Narration de recherche et problèmes ouverts

1. Introduction et problématique

En classe de 3e, et en particulier dans une épreuve de type Brevet, on ne demande pas seulement de trouver un résultat numérique. On attend aussi que l’élève montre comment il a cherché, pourquoi il a choisi une méthode, comment il a contrôlé ses résultats et comment il répond finalement à la question posée. C’est l’objectif d’une narration de recherche : transformer une recherche parfois hésitante en un écrit clair, organisé et mathématiquement justifié.

La situation-problème est la suivante : face à un problème ouvert, c’est-à-dire un problème où la méthode n’est pas indiquée à l’avance, comment rédiger une réponse qui permette au correcteur de comprendre la démarche ? Par exemple, si un énoncé demande de déterminer la solution la plus économique, de prouver qu’une figure a une propriété ou de choisir une stratégie, il ne suffit pas d’écrire « la réponse est 42 ». Il faut expliquer les essais, les calculs, les comparaisons et les conclusions intermédiaires.

Une bonne narration suit une progression simple : question → essais → observations → justification → conclusion. On peut retenir la phrase : je teste, je compare, je prouve, je conclus. Le raisonnement doit toujours associer une donnée utile, un calcul ou un argument, puis un résultat interprété. Cette compétence fait partie des attendus du cycle 4 : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer.

2. Définition

Définition : Une narration de recherche est un écrit mathématique qui raconte et organise la démarche utilisée pour résoudre un problème. Elle présente la compréhension de l’énoncé, les données utiles, les essais, les calculs, les schémas, les erreurs utiles, les changements de stratégie, les justifications et la conclusion finale.

Une narration de recherche n’est pas un brouillon recopié tel quel. Le brouillon sert à chercher librement, parfois dans le désordre. La narration, elle, reprend les idées importantes dans un ordre logique. Elle doit être lisible par quelqu’un qui ne connaît pas la recherche de l’élève.

Un problème ouvert est un problème pour lequel plusieurs démarches peuvent être possibles. Il peut se résoudre par un tableau, un schéma, une équation, une comparaison, une estimation, un raisonnement par essais successifs ou une démonstration. L’important est de montrer pourquoi la démarche choisie permet d’avancer vers la réponse.

Pour se repérer, on peut utiliser le mot CHERCHE :

• C : Comprendre la question et entourer les données utiles.
• H : Hypothèse, essai ou schéma pour démarrer.
• E : Effectuer les calculs ou les tests.
• R : Relier les résultats à l’énoncé.
• C : Contrôler si la réponse est cohérente.
• H : Hiérarchiser les idées dans l’ordre.
• E : Écrire une conclusion complète.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans une narration de recherche, une réponse est mathématiquement recevable si elle est reliée aux données de l’énoncé par une chaîne d’arguments justifiés, si les calculs sont exacts ou contrôlés, et si la conclusion répond précisément à la question posée.

Ce principe peut être compris comme une règle de validation du raisonnement. En mathématiques, un résultat n’est pas accepté uniquement parce qu’il semble vrai : il doit être justifié. Une valeur trouvée par hasard peut être correcte, mais elle ne prouve pas que la démarche est maîtrisée. À l’inverse, une démarche claire peut être valorisée même si une erreur de calcul empêche d’obtenir le résultat final exact.

Une narration efficace respecte plusieurs propriétés :

• La cohérence : chaque étape doit suivre logiquement la précédente.
• La traçabilité : le lecteur doit comprendre d’où viennent les nombres, les égalités, les mesures ou les choix.
• L’interprétation : après un calcul, il faut expliquer ce que le résultat signifie dans le contexte.
• La vérification : le résultat doit être contrôlé : ordre de grandeur, substitution dans l’énoncé, comparaison, unité, cohérence avec les contraintes.
• La conclusion : elle doit répondre exactement à la question, avec une phrase complète.

On peut retenir la structure minimale d’un raisonnement : donnée utile + calcul ou argument + résultat interprété. Par exemple : « Le groupe compte 126 élèves et un minibus contient 18 places. Je calcule 126 ÷ 18 = 7. Cela signifie que 7 minibus suffisent exactement pour transporter tous les élèves. »

4. Démonstration

Montrons pourquoi une narration structurée rend un raisonnement plus solide. Supposons qu’un élève écrive seulement : « Il faut prendre 7 minibus. » Cette réponse donne une solution possible, mais elle ne permet pas de savoir si l’élève a vérifié les contraintes : nombre de places, coût, comparaison avec d’autres choix, absence de places manquantes.

