Distributivité simple : k(a + b)

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au collège, on rencontre souvent des expressions comme 5(x + 2), 3(a + 7) ou encore 4y + 20. Elles apparaissent dans des calculs de périmètres, de prix, de programmes de calcul ou de formules. Par exemple, une place de cinéma coûte 5 €, et un groupe achète x places d’élèves et 2 places d’accompagnateurs. Le prix total peut s’écrire 5(x + 2). On peut aussi écrire 5 × x + 5 × 2, c’est-à-dire 5x + 10. Les deux écritures représentent le même prix, mais elles ne sont pas sous la même forme.

La question principale de cette leçon est donc : comment passer correctement d’une expression avec parenthèses à une expression sans parenthèses, et inversement ? En classe de 5e, on apprend la distributivité simple, qui permet de développer une expression de la forme k(a + b), mais aussi de factoriser une somme lorsque deux termes ont un facteur commun.

Le mot repère est : dis-tri-bu-ti-vi-té. On peut penser à une distribution : le facteur placé devant la parenthèse se distribue à chaque terme de la somme. Par exemple, 5(10 + 2) = 5 × 10 + 5 × 2 = 50 + 10 = 60. Cette règle est très utile pour calculer mentalement, simplifier des expressions littérales et préparer le calcul algébrique des classes suivantes.

2. Définition

Définition : Développer une expression, c’est transformer un produit contenant des parenthèses en une somme ou une différence sans parenthèses. Avec la distributivité simple, on utilise la règle : k(a + b) = ka + kb. Factoriser, c’est faire l’opération inverse : transformer une somme en un produit en mettant en évidence un facteur commun. On utilise alors : ka + kb = k(a + b).

Dans cette leçon, les lettres k, a et b peuvent représenter des nombres connus ou des nombres inconnus. Par exemple, dans 3(x + 5), le facteur commun est 3, le premier terme de la parenthèse est x et le second terme est 5. Développer donne 3 × x + 3 × 5, donc 3x + 15.

Il faut bien comprendre le rôle de la parenthèse : elle indique que le facteur placé devant multiplie toute la somme. Ainsi, dans 4(y + 6), le nombre 4 ne multiplie pas seulement y ; il multiplie aussi 6. On obtient donc 4y + 24, et non 4y + 6.

En sens inverse, dans 7a + 21, on reconnaît que 7a = 7 × a et que 21 = 7 × 3. Le facteur 7 est commun aux deux termes. On peut donc écrire 7a + 21 = 7(a + 3). Cette transformation s’appelle une factorisation.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Pour tous nombres k, a et b, on a k(a + b) = ka + kb. Cette propriété s’appelle la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

Cette propriété signifie que multiplier une somme par un nombre revient à multiplier chaque terme de la somme par ce nombre, puis à additionner les résultats. Par exemple, 6(8 + 2) = 6 × 8 + 6 × 2 = 48 + 12 = 60. On peut aussi calculer d’abord la parenthèse : 6(8 + 2) = 6 × 10 = 60. Les deux méthodes donnent le même résultat.

La distributivité fonctionne aussi avec des lettres : 2(x + 9) = 2x + 18. Dans une expression littérale, on écrit souvent 2x au lieu de 2 × x. C’est une convention d’écriture : le signe × peut être supprimé entre un nombre et une lettre, ou entre deux lettres.

La même propriété peut être utilisée en sens inverse :

Théorème : Pour tous nombres k, a et b, si deux termes ont le même facteur k, alors ka + kb = k(a + b). Cette transformation s’appelle la factorisation par facteur commun.

Par exemple, 9x + 27 = 9 × x + 9 × 3 = 9(x + 3). Le nombre 9 est le facteur commun. La factorisation permet d’écrire une somme sous la forme d’un produit. Cette forme est parfois plus courte, plus lisible ou plus utile pour résoudre un problème.

4. Démonstration

Pour comprendre pourquoi la distributivité est vraie, on peut partir d’une situation concrète. Imaginons 4 sachets contenant chacun 3 billes rouges et 2 billes bleues. Le nombre total de billes peut se calculer de deux façons.

Première méthode : on compte le nombre de billes dans un sachet, puis on multiplie par 4. Un sachet contient 3 + 2 billes, donc le total est 4(3 + 2). Comme 3 + 2 = 5, on obtient 4 × 5 = 20.

Deuxième méthode : on compte séparément les billes rouges et les billes bleues. Il y a 4 × 3 billes rouges et 4 × 2 billes bleues. Le total est donc 4 × 3 + 4 × 2 = 12 + 8 = 20.

Les deux méthodes comptent exactement les mêmes billes. On a donc 4(3 + 2) = 4 × 3 + 4 × 2. Cette idée se généralise : si l’on a k groupes contenant chacun a objets d’un type et b objets d’un autre type, le total est k(a + b), mais aussi ka + kb. C’est la distributivité.

Avec des rectangles, on peut aussi visualiser la propriété. Un grand rectangle de hauteur k et de longueur a + b peut être découpé en deux rectangles : l’un de dimensions k et a, l’autre de dimensions k et b. L’aire du grand rectangle est k(a + b). La somme des aires des deux petits rectangles est ka + kb. Comme il s’agit de la même surface, les deux expressions sont égales.

