Probabilités : arbre de dénombrement et expériences à 2 étapes

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans un sac, on place 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, puis on tire une deuxième boule. Selon que l’on remet ou non la première boule dans le sac, les probabilités du deuxième tirage ne sont pas les mêmes. Comment représenter clairement toutes les possibilités ? Comment calculer la probabilité d’obtenir « rouge puis bleu », ou « deux boules de même couleur » ?

En classe de 3e, conformément aux attendus du cycle 4 du BO 2018, on apprend à modéliser des expériences aléatoires simples ou composées. Une expérience à deux étapes est une expérience dans laquelle une première action est suivie d’une deuxième action : lancer deux fois une pièce, tirer deux cartes, choisir successivement deux objets, répondre à deux questions, etc.

Pour organiser toutes les issues possibles, on utilise souvent un arbre de dénombrement ou un arbre pondéré. Chaque branche représente une possibilité, et chaque chemin complet représente une issue composée. Le mot repère est : ar-bre pon-dé-ré : chaque branche porte une probabilité ; par exemple 2/5 puis 3/4 donne le chemin 2/5 × 3/4 = 6/20 = 3/10.

L’objectif de cette leçon est de savoir construire un arbre, placer les probabilités sur les branches, multiplier les probabilités le long d’un chemin, puis additionner les probabilités des chemins favorables pour calculer la probabilité d’un événement composé.

2. Définition

Définition : Une expérience aléatoire à deux étapes est une expérience dans laquelle le résultat dépend de deux actions successives. Un arbre de dénombrement représente toutes les possibilités de ces deux étapes. Lorsqu’on inscrit une probabilité sur chaque branche, on parle d’arbre pondéré.

Dans un arbre, on part d’un point de départ, puis on trace les branches correspondant aux issues possibles de la première étape. À partir de chacune de ces branches, on trace ensuite les branches correspondant aux issues possibles de la deuxième étape.

Un chemin est une suite de branches allant du départ jusqu’à une issue finale. Il faut retenir : un chemin = une issue composée. Par exemple, dans un lancer de deux pièces, le chemin « pile puis face » est une issue composée.

Dans un arbre pondéré, une branche porte la probabilité de l’événement représenté à cette étape. Si la deuxième étape dépend du résultat de la première, les probabilités de la deuxième étape peuvent changer selon le nœud où l’on se trouve.

Une règle essentielle est la suivante : la somme des probabilités au départ d’un même nœud vaut 1. C’est une vérification indispensable. Si, depuis un nœud, les seules possibilités sont R et B, alors P(R) + P(B) = 1.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin. La probabilité d’un événement composé est la somme des probabilités des chemins favorables à cet événement.

On retient les deux phrases-clés suivantes :

• Produit des probabilités : P(A puis B) = P(A) × P(B après A).
• Somme des chemins : P(événement) = somme des probabilités des chemins favorables.

Si une expérience comporte deux étapes, par exemple A à la première étape puis B à la deuxième, alors la probabilité du chemin « A puis B » se calcule en multipliant la probabilité de A par la probabilité de B après A. On écrit : P(A puis B) = P(A) × P(B après A).

Si un événement peut se produire de plusieurs manières différentes, on additionne les probabilités des chemins qui le réalisent. Par exemple, l’événement « obtenir une seule fois pile en deux lancers » correspond aux chemins « pile puis face » et « face puis pile ». Ces deux chemins ne peuvent pas se produire en même temps : ils sont incompatibles. On peut donc additionner leurs probabilités.

Enfin, une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1. Elle peut aussi s’écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : 1/4 = 0,25 = 25 %.

4. Démonstration

Pour comprendre pourquoi on multiplie le long d’un chemin, prenons une expérience simple : on lance une pièce équilibrée, puis on lance un dé équilibré à 6 faces. La probabilité d’obtenir pile au premier lancer est 1/2. Après cela, la probabilité d’obtenir 4 au dé est 1/6.

La première étape a 2 issues équiprobables : pile ou face. Pour chacune de ces issues, la deuxième étape a 6 issues équiprobables : 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Au total, il y a donc 2 × 6 = 12 issues composées équiprobables.

L’issue « pile puis 4 » est une seule issue parmi ces 12 issues possibles. Sa probabilité est donc 1/12. Or 1/2 × 1/6 = 1/12. Cela explique la règle du produit : pour un chemin, on multiplie les probabilités des branches.

