Aire d'un parallélogramme
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1. Introduction et problématique
Situation-problème : dans la cour du collège, on veut peindre une zone en forme de parallélogramme. Un côté mesure 8 m et la distance perpendiculaire entre ce côté et le côté opposé mesure 3 m. Quelle quantité de peinture faut-il prévoir ? Pour répondre, il ne suffit pas de connaître les longueurs des côtés : on doit mesurer la surface occupée par la figure. Cette surface s’appelle l’aire.
En classe de 5e, conformément aux attendus du cycle 4, on apprend à calculer des aires de figures usuelles en utilisant des formules. Pour le parallélogramme, la formule essentielle est : A = base × hauteur. Cette phrase doit devenir un automatisme : la hauteur est perpendiculaire à la base. Si la base vaut 8 cm et la hauteur correspondante vaut 3 cm, alors l’aire vaut 8 × 3 = 24 cm².
Le mot repère est parallélogramme : pa-ral-lé-lo-gramme, 5 syllabes. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Un rectangle, un losange et un carré sont des parallélogrammes particuliers. Pour l’aire, on ne multiplie pas deux côtés quelconques : on multiplie une base par la hauteur correspondante.
2. Définition
Définition : L’aire d’un parallélogramme est la mesure de la surface qu’il occupe. Si l’on choisit un côté comme base, la hauteur correspondante est la distance perpendiculaire entre cette base et le côté opposé parallèle. La formule de l’aire est : A = base × hauteur.
Dans cette leçon, on note souvent la base par b et la hauteur par h. On écrit donc aussi : A = b × h. Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité avant le calcul. Si b est en cm et h est en cm, alors l’aire est en cm². Si b est en m et h est en m, alors l’aire est en m².
Attention : une hauteur n’est pas forcément un côté de la figure. Dans un parallélogramme très incliné, le côté oblique peut être plus long que la hauteur. La hauteur est une distance droite, formant un angle droit avec la base. Elle peut se trouver à l’intérieur du parallélogramme ou être tracée sur le prolongement de la base.
3. Propriétés et théorèmes
Théorème : L’aire d’un parallélogramme est égale au produit de la longueur d’une base par la hauteur correspondante : A = base × hauteur.
Cette propriété ressemble à la formule de l’aire du rectangle : longueur × largeur. En effet, on peut transformer un parallélogramme en rectangle par découpage et déplacement d’un triangle, sans changer son aire. La base du parallélogramme devient la longueur du rectangle et la hauteur devient sa largeur.
Propriété importante : on peut choisir n’importe quel côté du parallélogramme comme base, mais il faut alors prendre la hauteur correspondante. Si l’on change de base, la hauteur change aussi. Le produit base × hauteur reste cependant égal à la même aire.
Cas particulier : un losange est un parallélogramme dont les quatre côtés ont la même longueur. On peut donc calculer son aire avec la formule A = base × hauteur. Il existe aussi une formule utilisant les diagonales, souvent écrite A = (d₁ × d₂) ÷ 2, mais dans cette leçon de 5e, la méthode principale reste base × hauteur.
4. Démonstration
Pour comprendre pourquoi l’aire d’un parallélogramme vaut base × hauteur, imaginons un parallélogramme posé sur une base horizontale. À gauche, on peut découper un petit triangle formé par le côté oblique et la hauteur. Si l’on déplace ce triangle à droite de la figure, il complète exactement la partie manquante et l’on obtient un rectangle.
Ce découpage-recollage ne change pas la surface totale : on n’a ni ajouté ni retiré de matière. L’aire du parallélogramme est donc la même que celle du rectangle obtenu. Or l’aire d’un rectangle se calcule par longueur × largeur. Dans le rectangle obtenu, la longueur correspond à la base du parallélogramme et la largeur correspond à la hauteur perpendiculaire.
On en déduit donc : aire du parallélogramme = aire du rectangle = base × hauteur. Cette démonstration est une justification géométrique simple, adaptée au collège : elle montre que la formule n’est pas une règle à apprendre sans comprendre, mais une conséquence du lien entre parallélogramme et rectangle.
Exemple visuel à retenir : si un parallélogramme a une base de 10 cm et une hauteur de 4 cm, il occupe la même surface qu’un rectangle de 10 cm sur 4 cm. Son aire est donc 10 × 4 = 40 cm².
