Fractions irréductibles et simplification par PGCD

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une classe de 3e, on prépare une affiche pour une journée sportive. Une équipe a marqué 30 points sur 42 possibles lors d’une série d’épreuves. Pour comparer facilement ce résultat avec celui d’autres équipes, on souhaite écrire la fraction 30/42 sous une forme plus simple, sans changer sa valeur. On peut remarquer que 30 et 42 sont tous les deux divisibles par 2 : 30/42 = 15/21. Mais 15 et 21 sont encore divisibles par 3 : 15/21 = 5/7. Cette fois, 5 et 7 n’ont pas de diviseur commun autre que 1. On dit que 5/7 est une fraction irréductible.

La question essentielle est donc : comment rendre une fraction irréductible de façon sûre et rapide ? En 3e, on utilise un outil de divisibilité très efficace : le PGCD, c’est-à-dire le plus grand diviseur commun. Le PGCD de deux entiers permet de trouver en une seule étape le plus grand nombre par lequel on peut diviser à la fois le numérateur et le dénominateur. Ainsi, pour 30/42, on calcule PGCD(30 ; 42) = 6, puis on divise 30 et 42 par 6 : 30/42 = 5/7.

L’objectif de cette leçon est d’apprendre à rendre une fraction irréductible en utilisant le PGCD. On verra aussi comment vérifier que la fraction obtenue est bien l’écriture minimale, comment gérer les signes, et quelles erreurs éviter.

2. Définition

Définition : Une fraction irréductible est une fraction que l’on ne peut plus simplifier. Cela signifie que son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux, c’est-à-dire que leur seul diviseur commun positif est 1. Autrement dit, une fraction a/b, avec b ≠ 0, est irréductible lorsque PGCD(a ; b) = 1.

Le mot repère est irréductible, que l’on peut découper ainsi : ir-ré-duc-ti-ble. Dans le langage courant, « irréductible » signifie que l’on ne peut pas réduire davantage. En mathématiques, cela veut dire que la fraction ne peut plus être simplifiée par un diviseur commun.

Par exemple, la fraction 30/42 n’est pas irréductible car PGCD(30 ; 42) = 6. On divise 30 et 42 par 6 : 30/42 = 5/7. Comme 5 et 7 sont premiers entre eux, la fraction 5/7 est irréductible.

Attention : une fraction irréductible n’est pas forcément une fraction avec de petits nombres au hasard. C’est une fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que 1. Par exemple, 17/29 est irréductible, mais 18/30 ne l’est pas, car 18 et 30 sont divisibles par 6.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Soient a et b deux entiers avec b ≠ 0. Si d = PGCD(a ; b), alors la fraction a/b se simplifie directement en fraction irréductible par la formule : a/b = (a ÷ d)/(b ÷ d). Les deux nombres a ÷ d et b ÷ d sont alors premiers entre eux.

Cette propriété est fondamentale. Elle signifie que le PGCD permet d’obtenir directement l’écriture minimale d’une fraction. On n’a pas besoin de simplifier en plusieurs étapes si l’on connaît le PGCD du numérateur et du dénominateur.

Par exemple, pour simplifier 84/126, on cherche PGCD(84 ; 126). On trouve 42. Alors : 84/126 = (84 ÷ 42)/(126 ÷ 42) = 2/3. Comme PGCD(2 ; 3) = 1, la fraction 2/3 est irréductible.

On utilise aussi la propriété suivante : si l’on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, alors on obtient une fraction égale. En notation générale : a/b = (a ÷ k)/(b ÷ k), à condition que k soit un diviseur commun de a et b, et que k ≠ 0.

Enfin, deux entiers sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1. Cela ne signifie pas que les deux nombres sont forcément des nombres premiers. Par exemple, 8 et 15 ne sont pas des nombres premiers, mais ils sont premiers entre eux car PGCD(8 ; 15) = 1.

4. Démonstration

On veut comprendre pourquoi le fait de diviser par le PGCD donne directement une fraction irréductible. Prenons deux entiers a et b, avec b ≠ 0. On note d = PGCD(a ; b). Cela signifie que d est le plus grand diviseur commun de a et de b.

Comme d divise a, il existe un entier a' tel que a = d × a'. Comme d divise b, il existe un entier b' tel que b = d × b'. Alors la fraction a/b peut s’écrire : a/b = (d × a')/(d × b'). Comme d est non nul, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par d, ce qui donne a/b = a'/b'.

