Pythagore en 3e : application dans l'espace et problèmes ouverts

1. Introduction et problématique

En classe de 3e, le théorème de Pythagore ne sert plus seulement à calculer une longueur dans un triangle dessiné à plat. On l’utilise aussi pour résoudre des problèmes de géométrie dans l’espace : diagonale d’un cube, diagonale d’un pavé droit, arête latérale d’une pyramide régulière, hauteur inconnue, distance entre deux sommets d’un solide. L’enjeu est de savoir reconnaître, à l’intérieur d’une figure en trois dimensions, le triangle rectangle qui permet d’appliquer le théorème.

Situation-problème : on fabrique une boîte cubique d’arête 6 cm. On veut placer une tige droite qui relie deux sommets opposés du cube, en passant par l’intérieur. Quelle longueur minimale doit avoir cette tige ? Une première idée serait d’additionner les trois dimensions : 6 + 6 + 6 = 18 cm. Mais cette longueur correspondrait à un trajet qui suit les arêtes, pas à une ligne droite. Une autre idée serait d’appliquer directement une formule. En 3e, on cherche surtout à comprendre : on calcule d’abord la diagonale d’une face, puis on utilise cette diagonale pour calculer la diagonale de l’espace.

Cette leçon a donc pour objectif d’appliquer Pythagore dans des configurations 3D, notamment pour calculer la diagonale d’un cube et l’arête d’une pyramide régulière. Les mots-clés à maîtriser sont : triangle rectangle, hypoténuse, diagonale de face, diagonale de l’espace, hauteur, base, centre de la base, arête latérale et valeur exacte.

2. Définition

Définition : Dans un solide, appliquer le théorème de Pythagore consiste à repérer un triangle rectangle contenu dans une face ou dans une coupe du solide, puis à utiliser la relation a² + b² = c², où c désigne l’hypoténuse, c’est-à-dire le côté opposé à l’angle droit.

Une diagonale de face est un segment qui relie deux sommets opposés d’une même face. Par exemple, dans un cube, chaque face est un carré : la diagonale d’une face est donc la diagonale d’un carré.

Une diagonale de l’espace relie deux sommets opposés du solide en traversant l’intérieur. Elle n’est pas contenue dans une seule face. Dans un cube, elle joint par exemple le sommet avant-bas-gauche au sommet arrière-haut-droit.

Dans une pyramide régulière à base carrée, le sommet est situé à la verticale du centre de la base. La hauteur de la pyramide est perpendiculaire au plan de la base. Pour calculer une arête latérale, on utilise souvent le triangle formé par la hauteur, la demi-diagonale de la base et l’arête latérale.

Mot repère : Cube. Dans un cube d’arête 6 cm, la diagonale d’une face vaut √(6² + 6²) = √72 = 6√2 cm, puis la diagonale de l’espace vaut √((6√2)² + 6²) = √108 = 6√3 cm.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : a² + b² = c².

Le théorème de Pythagore s’applique uniquement dans un triangle rectangle. En géométrie dans l’espace, il faut donc commencer par justifier l’existence de ce triangle rectangle. On peut le trouver dans une face du solide, comme une face carrée ou rectangulaire, ou dans une coupe du solide, par exemple un triangle qui contient la hauteur d’une pyramide.

Dans un cube d’arête a, la diagonale d’une face se calcule dans un carré de côté a. Elle vaut √(a² + a²), soit √(2a²), c’est-à-dire a√2. Ensuite, la diagonale de l’espace est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont la diagonale de face a√2 et une arête a. Elle vaut donc √((a√2)² + a²) = √(2a² + a²) = √(3a²) = a√3.

Dans un pavé droit de longueur L, largeur l et hauteur h, on peut obtenir la diagonale de l’espace D par deux étapes : d’abord la diagonale d de la base, avec d² = L² + l² ; puis D² = d² + h². On en déduit D² = L² + l² + h². Cette formule est utile, mais elle doit être comprise comme deux applications successives de Pythagore.

Dans une pyramide régulière à base carrée, si O est le centre de la base, S le sommet et A un sommet de la base, alors le triangle SOA est rectangle en O. On a donc SA² = SO² + OA². Ici, SO est la hauteur, OA est la moitié de la diagonale du carré de base, et SA est l’arête latérale.

4. Démonstration

On démontre la formule de la diagonale d’un cube en s’appuyant sur deux triangles rectangles. Soit un cube d’arête a. On choisit une face carrée ABCD et on trace sa diagonale AC. Le triangle ABC est rectangle en B, car deux côtés consécutifs d’un carré sont perpendiculaires. D’après le théorème de Pythagore, AC² = AB² + BC². Comme AB = a et BC = a, on obtient AC² = a² + a² = 2a². Donc AC = √(2a²) = a√2.

