Réciproque de Pythagore : démontrer un angle droit

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans la cour du collège, on veut vérifier qu’un terrain tracé au sol possède bien un angle droit, par exemple pour installer un but, poser un carrelage, construire une rampe ou contrôler l’angle d’un mur. On ne dispose pas toujours d’une équerre assez grande. En revanche, on peut mesurer les trois côtés d’un triangle formé sur le terrain. La question devient alors : comment démontrer qu’un triangle est rectangle uniquement avec les longueurs de ses trois côtés ?

En classe de 4e, on connaît le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Mais ici, le triangle n’est pas encore connu comme rectangle. On veut justement prouver qu’il l’est. Pour cela, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore. Elle permet de passer d’une égalité entre carrés à une conclusion géométrique : l’existence d’un angle droit.

L’idée essentielle est la suivante : on repère d’abord le plus grand côté du triangle. Si ce triangle est rectangle, ce plus grand côté sera l’hypoténuse. On calcule alors son carré, puis on calcule la somme des carrés des deux autres côtés. Si les deux résultats sont égaux, on peut conclure que le triangle est rectangle. L’exemple repère à connaître est le triangle de côtés 3, 4 et 5 : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 et 5² = 25. Donc un triangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm et 5 cm est rectangle.

2. Définition

Définition : La réciproque du théorème de Pythagore est une propriété qui permet de démontrer qu’un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs. Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Le plus grand côté devient alors l’hypoténuse, et l’angle droit est situé au sommet opposé à ce plus grand côté.

Cette définition doit être utilisée avec précision. Il ne suffit pas de voir trois nombres et de faire une addition au hasard. Il faut d’abord identifier le plus grand côté. C’est lui qui peut jouer le rôle de l’hypoténuse, car dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit et c’est aussi le plus long côté du triangle.

On peut retenir la phrase-clé suivante : Si le plus grand côté vérifie c² = a² + b², alors le triangle est rectangle. Ici, c désigne la plus grande longueur, et a et b désignent les deux autres longueurs. Cette phrase correspond à l’objectif de la leçon : utiliser la réciproque de Pythagore pour démontrer un angle droit.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Le plus grand côté est l’hypoténuse du triangle rectangle.

On écrit souvent cette propriété sous la forme suivante. Dans un triangle ABC, supposons que le plus grand côté soit BC. Si BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A. Pourquoi en A ? Parce que le côté BC est opposé au sommet A. L’angle droit est toujours opposé à l’hypoténuse.

Il existe aussi une propriété très utile, appelée contraposée du théorème de Pythagore. Elle permet de prouver qu’un triangle n’est pas rectangle.

Théorème : Dans un triangle, si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle.

Attention : la réciproque et la contraposée ne servent pas à la même conclusion. Si l’égalité est vraie, on utilise la réciproque et on conclut que le triangle est rectangle. Si l’égalité est fausse, on utilise la contraposée et on conclut que le triangle n’est pas rectangle. Dans les deux cas, la comparaison doit porter sur le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres côtés.

4. Démonstration

Au collège, on admet généralement la réciproque du théorème de Pythagore comme un résultat fondamental de géométrie. On peut cependant comprendre pourquoi elle est cohérente avec le théorème direct. Le théorème de Pythagore affirme que, dans un triangle rectangle, l’hypoténuse vérifie une égalité particulière : son carré est égal à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit.

La réciproque affirme que cette égalité est tellement caractéristique d’un triangle rectangle que, lorsqu’elle est vérifiée par les trois longueurs d’un triangle, elle impose l’existence d’un angle droit. Autrement dit, si les trois longueurs se comportent exactement comme celles d’un triangle rectangle, alors le triangle est rectangle.

On peut raisonner ainsi. Soit un triangle ABC dont le plus grand côté est BC. On suppose que BC² = AB² + AC². On construit ensuite un triangle A’B’C’ rectangle en A’ tel que A’B’ = AB et A’C’ = AC. Dans ce triangle rectangle A’B’C’, d’après le théorème de Pythagore, on a B’C’² = A’B’² + A’C’². Comme A’B’ = AB et A’C’ = AC, on obtient B’C’² = AB² + AC². Or on sait aussi que BC² = AB² + AC². Donc B’C’² = BC². Les longueurs étant positives, B’C’ = BC.