5. Méthode pas à pas
- Je repère. Je choisis une base du parallélogramme. La base est un côté sur lequel on peut imaginer poser la figure. Je repère ensuite la hauteur correspondante, c’est-à-dire la distance perpendiculaire à cette base.
- Je vérifie l’angle droit. La hauteur doit former un angle droit avec la base. Si la longueur donnée est oblique, ce n’est pas la hauteur, sauf indication particulière.
- Je vérifie les unités. La base et la hauteur doivent être dans la même unité : cm avec cm, m avec m, mm avec mm. Si ce n’est pas le cas, je convertis avant de calculer.
- J’applique la formule. J’écris clairement : A = base × hauteur. Puis je remplace par les valeurs numériques.
- Je calcule. Je fais la multiplication avec soin, en particulier s’il y a des nombres décimaux.
- Je donne l’unité d’aire. Le résultat s’exprime avec une unité au carré : cm², m², mm², dm²…
- Je vérifie la cohérence. Une aire ne doit pas être écrite en cm ou en m, car ce sont des unités de longueur. Elle doit être écrite en cm² ou en m².
Routine à mémoriser : 👀 Je repère la base et la hauteur perpendiculaire ; ✍️ J’applique A = base × hauteur ; ✅ Je vérifie l’unité d’aire.
6. Exemple résolu 1 — cas direct
On considère un parallélogramme dont une base mesure 12 cm et dont la hauteur correspondante mesure 5 cm. On veut calculer son aire.
Étape 1 : repérer les données. La base vaut 12 cm. La hauteur vaut 5 cm. Les deux mesures sont exprimées en cm, donc on peut les multiplier directement.
Étape 2 : écrire la formule. A = base × hauteur.
Étape 3 : remplacer par les nombres. A = 12 × 5.
Étape 4 : calculer. 12 × 5 = 60.
Conclusion : l’aire du parallélogramme est 60 cm².
Il ne faut pas écrire 60 cm, car 60 cm serait une longueur. Ici, on mesure une surface. L’unité est donc une unité d’aire : cm². On peut aussi dire que le parallélogramme occupe la même surface qu’un rectangle de 12 cm sur 5 cm.
7. Exemple résolu 2 — cas inverse
On connaît l’aire d’un parallélogramme et sa base. L’aire est 42 cm² et la base mesure 7 cm. On cherche la hauteur correspondante.
Étape 1 : écrire la formule. A = base × hauteur.
Étape 2 : remplacer ce que l’on connaît. 42 = 7 × hauteur.
Étape 3 : retrouver le facteur manquant. On cherche le nombre qui, multiplié par 7, donne 42. Comme 42 ÷ 7 = 6, la hauteur vaut 6 cm.
Conclusion : la hauteur correspondante est 6 cm.
Dans un cas inverse, on utilise donc une division. Si A = b × h, alors h = A ÷ b, à condition que b ne soit pas nul. De même, si l’on connaît l’aire et la hauteur, on peut trouver la base avec b = A ÷ h.
Vérification : 7 × 6 = 42, donc le résultat est cohérent. Comme on cherche une hauteur, l’unité est une unité de longueur, ici cm, et non cm².
8. Exemple résolu 3 — problème concret
Un jardin a la forme d’un parallélogramme. Le côté choisi comme base mesure 9 m. La hauteur correspondante mesure 4,5 m. On souhaite semer du gazon sur toute la surface. Quelle est l’aire du jardin ?
Étape 1 : comprendre la situation. On cherche une surface à recouvrir. Il faut donc calculer une aire. La figure est un parallélogramme, donc on utilise A = base × hauteur.
Étape 2 : vérifier les unités. La base est en m et la hauteur est en m. Les unités sont identiques, il n’y a pas de conversion à faire.
Étape 3 : appliquer la formule. A = 9 × 4,5.
Étape 4 : calculer. 9 × 4,5 = 40,5.
Conclusion : l’aire du jardin est 40,5 m². Il faut donc prévoir du gazon pour environ 40,5 m².
Si un sac de graines permet de couvrir 10 m², on peut prolonger le problème : 40,5 ÷ 10 = 4,05. Il faudra donc acheter 5 sacs, car 4 sacs ne suffiraient pas. Cet exemple montre que la formule d’aire sert aussi dans des situations concrètes : peinture, carrelage, jardin, tissu, panneaux, affiches.
