Médiane, quartiles, étendue

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une classe de 3e, on a relevé les temps, en minutes, mis par les élèves pour résoudre une énigme mathématique : 4 ; 7 ; 5 ; 12 ; 6 ; 9 ; 5 ; 8 ; 18 ; 7 ; 6 ; 10. Le professeur veut décrire cette série de données sans seulement donner la moyenne. En effet, une valeur très grande, comme 18 minutes, peut influencer la moyenne. Il souhaite donc savoir quelle valeur est au centre de la série, quelles valeurs séparent les 25 % les plus petits résultats et les 25 % les plus grands résultats, et quel est l’écart entre le temps le plus court et le temps le plus long.

Pour répondre à ce type de question, on utilise des indicateurs statistiques : la médiane, les quartiles Q1 et Q3, l’étendue et l’écart interquartile. Ces indicateurs permettent de résumer une série statistique, de comparer deux séries et d’interpréter la dispersion des données. En classe de 3e, l’objectif est de savoir les calculer correctement à partir d’une série brute ou d’un tableau, puis de leur donner du sens dans le contexte du problème.

La difficulté principale vient du fait qu’il faut d’abord ordonner les valeurs et raisonner avec les rangs. Le mot repère est donc : rang. Pour une série de 10 valeurs, Q1 est au rang supérieur ou égal à 10 ÷ 4 = 2,5, donc au rang 3 ; Q3 est au rang supérieur ou égal à 3 × 10 ÷ 4 = 7,5, donc au rang 8.

2. Définition

Définition : Une série statistique est une liste de valeurs obtenues lors d’une enquête, d’une mesure ou d’un relevé. Pour calculer la médiane, les quartiles et l’étendue, on commence par ranger les valeurs dans l’ordre croissant.

La médiane est une valeur centrale d’une série ordonnée. Elle partage la série en deux groupes de même effectif, ou aussi proches que possible. Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur située exactement au centre. Si l’effectif total est pair, on prend généralement, au collège, la moyenne des deux valeurs centrales.

Le premier quartile, noté Q1, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des données soient inférieures ou égales à cette valeur. On peut le retenir ainsi : Q1 marque environ la fin du premier quart de la série ordonnée.

Le troisième quartile, noté Q3, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75 % des données soient inférieures ou égales à cette valeur. Il marque environ la fin des trois premiers quarts de la série ordonnée.

L’étendue d’une série est la différence entre sa plus grande valeur et sa plus petite valeur : étendue = maximum − minimum. Elle mesure l’écart total entre les valeurs extrêmes.

L’écart interquartile est la différence entre Q3 et Q1 : écart interquartile = Q3 − Q1. Il mesure la dispersion de la moitié centrale des données, c’est-à-dire des valeurs situées entre le premier et le troisième quartile.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans une série ordonnée de n valeurs, Q1 est la valeur dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à n ÷ 4, et Q3 est la valeur dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à 3n ÷ 4.

Cette règle est celle utilisée en classe de 3e pour déterminer les quartiles à partir des rangs. Il ne faut pas arrondir au plus proche : on prend toujours le premier rang entier supérieur ou égal.

Pour la médiane, on distingue deux cas :

• si l’effectif n est impair, la médiane est la valeur de rang (n + 1) ÷ 2 dans la série ordonnée ;
• si l’effectif n est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, situées aux rangs n ÷ 2 et n ÷ 2 + 1.

Les quartiles Q1 et Q3 sont toujours des valeurs de la série, avec la définition utilisée au collège. La médiane, en revanche, peut ne pas être une valeur de la série lorsque l’effectif est pair, car elle peut être la moyenne de deux valeurs centrales.

On a toujours, pour une série ordonnée : minimum ≤ Q1 ≤ médiane ≤ Q3 ≤ maximum, sauf situations particulières avec des valeurs répétées où certaines de ces valeurs peuvent être égales. Cette chaîne d’inégalités permet de vérifier rapidement la cohérence des résultats.

4. Démonstration

Expliquons pourquoi la règle des rangs pour Q1 et Q3 fonctionne. Supposons qu’une série comporte n valeurs rangées dans l’ordre croissant. Dire que Q1 est une valeur telle qu’au moins 25 % des données sont inférieures ou égales à Q1 signifie qu’au moins un quart des valeurs doivent être placées avant ou à cette valeur dans la liste ordonnée.

Un quart de l’effectif total vaut n ÷ 4. Si n ÷ 4 est un entier, le rang de Q1 est exactement ce nombre. Par exemple, pour 12 valeurs, 12 ÷ 4 = 3, donc Q1 est la valeur de rang 3. Il y a alors 3 valeurs sur 12, soit 25 %, qui sont inférieures ou égales à Q1.