Les deux triangles ABC et A’B’C’ ont alors trois côtés de même longueur deux à deux. Ils sont superposables. Comme le triangle A’B’C’ est rectangle en A’, le triangle ABC est rectangle en A. Cette explication permet de comprendre pourquoi l’égalité des carrés entraîne bien un angle droit.

5. Méthode pas à pas

Pour réussir une démonstration avec la réciproque de Pythagore, il faut suivre une routine stable : Je repère / J’applique / Je vérifie. Cette méthode évite les confusions entre hypoténuse, plus grand côté, théorème direct, réciproque et contraposée.

1. Je repère le plus grand côté. Je lis les trois longueurs données et j’entoure la plus grande. C’est le seul côté qui peut devenir l’hypoténuse si le triangle est rectangle.
2. Je nomme les longueurs. J’appelle c la plus grande longueur, puis a et b les deux autres. Je ne choisis pas c au hasard.
3. Je calcule le carré du plus grand côté. J’écris séparément c² = ... afin de bien isoler le calcul de l’hypoténuse possible.
4. Je calcule la somme des carrés des deux autres côtés. J’écris a² + b² = ... + ... = ... .
5. Je compare les deux résultats. Si c² = a² + b², l’égalité de Pythagore est vérifiée. Si c² ≠ a² + b², elle ne l’est pas.
6. Je conclus avec la bonne propriété. Si l’égalité est vraie, j’écris : « D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. » Si l’égalité est fausse, j’écris : « D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle. »
7. Je précise le sommet de l’angle droit. Si le plus grand côté est BC, alors l’angle droit est au sommet A, car A est opposé au côté BC.

Une rédaction complète doit contenir les calculs, la comparaison et la conclusion. Il ne faut pas seulement écrire « c’est rectangle » : en mathématiques, une conclusion doit être justifiée par une propriété clairement citée.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm. On veut démontrer que ce triangle est rectangle.

Étape 1 : repérer le plus grand côté. Les longueurs sont 6 cm, 8 cm et 10 cm. Le plus grand côté est donc BC, car BC = 10 cm. Si le triangle est rectangle, BC sera l’hypoténuse.

Étape 2 : calculer le carré du plus grand côté.

BC² = 10² = 100.

Étape 3 : calculer la somme des carrés des deux autres côtés.

AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Étape 4 : comparer. On obtient BC² = 100 et AB² + AC² = 100. Donc BC² = AB² + AC².

Étape 5 : conclure. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle. Comme le plus grand côté est BC, l’angle droit est au sommet opposé à BC, donc le triangle ABC est rectangle en A.

La phrase finale attendue est : Le triangle ABC est rectangle en A. C’est une conclusion complète, car elle précise non seulement que le triangle est rectangle, mais aussi où se trouve l’angle droit.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On considère un triangle DEF tel que DE = 5 cm, DF = 7 cm et EF = 9 cm. On veut savoir si ce triangle est rectangle.

Étape 1 : repérer le plus grand côté. Les longueurs sont 5 cm, 7 cm et 9 cm. Le plus grand côté est EF, car EF = 9 cm. Si le triangle était rectangle, EF serait l’hypoténuse.

Étape 2 : calculer le carré du plus grand côté.

EF² = 9² = 81.

Étape 3 : calculer la somme des carrés des deux autres côtés.

DE² + DF² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74.

Étape 4 : comparer. On obtient EF² = 81 et DE² + DF² = 74. Donc EF² ≠ DE² + DF².

Étape 5 : conclure. L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée. D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle DEF n’est pas rectangle.

Cet exemple montre une erreur fréquente : on ne doit pas conclure que le triangle est rectangle simplement parce qu’on a calculé des carrés. Il faut que l’égalité soit exactement vraie. Ici, 81 n’est pas égal à 74, donc la réciproque ne s’applique pas. On utilise la contraposée.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un artisan veut vérifier qu’un cadre en bois possède un angle droit. Il mesure trois longueurs formant un triangle dans un coin du cadre : 60 cm, 80 cm et 100 cm. Peut-il affirmer que le coin est un angle droit ?

Étape 1 : interpréter la situation. Les trois longueurs forment un triangle. Pour savoir si le coin est droit, on cherche à démontrer que ce triangle est rectangle. On peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore si les trois longueurs sont connues.