Si l’élève écrit au contraire : « Il y a 126 élèves. Un minibus contient 18 places, donc 126 ÷ 18 = 7. Sept minibus transportent exactement 126 élèves. Le coût est 7 × 160 = 1 120 €. Je compare avec 3 cars : 3 × 430 = 1 290 €. Je compare aussi avec 2 cars et 2 minibus : 2 × 430 + 2 × 160 = 1 180 €. La solution avec 7 minibus est moins chère. Donc le club doit réserver 7 minibus pour un coût de 1 120 €. » Le lecteur peut suivre l’ensemble du raisonnement.

Cette deuxième rédaction est plus convaincante pour trois raisons. D’abord, elle utilise les données utiles de l’énoncé. Ensuite, elle effectue des calculs identifiables et les interprète. Enfin, elle justifie le choix final par comparaison. Le résultat n’est donc pas isolé : il est relié à une démarche.

Une narration de recherche ressemble ainsi à une démonstration adaptée à un problème ouvert. Elle n’est pas forcément parfaitement linéaire dès le départ, car on a le droit d’essayer. Mais, dans la version rédigée, les essais doivent être utiles et compréhensibles. Une piste qui ne marche pas peut être conservée si elle permet d’éliminer une possibilité ou de comprendre pourquoi il faut changer de méthode.

5. Méthode pas à pas

1. Lire l’énoncé deux fois. La première lecture sert à comprendre l’histoire. La deuxième sert à repérer les informations mathématiques : nombres, unités, contraintes, question finale.
2. Reformuler la question. Écrire au brouillon : « Je cherche… ». Cela évite de répondre à côté. Par exemple : « Je cherche la solution la moins chère qui permet de transporter tout le groupe. »
3. Repérer les données utiles. Entourer ou recopier uniquement ce qui servira : prix, longueurs, effectifs, durées, formules, conditions.
4. Choisir un premier essai. Faire un schéma, un tableau, une équation, une estimation ou tester une valeur. Il n’est pas nécessaire que le premier essai soit le bon.
5. Écrire les calculs avec les unités. Utiliser les signes correctement : ×, ÷, ², ³, √, π si nécessaire. Ne pas oublier les unités : cm, m², €, min.
6. Interpréter chaque résultat important. Après un calcul, ajouter une phrase : « Cela signifie que… », « Donc cette possibilité ne convient pas car… », « Cette valeur respecte la contrainte… »
7. Comparer ou vérifier. Dans un problème ouvert, il faut souvent comparer plusieurs solutions. Vérifier aussi que le résultat est possible : pas de nombre négatif de personnes, pas de longueur impossible, pas de coût oublié.
8. Organiser la narration. Ne pas recopier le brouillon dans le désordre. Garder les essais utiles et les présenter dans un ordre logique.
9. Conclure clairement. Terminer par une phrase complète qui répond à la question. Par exemple : « Donc la solution la moins chère est de réserver 7 minibus, pour un coût total de 1 120 €. »

On peut aussi utiliser la routine : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère l’énoncé, les données et la question. J’applique une stratégie en présentant mes essais, mes calculs ou mes schémas. Je vérifie la cohérence du résultat et j’écris une conclusion.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Un rectangle a pour largeur x cm et pour longueur 2x + 3 cm. Son périmètre est 42 cm. Déterminer ses dimensions.

Narration possible : Je cherche la largeur et la longueur du rectangle. Je sais que le périmètre d’un rectangle se calcule avec la formule : 2 × (longueur + largeur). Ici, la largeur vaut x et la longueur vaut 2x + 3. J’écris donc l’équation :

2 × ((2x + 3) + x) = 42.

Je simplifie l’expression entre parenthèses : (2x + 3) + x = 3x + 3. L’équation devient donc :

2 × (3x + 3) = 42, donc 6x + 6 = 42.

Je résous : 6x = 42 − 6, donc 6x = 36, donc x = 36 ÷ 6 = 6.

Cela signifie que la largeur mesure 6 cm. La longueur mesure alors 2 × 6 + 3 = 12 + 3 = 15 cm. Je vérifie le périmètre : 2 × (15 + 6) = 2 × 21 = 42 cm. Le résultat correspond bien à l’énoncé.

Conclusion : Le rectangle mesure 6 cm de largeur et 15 cm de longueur.

Dans cet exemple, la narration est directe : l’équation est clairement liée à la formule du périmètre, chaque calcul est expliqué et la vérification confirme la réponse.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : La somme de trois nombres entiers consécutifs est égale à 75. Retrouver ces trois nombres.

Recherche : Je dois retrouver trois nombres qui se suivent, par exemple 10, 11, 12 ou 24, 25, 26. Une méthode consiste à appeler le nombre du milieu n. Alors le nombre précédent est n − 1 et le nombre suivant est n + 1.

