Calcul littéral : expressions et substitution

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au collège, on rencontre souvent des phrases comme « le prix de 3 cahiers et de 2 stylos », « le périmètre d’un rectangle de longueur L et de largeur l », ou encore « le triple d’un nombre augmenté de 2 ». Si l’on ne connaît pas encore le prix d’un cahier, la longueur exacte du rectangle ou le nombre choisi, on peut quand même écrire un calcul. Pour cela, on utilise une lettre. Par exemple, si le prix d’un cahier est noté x euros, alors le prix de 3 cahiers s’écrit 3 × x, que l’on écrit plus simplement 3x.

Le calcul littéral consiste donc à calculer avec des lettres et des nombres. En classe de 5e, l’objectif n’est pas de résoudre toutes les équations, mais de comprendre ce que représente une expression littérale, de savoir remplacer une lettre par une valeur numérique, et de réduire des expressions simples lorsque cela est possible. C’est une étape importante pour préparer les équations, les formules de géométrie, les programmes de calcul et les problèmes de proportionnalité.

Dans cette leçon, on apprendra à lire une expression comme a + 5, à comprendre que 3 × x peut s’écrire 3x, à substituer une valeur comme dans « si x = 4, alors 3x + 2 = 14 », et à réduire des expressions simples comme 2x + 5x = 7x.

2. Définition

Définition : Une expression littérale est une expression mathématique qui contient au moins une lettre. Cette lettre représente un nombre, connu ou inconnu, ou une grandeur qui peut varier. Par exemple, a + 5, 3x + 2, 2n, L × l et 4y − 7 sont des expressions littérales.

Dans une expression littérale, les lettres jouent le rôle de nombres. Elles permettent d’écrire une règle générale. Par exemple, si x désigne un nombre, alors x + 10 désigne « ce nombre augmenté de 10 », et 2x désigne « le double de ce nombre ».

En calcul littéral, on utilise une convention très importante : on peut ne pas écrire le signe × entre un nombre et une lettre, ou entre deux lettres. Ainsi, 3 × x s’écrit 3x, 7 × a s’écrit 7a, et a × b s’écrit ab. En revanche, entre deux nombres, on écrit toujours le signe × : on n’écrit pas 34 pour 3 × 4, car 34 est le nombre trente-quatre.

Le nombre placé devant la lettre s’appelle le coefficient. Dans 5x, le coefficient est 5. Cela signifie 5 × x. Dans x, le coefficient est 1, car x = 1 × x. Dans −x, le coefficient est −1, car −x = −1 × x.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour calculer la valeur d’une expression littérale lorsque la valeur de la lettre est donnée, on remplace chaque occurrence de la lettre par cette valeur, puis on effectue les calculs en respectant les priorités opératoires.

Cette action s’appelle substituer une valeur. Par exemple, dans l’expression 3x + 2, si x = 4, alors on remplace x par 4 : 3x + 2 = 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14. On dit que la valeur de l’expression 3x + 2 pour x = 4 est 14.

On peut aussi réduire certaines expressions. Réduire une expression, c’est l’écrire de façon plus simple, sans changer sa valeur. En 5e, on réduit principalement en regroupant les termes semblables.

Théorème : Des termes semblables sont des termes qui ont la même partie littérale. On peut les additionner ou les soustraire en additionnant ou en soustrayant leurs coefficients.

Par exemple, 2x et 5x sont des termes semblables, car ils contiennent tous les deux la même lettre x au même degré. Donc 2x + 5x = 7x. De même, 8a − 3a = 5a. En revanche, 3x et 5 ne sont pas semblables : 3x contient la lettre x, tandis que 5 est un nombre seul. On ne peut donc pas réduire 3x + 5 en 8x.

4. Démonstration

Pour comprendre pourquoi 2x + 5x = 7x, il faut revenir au sens de l’écriture. L’expression 2x signifie 2 × x, c’est-à-dire deux fois le nombre x. L’expression 5x signifie 5 × x, c’est-à-dire cinq fois le même nombre x. Donc 2x + 5x signifie « deux fois x plus cinq fois x ». Au total, cela fait sept fois x. On obtient donc 7x.