Pour comprendre pourquoi on additionne plusieurs chemins, considérons l’événement « obtenir pile puis un nombre pair ». Les chemins favorables sont : pile puis 2, pile puis 4, pile puis 6. Chacun a pour probabilité 1/12. Comme ces chemins sont distincts et ne peuvent pas se produire simultanément, on additionne : 1/12 + 1/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4.

On peut aussi calculer directement : P(pile puis pair) = P(pile) × P(pair) = 1/2 × 3/6 = 3/12 = 1/4. Les deux raisonnements donnent le même résultat. L’arbre permet donc de visualiser les chemins et de justifier les calculs.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les deux étapes. Je lis attentivement l’énoncé et je distingue la première action de la deuxième action : premier tirage, deuxième tirage ; premier lancer, deuxième lancer ; premier choix, deuxième choix.
2. Je liste les issues possibles. Pour chaque étape, je note les résultats possibles. Il peut s’agir de couleurs, de nombres, de réponses, de cartes, de secteurs d’une roue, etc.
3. Je trace l’arbre. Je pars d’un point de départ. Je trace les branches de la première étape, puis, à partir de chaque branche, les branches de la deuxième étape.
4. J’inscris les probabilités sur les branches. Je fais attention au cas avec remise ou sans remise. Avec remise, les probabilités de la deuxième étape restent souvent les mêmes. Sans remise, elles peuvent changer.
5. Je vérifie chaque nœud. À partir d’un même nœud, la somme des probabilités doit être égale à 1. C’est la vérification de base d’un arbre pondéré.
6. Je calcule les probabilités des chemins. Pour chaque chemin utile, je multiplie les probabilités des branches : P(A puis B) = P(A) × P(B après A).
7. Je repère les chemins favorables. Si l’événement demandé peut être obtenu par plusieurs chemins, je les surligne ou je les entoure.
8. J’additionne les chemins favorables. La probabilité de l’événement est la somme des probabilités de ces chemins.
9. Je conclus clairement. J’écris une phrase-réponse et je vérifie que le résultat est compris entre 0 et 1.

La routine à mémoriser est : Je repère / J’applique / Je vérifie. 🔎 Je repère les étapes ; ✍️ j’applique les règles de l’arbre ; ✅ je vérifie les sommes aux nœuds et la cohérence du résultat.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On lance deux fois une pièce équilibrée. On veut calculer la probabilité d’obtenir « pile puis face ».

Première étape : premier lancer. Les issues sont Pile, notée P, et Face, notée F. Comme la pièce est équilibrée, P(P) = 1/2 et P(F) = 1/2.

Deuxième étape : deuxième lancer. Les issues sont encore P et F, avec les mêmes probabilités : 1/2 et 1/2. Le deuxième lancer ne dépend pas du premier.

L’arbre possède donc quatre chemins : P puis P, P puis F, F puis P, F puis F. Chaque chemin a pour probabilité 1/2 × 1/2 = 1/4.

Le chemin demandé est « P puis F ». Sa probabilité est :

P(P puis F) = P(P) × P(F après P) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

La probabilité d’obtenir « pile puis face » est donc 1/4, c’est-à-dire 0,25 ou 25 %.

Vérification : la somme des probabilités des quatre chemins vaut 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1. L’arbre est cohérent.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On lance deux fois une pièce équilibrée. On sait que la probabilité d’un événement est 1/2. L’événement est : « obtenir deux résultats différents ». Retrouvons les chemins qui correspondent à cet événement.

Les quatre chemins possibles sont :

• P puis P, de probabilité 1/4 ;
• P puis F, de probabilité 1/4 ;
• F puis P, de probabilité 1/4 ;
• F puis F, de probabilité 1/4.

Obtenir deux résultats différents signifie que l’on a une fois Pile et une fois Face. Les chemins favorables sont donc « P puis F » et « F puis P ».

On additionne les probabilités des chemins favorables :

P(résultats différents) = P(P puis F) + P(F puis P) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2.

On retrouve bien la probabilité annoncée. Cet exemple montre qu’un événement peut correspondre à plusieurs chemins. Il ne faut pas se contenter d’un seul chemin si l’énoncé demande un événement plus large.