On considère maintenant la diagonale de l’espace, par exemple le segment reliant A à un sommet E situé au-dessus du sommet C. Le triangle ACE est rectangle en C : le segment CE est une arête verticale du cube, perpendiculaire au plan de la face ABCD, donc perpendiculaire à AC qui est dans ce plan. On applique encore Pythagore : AE² = AC² + CE². Or AC² = 2a² et CE = a, donc AE² = 2a² + a² = 3a². Ainsi AE = √(3a²) = a√3.

Cette démonstration est importante car elle évite une erreur fréquente : utiliser les trois dimensions dans une seule égalité sans expliquer pourquoi. En 3e, on attend une rédaction qui montre les deux triangles rectangles successifs. La géométrie dans l’espace demande de voir le solide comme un assemblage de triangles rectangles bien choisis.

Pour une pyramide régulière à base carrée, la justification est analogue. La hauteur issue du sommet S arrive au centre O du carré de base. Comme cette hauteur est perpendiculaire au plan de la base, elle est perpendiculaire à tout segment de la base passant par O, en particulier OA. Le triangle SOA est donc rectangle en O. On peut alors écrire SA² = SO² + OA² pour calculer l’arête latérale, ou SO² = SA² − OA² pour calculer la hauteur.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère le solide. Je détermine s’il s’agit d’un cube, d’un pavé droit, d’une pyramide régulière ou d’une autre figure. Je lis attentivement les longueurs données et les unités.
2. Je cherche le triangle rectangle utile. Dans un cube ou un pavé, je commence souvent par une face rectangulaire. Dans une pyramide régulière, je cherche le triangle formé par le sommet, le centre de la base et un sommet de la base.
3. Je nomme les points. Une figure bien nommée permet une rédaction claire : par exemple ABCD pour la base d’un cube, S pour le sommet d’une pyramide et O pour le centre de la base.
4. Je repère l’angle droit. Dans une face carrée ou rectangulaire, deux côtés consécutifs sont perpendiculaires. Dans une pyramide régulière, la hauteur est perpendiculaire au plan de la base.
5. Je nomme l’hypoténuse. C’est le côté opposé à l’angle droit. Il doit être le plus long côté du triangle rectangle.
6. J’écris l’égalité de Pythagore. Si le triangle est rectangle et si c est l’hypoténuse, alors a² + b² = c². Je n’additionne jamais les longueurs simples : j’additionne les carrés.
7. Je remplace par les valeurs connues. Je garde les valeurs exactes avec les racines carrées lorsque c’est possible, afin d’éviter les arrondis trop précoces.
8. Je calcule la longueur cherchée. Si je cherche l’hypoténuse, j’additionne les carrés puis je prends la racine carrée. Si je cherche un côté de l’angle droit, je soustrais les carrés puis je prends la racine carrée.
9. Je vérifie. L’hypoténuse doit être la plus grande longueur. L’unité doit être présente. L’arrondi doit être cohérent avec la situation.

Routine à mémoriser : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le triangle rectangle, j’applique l’égalité de Pythagore, puis je vérifie l’hypoténuse, l’unité et l’arrondi.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Un cube a pour arête 10 cm. Calculer la longueur de sa diagonale de l’espace. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au millimètre près.

Étape 1 : calculer la diagonale d’une face. On considère une face carrée de côté 10 cm. Sa diagonale d est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 10 cm. D’après le théorème de Pythagore, d² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200. Donc d = √200 = 10√2 cm.

Étape 2 : calculer la diagonale de l’espace. La diagonale de l’espace D est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont la diagonale de face 10√2 cm et une arête de 10 cm. On écrit : D² = (10√2)² + 10². Or (10√2)² = 100 × 2 = 200. Donc D² = 200 + 100 = 300.

On obtient D = √300 = 10√3 cm. Comme √3 ≈ 1,732, on a D ≈ 17,32 cm. Au millimètre près, la diagonale de l’espace mesure environ 17,3 cm.

Réponse : la diagonale de l’espace du cube mesure exactement 10√3 cm, soit environ 17,3 cm.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Une pyramide régulière à base carrée a une arête latérale SA de 13 cm. Sa base est un carré de côté 10 cm. Calculer la hauteur SO de la pyramide, où O est le centre de la base.

Dans une pyramide régulière, le sommet S est à la verticale du centre O de la base. Le triangle SOA est donc rectangle en O. On connaît SA = 13 cm, mais il faut d’abord calculer OA. Le segment OA correspond à la moitié de la diagonale du carré de base.

Calculons la diagonale du carré de côté 10 cm. Si cette diagonale est notée AC, alors AC² = 10² + 10² = 200, donc AC = √200 = 10√2 cm. Comme O est le centre du carré, O est le milieu de la diagonale AC. Donc OA = AC ÷ 2 = 5√2 cm.

Dans le triangle SOA rectangle en O, l’hypoténuse est SA. On applique Pythagore : SA² = SO² + OA². On remplace : 13² = SO² + (5√2)². Donc 169 = SO² + 25 × 2, soit 169 = SO² + 50.