Il reste à montrer que a' et b' sont premiers entre eux. Supposons qu’ils aient un diviseur commun c supérieur à 1. Alors c divise a' et c divise b'. Donc d × c divise d × a', c’est-à-dire a, et d × c divise d × b', c’est-à-dire b. Cela voudrait dire que d × c est un diviseur commun de a et b plus grand que d, puisque c > 1. C’est impossible, car d est le plus grand diviseur commun de a et b.

Donc a' et b' n’ont pas de diviseur commun autre que 1. Leur PGCD vaut 1. La fraction a'/b' est donc irréductible. Cette démonstration justifie la méthode utilisée en 3e : pour simplifier une fraction au maximum, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : j’identifie le numérateur et le dénominateur. Dans la fraction 30/42, le numérateur est 30 et le dénominateur est 42. Je cherche ensuite leur PGCD : PGCD(30 ; 42).
2. Je calcule le PGCD : je peux utiliser la liste des diviseurs, la décomposition en facteurs premiers ou l’algorithme d’Euclide. Par exemple, les diviseurs communs de 30 et 42 sont 1, 2, 3 et 6. Le plus grand est 6, donc PGCD(30 ; 42) = 6.
3. J’applique : je divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD. On obtient : 30/42 = (30 ÷ 6)/(42 ÷ 6) = 5/7.
4. Je vérifie : je contrôle que le PGCD des deux nouveaux nombres vaut 1. Ici, PGCD(5 ; 7) = 1, donc 5 et 7 sont premiers entre eux.
5. Je conclus : la fraction irréductible égale à 30/42 est 5/7. C’est l’écriture minimale.

La routine à retenir est : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le numérateur, le dénominateur et leur PGCD. J’applique la simplification en divisant les deux termes par le même nombre. Je vérifie que le résultat est irréductible.

Pour les fractions négatives, on simplifie de la même manière les valeurs positives, puis on place le signe. Par exemple : -42/56 = -(42/56). Or PGCD(42 ; 56) = 14, donc -42/56 = -(3/4) = -3/4.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut rendre irréductible la fraction 72/90.

Étape 1 : identifier les nombres. Le numérateur est 72 et le dénominateur est 90. On cherche PGCD(72 ; 90).

Étape 2 : calculer le PGCD. On peut utiliser l’algorithme d’Euclide : 90 = 72 × 1 + 18, puis 72 = 18 × 4 + 0. Le dernier reste non nul est 18, donc PGCD(72 ; 90) = 18.

Étape 3 : diviser par le PGCD. On divise le numérateur et le dénominateur par 18 : 72/90 = (72 ÷ 18)/(90 ÷ 18) = 4/5.

Étape 4 : vérifier. PGCD(4 ; 5) = 1. Les nombres 4 et 5 sont premiers entre eux. La fraction 4/5 est donc irréductible.

Conclusion : l’écriture irréductible de 72/90 est 4/5.

Remarquons que l’on aurait pu simplifier en plusieurs étapes : 72/90 = 36/45 en divisant par 2, puis 36/45 = 4/5 en divisant par 9. Cette méthode fonctionne, mais elle demande plusieurs simplifications. En divisant directement par le PGCD, on arrive immédiatement à l’écriture minimale.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Dans un cas inverse, on peut connaître une fraction simplifiée et vouloir retrouver une fraction équivalente, ou bien vérifier si une fraction donnée correspond bien à une écriture minimale. Prenons la fraction 9/14. Est-elle irréductible ?

Étape 1 : chercher le PGCD. Les diviseurs de 9 sont 1, 3 et 9. Les diviseurs de 14 sont 1, 2, 7 et 14. Le seul diviseur commun est 1. Donc PGCD(9 ; 14) = 1.

Étape 2 : conclure. Comme le PGCD du numérateur et du dénominateur vaut 1, les nombres 9 et 14 sont premiers entre eux. La fraction 9/14 est donc irréductible.

On peut aussi construire une fraction équivalente à 9/14 qui n’est pas irréductible. Par exemple, en multipliant le numérateur et le dénominateur par 5, on obtient : 9/14 = (9 × 5)/(14 × 5) = 45/70. La fraction 45/70 est égale à 9/14, mais elle n’est pas irréductible, car PGCD(45 ; 70) = 5.

Si l’on part de 45/70 et que l’on veut revenir à l’écriture minimale, on divise par 5 : 45/70 = (45 ÷ 5)/(70 ÷ 5) = 9/14. Ce type de raisonnement montre que plusieurs fractions peuvent représenter le même nombre, mais qu’une seule écriture est irréductible avec un dénominateur positif.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Lors d’un tournoi, une joueuse réussit 48 tirs sur 64. On veut exprimer sa réussite sous forme d’une fraction irréductible.