Si n ÷ 4 n’est pas un entier, il faut atteindre au moins 25 %. Par exemple, pour 10 valeurs, 10 ÷ 4 = 2,5. Le rang 2 ne suffit pas, car 2 valeurs sur 10 représentent seulement 20 %. Il faut donc prendre le rang 3, car 3 valeurs sur 10 représentent 30 %, ce qui est bien au moins 25 %. Voilà pourquoi on prend le plus petit entier supérieur ou égal.

Le raisonnement est le même pour Q3. Dire qu’au moins 75 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q3 revient à chercher le rang correspondant à 3n ÷ 4. Si ce nombre n’est pas entier, on prend le rang entier immédiatement supérieur. Pour 10 valeurs, 3 × 10 ÷ 4 = 7,5, donc Q3 est la valeur de rang 8. Ainsi, 8 valeurs sur 10, soit 80 %, sont inférieures ou égales à Q3.

Pour la médiane, le but est de couper la série ordonnée en deux parties de même effectif, ou presque. Avec 11 valeurs, la 6e valeur est au centre : 5 valeurs sont avant elle et 5 valeurs sont après elle. Avec 12 valeurs, il n’y a pas une seule valeur centrale : les deux valeurs centrales sont aux rangs 6 et 7. On prend alors leur moyenne pour obtenir une valeur centrale représentative.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : je lis toutes les valeurs de la série et je compte l’effectif total n. Si les données sont dans un tableau d’effectifs, j’additionne les effectifs.
2. Je range : j’écris la série dans l’ordre croissant. Cette étape est indispensable : la médiane, Q1 et Q3 se lisent dans une série ordonnée.
3. Je cherche la médiane : si n est impair, je prends la valeur de rang (n + 1) ÷ 2. Si n est pair, je prends la moyenne des deux valeurs de rang n ÷ 2 et n ÷ 2 + 1.
4. Je cherche Q1 : je calcule n ÷ 4, puis je prends le plus petit rang entier supérieur ou égal. Q1 est la valeur située à ce rang.
5. Je cherche Q3 : je calcule 3n ÷ 4, puis je prends le plus petit rang entier supérieur ou égal. Q3 est la valeur située à ce rang.
6. Je calcule l’étendue : j’identifie le maximum et le minimum, puis je calcule maximum − minimum.
7. Je calcule l’écart interquartile : je fais Q3 − Q1.
8. Je vérifie : je contrôle que Q1 est avant Q3, que la médiane est au centre et que l’étendue utilise bien les valeurs extrêmes.

Routine à retenir : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère l’effectif total et l’ordre des valeurs ; j’applique les formules de rang ; je vérifie la cohérence des indicateurs.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère la série suivante, déjà rangée dans l’ordre croissant :

3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18

L’effectif total est n = 9. Comme n est impair, la médiane est la valeur de rang (9 + 1) ÷ 2 = 5. La 5e valeur est 9, donc la médiane est 9.

Pour Q1, on calcule n ÷ 4 = 9 ÷ 4 = 2,25. Le plus petit entier supérieur ou égal à 2,25 est 3. Q1 est donc la valeur de rang 3. La 3e valeur est 6, donc Q1 = 6.

Pour Q3, on calcule 3n ÷ 4 = 3 × 9 ÷ 4 = 27 ÷ 4 = 6,75. Le plus petit entier supérieur ou égal à 6,75 est 7. Q3 est donc la valeur de rang 7. La 7e valeur est 12, donc Q3 = 12.

Le minimum est 3 et le maximum est 18. L’étendue vaut donc 18 − 3 = 15. L’écart interquartile vaut Q3 − Q1 = 12 − 6 = 6.

Interprétation : environ la moitié centrale des valeurs se situe entre 6 et 12. L’étendue est assez grande, car les valeurs vont de 3 à 18.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On sait qu’une série ordonnée de 10 valeurs a pour minimum 4, pour maximum 21, pour Q1 la valeur de rang 3 et pour Q3 la valeur de rang 8. Voici une série incomplète :

4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 18 ; 20 ; 21

Vérifions les indicateurs. L’effectif total est n = 10. Pour Q1, on calcule 10 ÷ 4 = 2,5. Le rang entier supérieur ou égal est 3. La valeur de rang 3 est 7, donc Q1 = 7.

Pour Q3, on calcule 3 × 10 ÷ 4 = 30 ÷ 4 = 7,5. Le rang entier supérieur ou égal est 8. La valeur de rang 8 est 18, donc Q3 = 18.

Comme n est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, situées aux rangs 5 et 6. Ces valeurs sont 11 et 13. Donc médiane = (11 + 13) ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12.

L’étendue vaut maximum − minimum = 21 − 4 = 17. L’écart interquartile vaut Q3 − Q1 = 18 − 7 = 11.