On peut aussi utiliser un exemple numérique pour vérifier. Si x = 10, alors 2x + 5x = 2 × 10 + 5 × 10 = 20 + 50 = 70. Et 7x = 7 × 10 = 70. Les deux expressions donnent le même résultat. Si x = 3, alors 2x + 5x = 2 × 3 + 5 × 3 = 6 + 15 = 21, et 7x = 7 × 3 = 21. Cela confirme l’idée générale.

Attention cependant : on ne peut pas appliquer ce raisonnement à 6y + 2 + 3y en disant 11y. En effet, 6y et 3y sont des termes en y, mais 2 est un nombre seul. On peut seulement regrouper 6y et 3y : 6y + 2 + 3y = 9y + 2. Le nombre 2 reste séparé.

La réduction repose donc sur une idée simple : on additionne des objets de même nature. Deux pommes plus cinq pommes font sept pommes. Mais deux pommes plus cinq euros ne font pas sept pommes. En calcul littéral, 2x et 5x sont de même nature ; 3x et 5 ne le sont pas.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. Je repère la lettre, les nombres et les opérations. Je me souviens que 4x signifie 4 × x, et que x seul signifie 1 × x.
2. Je lis l’expression. Par exemple, 3x + 2 se lit « le triple de x augmenté de 2 » ou « 3 fois x plus 2 ».
3. J’applique la substitution si une valeur est donnée. Si x = 4, je remplace chaque x par 4 : 3x + 2 devient 3 × 4 + 2.
4. Je respecte les priorités opératoires. Je calcule d’abord les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions : 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.
5. Je réduis si c’est demandé et possible. Je regroupe seulement les termes semblables : 2x + 5x = 7x, mais 2x + 5 ne se réduit pas.
6. Je vérifie. Je contrôle que toutes les lettres ont été remplacées lors d’une substitution, et que je n’ai pas mélangé des termes en lettre avec des nombres seuls.

Une bonne routine est : « Je repère / J’applique / Je vérifie ». D’abord, je repère les lettres et les opérations. Ensuite, j’applique la règle : substitution ou réduction. Enfin, je vérifie que mon résultat a du sens. Cette méthode évite beaucoup d’erreurs classiques.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Réduire l’expression 2x + 5x.

Étape 1 : repérer les termes. L’expression contient deux termes : 2x et 5x. Les deux contiennent la même lettre x. Ce sont donc des termes semblables.

Étape 2 : comprendre le sens. 2x signifie 2 × x, et 5x signifie 5 × x. On additionne donc deux fois x et cinq fois x.

Étape 3 : additionner les coefficients. Les coefficients sont 2 et 5. On calcule 2 + 5 = 7.

Conclusion : 2x + 5x = 7x.

On ne remplace pas x par un nombre, car aucune valeur de x n’est donnée. On simplifie seulement l’écriture. Cette réduction est valable quelle que soit la valeur de x. Par exemple, si x = 4, alors 2x + 5x = 8 + 20 = 28, et 7x = 28.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : On donne l’expression 3x + 2. Calculer sa valeur pour x = 4.

Étape 1 : réécrire l’expression avec le signe ×. L’écriture 3x signifie 3 × x. Donc 3x + 2 = 3 × x + 2.

Étape 2 : substituer la valeur. Comme x = 4, on remplace x par 4 : 3 × x + 2 devient 3 × 4 + 2.

Étape 3 : respecter les priorités. On calcule d’abord la multiplication : 3 × 4 = 12. Puis on ajoute 2 : 12 + 2 = 14.

Conclusion : Si x = 4, alors 3x + 2 = 14.

Une erreur fréquente serait de faire 3 × 6 parce qu’on aurait d’abord ajouté 4 + 2. C’est faux : dans 3 × 4 + 2, la multiplication est prioritaire sur l’addition. La substitution transforme une expression littérale en expression numérique, mais les règles de calcul restent les mêmes.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Dans une salle de sport, l’inscription coûte 15 €, puis chaque séance coûte x euros. Emma participe à 6 séances. Écrire une expression qui donne le prix total payé par Emma, puis calculer ce prix si une séance coûte 8 €.