La fraction correspondant à la situation est 48/64. Le numérateur 48 représente le nombre de tirs réussis. Le dénominateur 64 représente le nombre total de tirs. On cherche maintenant à simplifier cette fraction sans changer la proportion.

On calcule PGCD(48 ; 64). Avec l’algorithme d’Euclide : 64 = 48 × 1 + 16, puis 48 = 16 × 3 + 0. Donc PGCD(48 ; 64) = 16.

On divise alors le numérateur et le dénominateur par 16 : 48/64 = (48 ÷ 16)/(64 ÷ 16) = 3/4.

On vérifie : PGCD(3 ; 4) = 1. La fraction 3/4 est donc irréductible. Cela signifie que la joueuse a réussi les trois quarts de ses tirs.

On peut aussi interpréter ce résultat en pourcentage : 3/4 = 0,75 = 75 %. La simplification par PGCD a donc permis d’obtenir une écriture plus lisible, plus facile à comparer et plus utile pour interpréter la situation. Si une autre joueuse réussit 15 tirs sur 20, sa fraction est 15/20. Comme PGCD(15 ; 20) = 5, on obtient 15/20 = 3/4. Les deux joueuses ont donc le même taux de réussite.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : diviser seulement le numérateur, par exemple écrire 30/42 = 5/42. — À faire : diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul : 30/42 = (30 ÷ 6)/(42 ÷ 6) = 5/7.
• Erreur : simplifier par un diviseur commun, mais pas par le PGCD, puis croire que la fraction est forcément irréductible. — À faire : vérifier le PGCD de la fraction obtenue et poursuivre si nécessaire, ou diviser directement par le PGCD.
• Erreur : annoncer qu’une fraction est irréductible alors que le PGCD est supérieur à 1. — À faire : utiliser une méthode fiable pour calculer le PGCD : liste de diviseurs, décomposition en facteurs premiers ou algorithme d’Euclide.
• Erreur : perdre le signe négatif pendant la simplification, par exemple transformer -42/56 en 3/4. — À faire : écrire le signe devant la fraction dès le départ : -42/56 = -(42/56) = -3/4.
• Erreur : confondre PGCD et PPCM. — À faire : retenir que pour simplifier une fraction, on cherche un diviseur commun, donc le PGCD. Le PPCM sert à trouver un multiple commun, par exemple pour additionner certaines fractions.

10. À retenir

• Une fraction irréductible est une fraction que l’on ne peut plus simplifier.
• Une fraction a/b est irréductible lorsque PGCD(a ; b) = 1, avec b ≠ 0.
• Deux nombres dont le PGCD vaut 1 sont dits premiers entre eux.
• Pour simplifier une fraction au maximum, on calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur.
• Si d = PGCD(a ; b), alors a/b = (a ÷ d)/(b ÷ d).
• Diviser par le PGCD donne directement l’écriture minimale de la fraction.
• On doit toujours diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul pour conserver une fraction égale.
• Pour une fraction négative, on simplifie les valeurs positives puis on replace le signe : -a/b = -(a/b).
• La vérification finale consiste à recalculer le PGCD du nouveau numérateur et du nouveau dénominateur : il doit être égal à 1.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur les fractions irréductibles et la simplification par PGCD.

Les exercices proposés permettent de s’entraîner progressivement. On commence par compléter un tableau de simplification : pour chaque fraction, il faut trouver le numérateur, le dénominateur, le PGCD, puis la fraction irréductible. Ensuite, on apprend à reconnaître une fraction irréductible en vérifiant si le PGCD vaut 1.

D’autres exercices demandent d’associer une fraction, son PGCD et son écriture minimale. Par exemple, il faut relier 54/72 à PGCD(54 ; 72) = 18 et à la fraction irréductible 3/4. On trouve aussi des exercices où il faut écrire directement la fraction irréductible en utilisant l’algorithme d’Euclide ou la décomposition en facteurs premiers.

Enfin, des petites situations concrètes permettent de donner du sens : réussite à un test, proportion d’élèves, partage d’une quantité, score dans un jeu, comparaison de performances. Le barème peut valoriser plusieurs compétences : calcul correct du PGCD sur 4 points, division correcte du numérateur et du dénominateur sur 4 points, fraction finale irréductible sur 4 points, gestion correcte des signes sur 2 points, justification claire et vérification sur 2 points.

12. Questions fréquentes