaire est le sens des aiguilles d’une montre.
• Si A devient A’ par une rotation de centre O, alors OA = OA’.
• L’angle de rotation se mesure au centre : si A devient A’, on considère l’angle AOA’.
• Une rotation conserve les longueurs, les angles, les alignements et les aires.
• Une figure et son image par rotation sont superposables : même forme, même taille.
• Pour construire l’image d’une figure, on construit l’image de chaque sommet, puis on relie les points images dans le même ordre.
• Une rotation de 180° est un demi-tour et correspond à une symétrie centrale de même centre.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices « Rotation : centre, angle, sens — 3e » pour s’entraîner à lire, construire et justifier des rotations.

Les exercices proposés permettent de travailler progressivement les compétences attendues au collège. On commence par Lire une rotation : repérer sur une figure le centre, l’angle et le sens. On poursuit avec un exercice Vrai ou faux ? pour vérifier les propriétés : conservation des longueurs, conservation des angles, rôle du centre. Un troisième exercice demande de Remettre la construction dans l’ordre, afin de bien mémoriser la méthode : repérer, appliquer, vérifier.

Ensuite, l’activité Écrire la rotation demande de formuler correctement une transformation, par exemple : « A’ est l’image de A par la rotation de centre O, d’angle 90°, dans le sens direct ». Enfin, l’exercice principal consiste à Construire l’image d’une figure point par point : triangle, quadrilatère ou motif plus complexe.

Le barème peut être organisé ainsi : 4 points pour repérer correctement le centre, l’angle et le sens ; 4 points pour construire l’image d’un point avec OA = OA’ ; 4 points pour utiliser correctement le rapporteur et respecter le sens ; 5 points pour construire l’image complète d’une figure point par point ; 3 points pour justifier avec les propriétés de conservation. Pour réussir, il faut être précis, soigner les tracés et écrire les justifications géométriques.

12. Questions fréquentes