La somme des trois nombres s’écrit :

(n − 1) + n + (n + 1) = 75.

Je simplifie : n − 1 + n + n + 1 = 3n. Les −1 et +1 s’annulent. J’obtiens donc :

3n = 75.

Je divise par 3 : n = 75 ÷ 3 = 25.

Le nombre du milieu est donc 25. Les trois nombres sont 24, 25 et 26. Je vérifie : 24 + 25 + 26 = 75. La condition est respectée.

Conclusion : Les trois nombres entiers consécutifs sont 24, 25 et 26.

Ce cas est dit « inverse » car on part d’une somme connue pour retrouver les nombres de départ. La narration doit expliquer le choix de l’inconnue. Si l’élève écrit seulement « 24, 25, 26 », la réponse est correcte mais le raisonnement n’est pas visible. En rédigeant avec n − 1, n et n + 1, on montre une méthode générale et contrôlable.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Un club organise une sortie pour 126 élèves. Il peut louer des cars de 52 places à 430 € chacun ou des minibus de 18 places à 160 € chacun. Quelle solution permet de transporter tous les élèves au coût le plus faible ?

Narration possible : Je cherche une solution qui respecte deux contraintes : il faut au moins 126 places et il faut payer le moins possible. Je commence par tester plusieurs possibilités dans un tableau, car il y a deux types de véhicules.

Je compare uniquement les solutions possibles. Trois cars coûtent 1 290 €. Deux cars et deux minibus coûtent 1 180 €. Un car et cinq minibus coûtent 1 230 €. Sept minibus coûtent 1 120 €. La solution à 1 120 € est la moins chère parmi celles que j’ai testées et elle donne exactement 126 places.

Conclusion : Le club doit louer 7 minibus. Tous les élèves auront une place et le coût total sera de 1 120 €.

Dans ce problème concret, le tableau aide à organiser la recherche. Une possibilité impossible peut être conservée dans la narration, car elle montre qu’on a vérifié la contrainte du nombre de places.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Donner seulement la réponse finale. — À faire : Rappeler que les points de raisonnement valorisent la démarche, même si le résultat est incomplet.
• Erreur : Écrire les essais sans ordre. — À faire : Utiliser un tableau, une liste chronologique ou des paragraphes courts avant de rédiger.
• Erreur : Présenter des calculs sans lien avec l’énoncé. — À faire : Ajouter après chaque calcul une phrase du type : « Cela signifie que… »
• Erreur : Oublier les unités ou les contraintes. — À faire : Vérifier les unités, les grandeurs et les conditions : prix, longueur, aire, volume, nombre entier, minimum ou maximum.
• Erreur : Absence de conclusion ou conclusion trop vague. — À faire : Terminer par une phrase commençant par « Donc, … » et répondant exactement à la question.
• Erreur : Effacer une piste fausse alors qu’elle est utile. — À faire : Garder un essai non concluant s’il permet d’éliminer une possibilité ou de changer de stratégie.
• Erreur : Confondre brouillon et narration. — À faire : Chercher librement au brouillon, puis réorganiser les idées pour produire un texte clair.

10. À retenir

• Une narration de recherche raconte une démarche mathématique, pas seulement un résultat.
• Un problème ouvert peut se résoudre par plusieurs stratégies : essais, tableau, schéma, équation, calcul, comparaison ou démonstration.
• La structure efficace est : question → essais → observations → justification → conclusion.
• Chaque calcul important doit être interprété dans le contexte de l’énoncé.
• Une piste non concluante peut être utile si elle montre qu’une possibilité a été éliminée.
• La conclusion doit être une phrase complète qui répond précisément à la question posée.
• Au Brevet, la qualité du raisonnement, la clarté de la rédaction et la vérification du résultat peuvent rapporter des points.
• Le mot repère CHERCHE aide à ne rien oublier : Comprendre, Hypothèse, Effectuer, Relier, Contrôler, Hiérarchiser, Écrire.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : narration de recherche et problèmes ouverts en 3e. Le document propose des activités progressives pour s’entraîner à rédiger un raisonnement complet en vue du Brevet.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Classer les éléments d’une narration : remettre dans les bonnes catégories les données, les essais, les calculs, les vérifications et la conclusion.
• Améliorer une rédaction : compléter une copie trop courte en ajoutant des justifications et des phrases d’interprétation.
• Remettre une narration dans l’ordre : reconstruire un raisonnement logique à partir d’étapes mélangées.
• Rédiger à partir d’un brouillon : transformer des calculs désordonnés en narration claire.
• Résoudre un problème ouvert type Brevet : choisir une stratégie, comparer plusieurs possibilités et conclure.

Barème possible sur 10 points :

12. Questions fréquentes