Dans un cas inverse, on peut aussi construire une série respectant des contraintes. Par exemple, si l’on veut une série de 10 valeurs avec Q1 = 7 et Q3 = 18, il faut placer 7 au rang 3 et 18 au rang 8, tout en gardant l’ordre croissant. Les autres valeurs doivent être compatibles avec cet ordre.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un professeur relève les notes sur 20 obtenues par 12 élèves à une évaluation :

8 ; 12 ; 15 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; 9 ; 12 ; 7 ; 16 ; 11

La série n’est pas ordonnée. On commence donc par la ranger dans l’ordre croissant :

6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 15 ; 16 ; 18

L’effectif total est n = 12. Comme n est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang 6 et 7. La 6e valeur est 11 et la 7e valeur est 12. Donc médiane = (11 + 12) ÷ 2 = 23 ÷ 2 = 11,5.

Pour Q1, on calcule 12 ÷ 4 = 3. Q1 est donc la valeur de rang 3, soit 8. Cela signifie qu’au moins 25 % des élèves ont une note inférieure ou égale à 8.

Pour Q3, on calcule 3 × 12 ÷ 4 = 9. Q3 est donc la valeur de rang 9, soit 14. Cela signifie qu’au moins 75 % des élèves ont une note inférieure ou égale à 14.

L’étendue vaut 18 − 6 = 12. Les notes s’étalent donc sur 12 points. L’écart interquartile vaut 14 − 8 = 6. La moitié centrale des notes est donc comprise entre 8 et 14, avec une dispersion de 6 points.

Ces indicateurs donnent une lecture plus complète que la moyenne seule. La médiane 11,5 indique le centre de la classe. Les quartiles montrent que le premier quart des notes est au plus égal à 8 et que les trois quarts des notes sont au plus égaux à 14.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : calculer les rangs dans la liste donnée sans la trier — À faire : écrire systématiquement la série ordonnée comme première ligne de réponse.
• Erreur : confondre moyenne et médiane en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par l’effectif — À faire : retenir que la médiane se lit au centre d’une série ordonnée.
• Erreur : arrondir n ÷ 4 ou 3n ÷ 4 au plus proche — À faire : prendre le premier rang entier supérieur ou égal.
• Erreur : calculer l’étendue avec Q3 − Q1 — À faire : écrire deux formules séparées : étendue = maximum − minimum ; écart interquartile = Q3 − Q1.
• Erreur : penser que toutes les valeurs sont obligatoirement entre Q1 et Q3 — À faire : comprendre que l’intervalle interquartile contient environ la moitié centrale des données, mais qu’il existe aussi des valeurs en dessous de Q1 et au-dessus de Q3.
• Erreur : oublier les valeurs répétées dans un tableau — À faire : tenir compte des effectifs et, si nécessaire, réécrire la série complète ou utiliser les effectifs cumulés.

10. À retenir

• Avant tout calcul, une série doit être rangée dans l’ordre croissant.
• La médiane est une valeur centrale d’une série ordonnée.
• Si l’effectif est impair, la médiane est la valeur de rang (n + 1) ÷ 2.
• Si l’effectif est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
• Q1 est la plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des données sont inférieures ou égales à elle.
• Q3 est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des données sont inférieures ou égales à elle.
• Pour trouver Q1, on prend le rang entier supérieur ou égal à n ÷ 4.
• Pour trouver Q3, on prend le rang entier supérieur ou égal à 3n ÷ 4.
• L’étendue se calcule par la formule : maximum − minimum.
• L’écart interquartile se calcule par la formule : Q3 − Q1.
• Une grande étendue indique que les valeurs extrêmes sont éloignées.
• Un grand écart interquartile indique que la moitié centrale des données est dispersée.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices au format PDF : médiane, quartiles, étendue en 3e. Cette fiche permet de s’entraîner progressivement sur les compétences attendues : ordonner les données, déterminer la médiane, calculer Q1 et Q3, trouver l’étendue et l’écart interquartile, puis interpréter les résultats dans une phrase.

Aperçu des types d’exercices proposés : Compléter le tableau, Calculer Q1 et Q3, Remettre en ordre puis calculer, Saisir les indicateurs, Interpréter les résultats. Certains exercices donnent une série brute ; d’autres présentent un tableau d’effectifs ou demandent de comparer deux séries statistiques.

Barème possible sur 5 points : ordonner correctement les données, 1 point ; déterminer la médiane, 1 point ; calculer Q1 et Q3 avec les bons rangs, 1 point ; calculer l’étendue et l’écart interquartile, 1 point ; justifier et interpréter les résultats, 1 point. Pour réussir, il faut écrire les étapes et ne pas se contenter d’une liste de réponses.

12. Questions fréquentes