Étape 2 : repérer le plus grand côté. Les longueurs sont 60 cm, 80 cm et 100 cm. Le plus grand côté est 100 cm. C’est donc le côté qui peut jouer le rôle de l’hypoténuse.

Étape 3 : calculer les carrés.

100² = 10 000.

60² + 80² = 3 600 + 6 400 = 10 000.

Étape 4 : comparer. Les deux résultats sont égaux : 100² = 60² + 80².

Étape 5 : conclure dans le contexte. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle formé par ces trois mesures est rectangle. Donc le coin du cadre est un angle droit.

Ce type de vérification est très utilisé dans la vie courante. Le triplet 3-4-5 et ses multiples, comme 6-8-10, 30-40-50 ou 60-80-100, permettent de contrôler rapidement des angles droits. En effet, si on multiplie toutes les longueurs d’un triangle 3-4-5 par le même nombre, on obtient encore un triangle rectangle.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : prendre le premier côté donné comme hypoténuse — À faire : repérer systématiquement le plus grand côté avant tout calcul.
• Erreur : écrire a² + b² + c² au lieu de comparer c² et a² + b² — À faire : utiliser deux colonnes : « carré du plus grand côté » et « somme des carrés des deux autres côtés ».
• Erreur : conclure que le triangle est rectangle sans citer la réciproque — À faire : rédiger une phrase modèle : « D’après la réciproque du théorème de Pythagore… ».
• Erreur : se tromper sur le sommet de l’angle droit — À faire : rappeler que l’angle droit est opposé au plus grand côté, donc opposé à l’hypoténuse.
• Erreur : utiliser la réciproque alors que l’égalité est fausse — À faire : si c² ≠ a² + b², utiliser la contraposée et conclure que le triangle n’est pas rectangle.
• Erreur : comparer les longueurs au lieu de comparer les carrés — À faire : calculer toujours les carrés : par exemple, comparer 13² avec 5² + 12², et non 13 avec 5 + 12.
• Erreur : arrondir trop tôt avec des nombres décimaux — À faire : garder les valeurs exactes ou suffisamment précises jusqu’à la comparaison finale.

La principale difficulté n’est pas le calcul lui-même, mais l’organisation du raisonnement. Une preuve réussie est une preuve ordonnée : identification du plus grand côté, calculs séparés, comparaison, propriété citée, conclusion complète.

10. À retenir

• La réciproque de Pythagore sert à démontrer qu’un triangle est rectangle quand on connaît ses trois côtés.
• Il faut toujours commencer par repérer le plus grand côté.
• Dans un triangle rectangle, le plus grand côté est l’hypoténuse.
• On compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres côtés.
• Si le plus grand côté vérifie c² = a² + b², alors le triangle est rectangle.
• Si c² ≠ a² + b², alors le triangle n’est pas rectangle : on utilise la contraposée.
• L’angle droit est situé au sommet opposé au plus grand côté.
• Une rédaction complète doit citer la propriété utilisée : réciproque ou contraposée du théorème de Pythagore.
• L’exemple repère est 3-4-5 : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 et 5² = 25.

Phrase modèle à mémoriser : « Le plus grand côté est […]. On calcule […]² = […] et […]² + […]² = […]. Comme les deux résultats sont égaux, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en […]. »

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Réciproque de Pythagore : démontrer un angle droit » avec corrigé et barème. Les exercices permettent de s’entraîner progressivement à comparer des carrés, reconnaître une égalité de Pythagore, rédiger une démonstration et choisir entre réciproque et contraposée.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Comparer les carrés : calculer c² puis a² + b² pour plusieurs triangles.
• Vrai ou faux ? décider si une affirmation utilisant la réciproque de Pythagore est correcte.
• Remettre une démonstration dans l’ordre : replacer les étapes d’une preuve complète.
• Choisir la bonne conclusion : distinguer « le triangle est rectangle » et « le triangle n’est pas rectangle ».
• Rédiger une preuve complète : écrire une démonstration avec calculs, comparaison, propriété et sommet de l’angle droit.

Barème conseillé sur 20 points : identifier correctement le plus grand côté, 4 points ; calculer correctement le carré du plus grand côté, 4 points ; calculer correctement la somme des carrés des deux autres côtés, 4 points ; comparer les deux résultats et interpréter l’égalité ou la différence, 4 points ; rédiger une conclusion complète avec la réciproque ou la contraposée, 4 points.

12. Questions fréquentes