Étape 1 : comprendre la situation. Emma paie une somme fixe de 15 €. Elle paie aussi 6 séances au prix de x euros chacune. Le prix des séances est donc 6 × x, que l’on écrit 6x.

Étape 2 : écrire l’expression littérale. Le prix total est : 15 + 6x. On peut aussi écrire 6x + 15. Les deux expressions désignent la même somme.

Étape 3 : substituer la valeur. Si une séance coûte 8 €, alors x = 8. On remplace x par 8 : 15 + 6x = 15 + 6 × 8.

Étape 4 : calculer. On effectue d’abord la multiplication : 6 × 8 = 48. Puis on ajoute 15 : 15 + 48 = 63.

Conclusion : L’expression du prix total est 15 + 6x. Si une séance coûte 8 €, Emma paie 63 €.

Ce type de problème montre l’intérêt du calcul littéral : avec une seule expression, on peut calculer rapidement le prix pour plusieurs valeurs différentes de x.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Lire 5x comme 5 + x. — À faire : Réécrire systématiquement 5x sous la forme 5 × x avant de calculer.
• Erreur : Oublier de remplacer une lettre dans l’expression. — À faire : Entourer toutes les occurrences de la lettre, puis les remplacer une à une.
• Erreur : Calculer 3n + 2 avec n = 4 en faisant 3 × 6. — À faire : Écrire 3 × 4 + 2, puis respecter les priorités : multiplication avant addition.
• Erreur : Réduire 6y + 2 + 3y en 11y. — À faire : Regrouper seulement les termes semblables : 6y + 3y + 2 = 9y + 2.
• Erreur : Écrire 2 + x pour « le double de x ». — À faire : Apprendre les mots repères : double = ×2, triple = ×3, augmenté de = +, diminué de = −.

Il faut aussi éviter de supprimer une lettre sans raison. Par exemple, 4a + 3a ne devient pas 7, mais 7a. La lettre reste présente, car on ne connaît pas forcément sa valeur.

10. À retenir

• Une expression littérale contient au moins une lettre, qui représente un nombre ou une grandeur variable.
• L’écriture 3x signifie 3 × x. Le signe × peut être omis entre un nombre et une lettre.
• On n’omet pas le signe × entre deux nombres : 3 × 4 ne s’écrit pas 34.
• Substituer une valeur signifie remplacer la lettre par un nombre donné, puis calculer.
• Si x = 4, alors 3x + 2 = 3 × 4 + 2 = 14.
• Réduire une expression, c’est l’écrire plus simplement sans changer sa valeur.
• On peut regrouper les termes semblables : 2x + 5x = 7x.
• On ne peut pas réduire 3x + 5 en 8x, car 3x et 5 ne sont pas des termes semblables.
• Les priorités opératoires restent valables après substitution : parenthèses, multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
• La méthode efficace est : je repère, j’applique, je vérifie.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices « Calcul littéral : expressions et substitution — 5e » au format PDF pour s’entraîner sur la lecture, la substitution et la réduction d’expressions simples.

Aperçu des types d’exercices proposés : lire une expression littérale comme a + 5 ou 4n − 1 ; reconnaître que 3 × x = 3x ; substituer une valeur dans une expression comme 5x + 7 ; associer une situation concrète à une expression ; réduire des expressions simples comme 2x + 5x ou 8a − 3a ; écrire une expression littérale à partir d’une phrase, par exemple « le triple d’un nombre augmenté de 4 ».

Barème possible pour une évaluation sur 20 points : compréhension du rôle de la lettre et de l’omission du signe × : 4 points ; substitution correcte des valeurs numériques : 5 points ; respect des priorités opératoires : 4 points ; réduction correcte des termes semblables : 4 points ; traduction claire d’une phrase en expression littérale : 3 points.

Pour progresser, il est conseillé de toujours écrire une ligne intermédiaire. Par exemple, au lieu de passer directement de 4x + 1 à 21 quand x = 5, on écrit : 4x + 1 = 4 × 5 + 1 = 20 + 1 = 21. Cette présentation rend le raisonnement clair et limite les erreurs.

12. Questions fréquentes