On remarque aussi la différence entre les mots « puis » et « et ». L’expression « P puis F » désigne un ordre précis. L’expression « un P et un F » peut désigner deux ordres possibles : P puis F ou F puis P.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, puis une deuxième boule sans remettre la première dans le sac. On veut calculer la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes.

Première étape : il y a 5 boules au total. La probabilité de tirer une rouge est 3/5. La probabilité de tirer une bleue est 2/5. On vérifie : 3/5 + 2/5 = 5/5 = 1.

Deuxième étape : les probabilités dépendent du premier tirage, car il s’agit d’un tirage sans remise.

Si la première boule est rouge, il reste 2 rouges et 2 bleues, soit 4 boules. Alors P(R après R) = 2/4 = 1/2 et P(B après R) = 2/4 = 1/2.

Si la première boule est bleue, il reste 3 rouges et 1 bleue, soit 4 boules. Alors P(R après B) = 3/4 et P(B après B) = 1/4.

L’événement « deux couleurs différentes » correspond à deux chemins : R puis B, ou B puis R.

Calcul du premier chemin :

P(R puis B) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10.

Calcul du deuxième chemin :

P(B puis R) = 2/5 × 3/4 = 6/20 = 3/10.

On additionne les chemins favorables :

P(couleurs différentes) = 3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5.

La probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes est donc 3/5, c’est-à-dire 0,6 ou 60 %. Le résultat est bien compris entre 0 et 1.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Additionner les probabilités sur un chemin, par exemple écrire 3/5 + 2/4. — À faire : Multiplier le long d’un chemin : 3/5 × 2/4.
• Erreur : Oublier que la somme des branches issues d’un même nœud doit valoir 1. — À faire : Vérifier chaque nœud avant de calculer les chemins.
• Erreur : Garder les mêmes probabilités dans un tirage sans remise. — À faire : Écrire le contenu du sac après le premier tirage, puis recalculer les probabilités.
• Erreur : Oublier un chemin favorable. — À faire : Relire l’événement demandé et surligner tous les chemins qui le réalisent.
• Erreur : Obtenir une probabilité supérieure à 1. — À faire : Revoir les additions, les produits et vérifier que la réponse finale est comprise entre 0 et 1.
• Erreur : Confondre « A puis B » et « A et B ». — À faire : Se demander si l’ordre est imposé. Si l’ordre n’est pas imposé, il peut y avoir plusieurs chemins.

10. À retenir

• Une expérience à deux étapes se représente efficacement avec un arbre.
• Un chemin complet de l’arbre correspond à une issue composée.
• Dans un arbre pondéré, chaque branche porte une probabilité.
• La somme des probabilités qui partent d’un même nœud vaut 1.
• On multiplie les probabilités le long d’un chemin : P(A puis B) = P(A) × P(B après A).
• On additionne les probabilités des chemins favorables pour calculer la probabilité d’un événement composé.
• Avec remise, la composition de l’ensemble de départ ne change pas.
• Sans remise, la composition change après la première étape ; il faut donc adapter les probabilités de la deuxième étape.
• Une probabilité finale doit toujours être comprise entre 0 et 1.
• Une probabilité peut être donnée sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : Probabilités, arbre de dénombrement et expériences à 2 étapes.

Dans les exercices d’application, on pourra rencontrer plusieurs types de tâches : compléter un tableau de chemins, choisir les bonnes phrases décrivant une expérience, recomposer un arbre à partir d’un énoncé, coder le calcul d’une probabilité, ou résoudre une situation de tirage sans remise.

Exemples de consignes possibles : construire un arbre pour deux lancers successifs ; calculer la probabilité d’un chemin précis ; trouver tous les chemins correspondant à un événement ; comparer un tirage avec remise et un tirage sans remise ; vérifier qu’un arbre pondéré est correctement complété.

Un barème possible sur 10 points est le suivant : arbre correctement construit avec les deux étapes visibles, 2 pts ; probabilités placées correctement sur les branches, 2 pts ; produits corrects le long des chemins, 2 pts ; somme correcte des chemins favorables pour un événement composé, 2 pts ; résultat simplifié et vérifié entre 0 et 1, 2 pts.

Pour réussir, il est conseillé de toujours commencer par écrire les deux étapes de l’expérience, puis de construire l’arbre avant de faire les calculs. L’arbre n’est pas seulement un dessin : c’est un outil de raisonnement.

12. Questions fréquentes