On en déduit SO² = 169 − 50 = 119. Donc SO = √119 cm. Comme √119 ≈ 10,908, la hauteur de la pyramide mesure environ 10,9 cm au millimètre près.

Réponse : la hauteur exacte est √119 cm, soit environ 10,9 cm. Attention : il ne fallait pas prendre OA = 5 cm. OA est la moitié de la diagonale de la base, pas la moitié du côté du carré.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Un architecte veut installer un câble tendu entre un sommet inférieur d’un pavé droit et le sommet opposé. Le pavé mesure 8 m de long, 6 m de large et 3 m de haut. Quelle longueur minimale de câble faut-il prévoir ?

La longueur minimale correspond à la ligne droite qui traverse l’intérieur du pavé : c’est la diagonale de l’espace. On va la calculer en deux étapes, car cela permet de justifier l’utilisation de Pythagore.

Étape 1 : diagonale de la base. La base est un rectangle de longueur 8 m et de largeur 6 m. Sa diagonale d est l’hypoténuse d’un triangle rectangle. On a donc d² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100. Ainsi d = √100 = 10 m.

Étape 2 : diagonale de l’espace. On considère maintenant le triangle rectangle formé par la diagonale de la base, la hauteur du pavé et la diagonale de l’espace D. La diagonale de l’espace est l’hypoténuse. On écrit : D² = 10² + 3² = 100 + 9 = 109. Donc D = √109 m.

Comme √109 ≈ 10,440, il faut prévoir un câble d’au moins 10,44 m. Dans une situation réelle, on prévoirait une petite marge pour l’accroche, mais la longueur géométrique minimale est √109 m.

Réponse : la longueur minimale du câble est √109 m, soit environ 10,44 m. Ce problème montre que la diagonale de l’espace ne s’obtient pas en additionnant 8 + 6 + 3 : cette somme donne un trajet brisé le long des directions du pavé, pas une distance directe.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : utiliser les trois dimensions du pavé dans une seule égalité sans justification — À faire : tracer d’abord la diagonale de la base, puis le triangle rectangle contenant la hauteur.
• Erreur : confondre diagonale de face et diagonale de l’espace — À faire : colorier une diagonale entièrement située sur une face, puis une diagonale reliant deux sommets opposés du solide.
• Erreur : additionner les longueurs au lieu d’additionner les carrés — À faire : verbaliser la structure du théorème : dans un triangle rectangle, on additionne les carrés des deux côtés de l’angle droit.
• Erreur : prendre la moitié du côté du carré au lieu de la moitié de la diagonale pour OA dans une pyramide régulière — À faire : dessiner la base carrée vue de dessus et tracer ses diagonales pour placer correctement le centre O.
• Erreur : oublier l’unité ou arrondir trop tôt — À faire : conserver les racines carrées jusqu’à la fin, puis arrondir seulement la réponse finale en précisant l’unité.
• Erreur : choisir la mauvaise hypoténuse — À faire : repérer d’abord l’angle droit ; l’hypoténuse est toujours le côté opposé et c’est le plus grand côté.

10. À retenir

• Le théorème de Pythagore s’applique uniquement dans un triangle rectangle.
• En géométrie dans l’espace, il faut repérer un triangle rectangle dans une face ou dans une coupe du solide.
• Dans un cube d’arête a, la diagonale d’une face vaut a√2.
• Dans un cube d’arête a, la diagonale de l’espace vaut a√3.
• Dans un pavé droit, la diagonale de l’espace peut se calculer en deux étapes : diagonale de la base, puis diagonale de l’espace.
• Dans une pyramide régulière à base carrée, le triangle formé par la hauteur, la demi-diagonale de base et l’arête latérale est rectangle.
• Dans une pyramide régulière, il faut bien distinguer la moitié du côté et la moitié de la diagonale de la base.
• Une valeur exacte avec √ est souvent préférable pendant les calculs ; l’arrondi vient à la fin.
• La rédaction doit nommer le triangle rectangle, préciser l’hypoténuse et citer le théorème de Pythagore.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices PDF : Pythagore en 3e dans l’espace. Le document propose des activités progressives pour s’entraîner à repérer les triangles rectangles, enchaîner deux applications du théorème et rédiger correctement les calculs.

Aperçu des types d’exercices : Repérer les triangles rectangles dans un cube, Vrai ou faux dans une pyramide régulière, Recomposer une solution, Coder un calcul de diagonale, Problème ouvert : hauteur d’une pyramide.

Barème conseillé sur 20 points : repérage du triangle rectangle et de l’angle droit, 4 points ; écriture correcte de l’égalité de Pythagore, 4 points ; calculs numériques, carrés et racines carrées, 4 points ; enchaînement logique des étapes dans l’espace, 4 points ; rédaction, unités, valeurs exactes et arrondis, 4 points.

12. Questions fréquentes