Théorème de Pythagore : direct, réciproque et applications

1. Introduction et problématique

Un menuisier fabrique un cadre et veut vérifier qu'il est parfaitement rectangulaire. Il mesure deux côtés consécutifs : 60 cm et 80 cm. Il mesure ensuite la diagonale : 100 cm. Sans utiliser d'équerre, peut-il être certain que l'angle du cadre est droit ? Cette situation illustre l'intérêt du théorème de Pythagore et de sa réciproque. En classe de 4e, ce théorème permet à la fois de calculer une longueur dans un triangle rectangle et de démontrer qu'un triangle est rectangle à partir de ses longueurs. C'est un outil central de la géométrie du cycle 4, utilisé dans les problèmes de construction, de mesure, de bâtiment, de navigation ou encore d'objets du quotidien.

2. Définition

Le théorème de Pythagore concerne uniquement les triangles rectangles. Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c'est-à-dire un angle de 90°. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est toujours le côté le plus long du triangle.

On utilise généralement les lettres des sommets pour nommer les côtés. Par exemple, si le triangle ABC est rectangle en A, alors l'angle droit est au sommet A. Les côtés AB et AC forment l'angle droit, tandis que le côté BC est opposé à l'angle droit : BC est donc l'hypoténuse.

Définition : dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC est l'hypoténuse.

Les notations AB, AC et BC désignent à la fois les segments et, selon le contexte, leurs longueurs. Quand on écrit AB = 3 cm, cela signifie que la longueur du segment AB est 3 cm. Quand on écrit AB², cela signifie le carré de la longueur AB : par exemple, si AB = 3 cm, alors AB² = 3² = 9 cm².

3. Propriétés et théorèmes

Le théorème de Pythagore donne une relation entre les trois longueurs d'un triangle rectangle. Il ne s'applique pas à un triangle quelconque : il faut d'abord savoir que le triangle est rectangle. La formule s'écrit toujours avec l'hypoténuse au carré d'un côté de l'égalité, et la somme des carrés des deux autres côtés de l'autre côté.

Théorème : si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC est l'hypoténuse, donc on a : BC² = AB² + AC².

La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle est rectangle. Elle s'utilise quand on connaît les trois longueurs d'un triangle et que l'on veut vérifier s'il possède un angle droit.

Réciproque : si, dans un triangle, le carré de la plus grande longueur est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs, alors ce triangle est rectangle, et l'hypoténuse est le plus grand côté.

Il existe aussi une conséquence très utile appelée contraposée. Elle permet de démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.

Contraposée : si, dans un triangle, le carré de la plus grande longueur n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres longueurs, alors ce triangle n'est pas rectangle.

Ces trois énoncés ont des rôles différents : le théorème direct sert à calculer une longueur dans un triangle déjà reconnu comme rectangle ; la réciproque sert à prouver qu'un triangle est rectangle ; la contraposée sert à prouver qu'un triangle n'est pas rectangle.

4. Démonstration (ou justification visuelle)

On peut comprendre le théorème de Pythagore grâce aux aires. Imaginons un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent a et b, et dont l'hypoténuse mesure c. On construit un carré sur chacun des trois côtés du triangle. Le carré construit sur le côté de longueur a a pour aire a². Celui construit sur le côté de longueur b a pour aire b². Celui construit sur l'hypoténuse, de longueur c, a pour aire c².

Le théorème affirme que l'aire du grand carré construit sur l'hypoténuse est exactement égale à la somme des aires des deux autres carrés : a² + b² = c². Par exemple, pour un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm et 4 cm, les carrés correspondants ont pour aires 9 cm² et 16 cm². Leur somme vaut 25 cm², ce qui correspond à l'aire d'un carré de côté 5 cm. On obtient donc 3² + 4² = 5².

Cette justification visuelle explique pourquoi on travaille avec des carrés de longueurs, et non avec les longueurs directement. Le théorème compare des aires construites sur les côtés du triangle rectangle.

5. Méthode pas à pas

Pour utiliser correctement le théorème de Pythagore, il faut adopter une méthode stable. Le plus important est d'identifier l'hypoténuse avant d'écrire la formule.

1. Étape 1 : repérer la situation. Si le triangle est déjà donné comme rectangle, on peut utiliser le théorème direct. Si l'on veut démontrer qu'il est rectangle, on utilise la réciproque. Si l'on veut démontrer qu'il ne l'est pas, on utilise la contraposée.
2. Étape 2 : identifier l'hypoténuse ou le plus grand côté. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Dans un triangle dont on teste les longueurs, on commence par repérer la plus grande longueur.
3. Étape 3 : écrire la relation adaptée, remplacer par les valeurs, calculer puis conclure. Pour calculer l'hypoténuse, on additionne les carrés. Pour calculer un côté de l'angle droit, on soustrait les carrés : côté manquant² = hypoténuse² - autre côté².

La rédaction attendue en géométrie doit être complète. On ne se contente pas d'écrire des calculs : on précise le triangle étudié, le théorème utilisé, l'égalité obtenue, puis la conclusion avec l'unité.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : le triangle ABC est rectangle en A. On donne AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calculer la longueur BC.