9. Erreurs classiques à éviter
- Erreur : additionner la base et la hauteur, par exemple écrire 8 + 3 = 11 cm² — À faire : se rappeler que l’aire mesure une surface et que, pour un parallélogramme, on calcule par multiplication : A = base × hauteur.
- Erreur : utiliser un côté oblique comme hauteur — À faire : vérifier que la hauteur est perpendiculaire à la base et tracer ou repérer l’angle droit.
- Erreur : oublier l’unité au carré — À faire : écrire cm², m² ou mm² pour une aire, car cm, m et mm sont des unités de longueur.
- Erreur : multiplier deux longueurs qui ne sont pas dans la même unité, par exemple 6 cm × 20 mm — À faire : convertir d’abord les deux longueurs dans la même unité, par exemple 20 mm = 2 cm.
- Erreur : se tromper avec les nombres décimaux, par exemple 2,5 × 4 — À faire : vérifier l’ordre de grandeur : 2,5 × 4 = 10, donc le résultat doit être 10 et non 1,0 ou 100.
Une bonne habitude consiste à entourer la base, tracer la hauteur en couleur, puis écrire la formule avant de calculer. Cela évite de confondre aire et périmètre.
10. À retenir
- Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
- L’aire d’un parallélogramme se calcule avec la formule : A = base × hauteur.
- La hauteur correspondante est toujours perpendiculaire à la base choisie.
- On peut choisir plusieurs bases possibles, mais il faut toujours utiliser la hauteur qui correspond à cette base.
- Avant de multiplier, la base et la hauteur doivent être exprimées dans la même unité.
- Une aire s’exprime avec une unité au carré : cm², dm², m², mm²…
- Dans un exercice inverse, on utilise une division : hauteur = aire ÷ base ou base = aire ÷ hauteur.
- Un losange est un parallélogramme particulier : on peut donc calculer son aire avec A = base × hauteur.
Phrase clé à mémoriser : FORMULE DE L’AIRE DU PARALLÉLOGRAMME : A = base × hauteur, avec la HAUTEUR CORRESPONDANTE perpendiculaire à la base.
11. Exercices d'application
Télécharger la fiche PDF d’exercices sur l’aire du parallélogramme en 5e. Elle permet de s’entraîner progressivement à repérer la base, identifier la hauteur correspondante, appliquer la formule et écrire correctement l’unité d’aire.
Aperçu des types d’exercices proposés : Compléter le tableau avec base, hauteur et aire ; répondre à des questions Vrai ou faux ? sur la hauteur et l’unité ; Recomposer les calculs à partir d’étiquettes ; Écrire le calcul correspondant à une figure ; résoudre des Problèmes d’application avec jardin, peinture, carrelage ou affiche.
Barème possible sur 5 points : identification correcte de la base, 1 point ; identification de la hauteur correspondante et perpendiculaire, 1 point ; utilisation correcte de la formule A = base × hauteur, 1 point ; calcul numérique exact, 1 point ; unité d’aire correctement écrite, 1 point.
12. Questions fréquentes
Quelle est la formule de l’aire d’un parallélogramme ?
La formule est A = base × hauteur. La hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie. Par exemple, si la base mesure 8 cm et la hauteur 3 cm, alors A = 8 × 3 = 24 cm².
La hauteur est-elle toujours un côté du parallélogramme ?
Non. La hauteur est une distance perpendiculaire à la base. Elle peut être à l’intérieur de la figure ou tomber sur le prolongement de la base. Un côté oblique n’est pas forcément une hauteur.
Quelle unité faut-il utiliser pour l’aire ?
On utilise une unité d’aire, par exemple cm², m² ou mm². Si les longueurs sont en cm, l’aire est en cm². Si les longueurs sont en m, l’aire est en m².
Peut-on choisir n’importe quel côté comme base ?
Oui, on peut choisir n’importe quel côté comme base, mais il faut alors utiliser la hauteur correspondante. Cette hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie.
Un losange a-t-il la même formule d’aire qu’un parallélogramme ?
Oui. Un losange est un parallélogramme particulier, donc on peut utiliser A = base × hauteur. Il existe aussi une autre formule avec les diagonales, mais elle n’est pas nécessaire ici.