Rédaction modèle :

Dans le triangle ABC rectangle en A, le côté BC est l'hypoténuse.

D'après le théorème de Pythagore, on a : BC² = AB² + AC².

On remplace par les longueurs connues : BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Donc BC = √100 = 10. La longueur BC est donc égale à 10 cm.

Ici, on cherche l'hypoténuse. On additionne donc les carrés des deux côtés de l'angle droit. Il ne faut pas oublier la dernière étape : si BC² = 100, alors BC = √100 = 10, car une longueur est positive.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse, réciproque ou variante

Énoncé : on considère un triangle DEF tel que DE = 9 cm, DF = 12 cm et EF = 15 cm. Démontrer que le triangle DEF est rectangle et préciser en quel sommet.

Rédaction modèle :

Dans le triangle DEF, la plus grande longueur est EF = 15 cm.

On calcule séparément le carré de la plus grande longueur et la somme des carrés des deux autres longueurs : EF² = 15² = 225, et DE² + DF² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.

On constate que EF² = DE² + DF².

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle. Comme EF est le plus grand côté, c'est l'hypoténuse. L'angle droit est donc au sommet opposé à EF, c'est-à-dire au sommet D.

La conclusion complète est : le triangle DEF est rectangle en D.

Dans une démonstration par la réciproque, il faut comparer exactement les carrés. Une approximation ne suffit pas pour prouver qu'un angle est droit.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est situé à 3 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?

Résolution : on modélise la situation par un triangle rectangle. Le mur est vertical, le sol est horizontal : ils forment un angle droit. L'échelle correspond à l'hypoténuse, car elle est en face de l'angle droit et c'est le plus grand côté. On connaît donc l'hypoténuse, 5 m, et un côté de l'angle droit, 3 m. On cherche l'autre côté de l'angle droit, c'est-à-dire la hauteur atteinte sur le mur.

Notons h cette hauteur. D'après le théorème de Pythagore, on a : 5² = 3² + h².

Donc 25 = 9 + h².

On en déduit : h² = 25 - 9 = 16.

Donc h = √16 = 4.

L'échelle touche le mur à une hauteur de 4 m.

Ce type de problème montre qu'il est indispensable de faire un schéma mental ou dessiné. Lorsque l'on cherche un côté de l'angle droit et que l'hypoténuse est connue, on utilise une soustraction : hypoténuse² - côté connu² = côté manquant².

9. Erreurs classiques à éviter

Les erreurs les plus fréquentes viennent souvent d'une mauvaise identification de l'hypoténuse ou d'une confusion entre théorème direct et réciproque. Voici les pièges à connaître.

• Erreur : écrire AB² + BC² = AC² sans repérer l'angle droit — À faire : commencer par identifier l'hypoténuse, c'est-à-dire le côté opposé à l'angle droit. La formule doit toujours placer l'hypoténuse au carré seule d'un côté de l'égalité.
• Erreur : appliquer le théorème de Pythagore à un triangle quelconque — À faire : vérifier d'abord que le triangle est rectangle. Si ce n'est pas donné, on ne peut pas utiliser le théorème direct pour calculer une longueur.
• Erreur : additionner les carrés alors que l'on cherche un côté de l'angle droit — À faire : si l'hypoténuse est connue et que l'on cherche un autre côté, on soustrait : côté manquant² = hypoténuse² - côté connu².
• Erreur : écrire BC² = 25 donc BC = 25 — À faire : extraire la racine carrée : BC = √25 = 5. Une longueur n'est pas égale à son carré.
• Erreur : conclure qu'un triangle est rectangle avec des valeurs approchées — À faire : pour utiliser la réciproque, comparer les carrés de manière exacte. Si 6² + 8² = 100 et 10² = 100, alors l'égalité est exacte. En revanche, si les valeurs sont seulement proches, cela ne suffit pas.
• Erreur : confondre réciproque et contraposée — À faire : si l'égalité est vraie, on utilise la réciproque pour prouver que le triangle est rectangle. Si l'égalité est fausse, on utilise la contraposée pour prouver qu'il n'est pas rectangle.

10. À retenir

• Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
• L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est aussi le côté le plus long du triangle rectangle.
• Pour calculer l'hypoténuse, on additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit. Pour calculer un côté de l'angle droit, on soustrait les carrés.
• La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle ; la contraposée sert à démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.
• Après avoir obtenu une égalité du type x² = 49, il faut prendre la racine carrée : x = √49 = 7, car une longueur est positive.
• Les triplets 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 et leurs multiples sont utiles à mémoriser pour calculer plus vite.

11. Exercices d'application

Pour t'entraîner, télécharge la fiche d'exercices PDF complète avec corrigé détaillé en bas de page.

Aperçu rapide des types d'exercices proposés :

• Type 1 — vérifier les prérequis : carrés, racines carrées, hypoténuse, vrai ou faux.
• Type 2 — calculer l'hypoténuse dans un triangle rectangle.
• Type 3 — calculer un côté de l'angle droit avec une soustraction de carrés.
• Type 4 — utiliser la réciproque pour savoir si un triangle est rectangle.
• Type 5 — résoudre des problèmes concrets : échelle, écran, terrain, diagonale.