Cette démonstration donne du sens à la formule : le facteur k s’applique à toute la somme, donc à chacun des termes placés dans la parenthèse.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère la forme de l’expression. Si je vois une expression du type k(a + b), je peux développer. Par exemple, dans 3(x + 5), le facteur placé devant la parenthèse est 3.
2. Je multiplie le premier terme de la parenthèse. Dans 3(x + 5), je calcule 3 × x, ce qui s’écrit 3x.
3. Je multiplie le deuxième terme de la parenthèse. Toujours dans 3(x + 5), je calcule 3 × 5 = 15.
4. Je conserve le signe de la parenthèse. Ici, le signe est +, donc j’écris 3x + 15.
5. Je vérifie que chaque terme a été multiplié. Le x a été multiplié par 3 et le 5 aussi : le développement est correct.
6. Pour factoriser, je cherche un facteur commun. Dans 6y + 18, je remarque que 6y = 6 × y et 18 = 6 × 3.
7. J’écris le facteur commun devant la parenthèse. Ici, le facteur commun est 6, donc j’écris 6(... + ...).
8. Je complète la parenthèse avec les termes restants. Comme 6y + 18 = 6 × y + 6 × 3, on obtient 6(y + 3).
9. Je vérifie en redéveloppant. 6(y + 3) = 6y + 18, donc la factorisation est correcte.

Routine à retenir : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le facteur qui multiplie toute la parenthèse, j’applique la distributivité sur chaque terme, puis je vérifie que rien n’a été oublié.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut développer l’expression suivante : 8(x + 4).

On reconnaît la forme k(a + b). Ici, k = 8, a = x et b = 4. La règle est k(a + b) = ka + kb. On distribue donc le facteur 8 à chacun des deux termes de la parenthèse.

On écrit :

8(x + 4) = 8 × x + 8 × 4.

Comme 8 × x s’écrit 8x et 8 × 4 = 32, on obtient :

8(x + 4) = 8x + 32.

La forme développée est donc 8x + 32.

Pour vérifier, on peut choisir une valeur simple pour x, par exemple x = 2. Dans l’expression de départ, on a 8(2 + 4) = 8 × 6 = 48. Dans l’expression développée, on a 8 × 2 + 32 = 16 + 32 = 48. Les deux résultats sont identiques, ce qui confirme le développement.

Attention : il serait faux d’écrire 8(x + 4) = 8x + 4. Cette erreur vient du fait que le 4 n’a pas été multiplié par 8. Or le facteur 8 multiplie toute la parenthèse.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On veut factoriser l’expression suivante : 5a + 20.

Factoriser, c’est chercher un facteur commun et créer une parenthèse. On observe les deux termes : 5a et 20. Le premier terme s’écrit 5 × a. Le second terme peut s’écrire 5 × 4. On obtient donc :

5a + 20 = 5 × a + 5 × 4.

Le nombre 5 est présent dans les deux produits. C’est le facteur commun. On le met devant une parenthèse :

5 × a + 5 × 4 = 5(a + 4).

Donc :

5a + 20 = 5(a + 4).

Pour vérifier, on redéveloppe l’expression obtenue : 5(a + 4) = 5a + 5 × 4 = 5a + 20. On retrouve bien l’expression de départ. La factorisation est donc correcte.

Une erreur fréquente serait d’écrire 5a + 20 = 5(a + 20). Vérifions : 5(a + 20) = 5a + 100. Ce n’est pas égal à 5a + 20. Quand on factorise, on ne garde pas le deuxième terme tel quel : on doit le diviser par le facteur commun. Comme 20 = 5 × 4, le nombre qui reste dans la parenthèse est 4.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un club de sport achète des lots pour ses adhérents. Chaque lot contient un tee-shirt et une gourde. Le tee-shirt coûte x euros et la gourde coûte 6 euros. Le club achète 12 lots. On cherche à exprimer le coût total de deux façons.

Pour un lot, le prix est x + 6. Pour 12 lots, le prix total est donc :

12(x + 6).

Cette expression est une forme factorisée : le facteur 12 indique le nombre de lots, et la parenthèse représente le prix d’un lot.

On peut développer cette expression pour connaître séparément le prix total des tee-shirts et le prix total des gourdes :

12(x + 6) = 12 × x + 12 × 6.

Donc :

12(x + 6) = 12x + 72.

Cette forme développée signifie que les tee-shirts coûtent au total 12x euros et les gourdes coûtent au total 72 euros.

Si l’on sait que chaque tee-shirt coûte 9 €, alors x = 9. Avec la forme factorisée, on calcule : 12(9 + 6) = 12 × 15 = 180. Avec la forme développée, on calcule : 12 × 9 + 72 = 108 + 72 = 180. Les deux méthodes donnent le même coût total.

Ce problème montre que les deux écritures ont chacune un intérêt. La forme 12(x + 6) met en évidence les 12 lots identiques. La forme 12x + 72 met en évidence les deux types de dépenses. La distributivité permet de passer de l’une à l’autre sans changer la valeur de l’expression.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : écrire 6(y + 5) = 6y + 5 — À faire : multiplier les deux termes de la parenthèse : 6(y + 5) = 6y + 30. On peut entourer y et 5, puis tracer deux flèches depuis le 6.
• Erreur : confondre développer et factoriser — À faire : verbaliser le sens de la transformation. Développer enlève les parenthèses : 4(x + 2) = 4x + 8. Factoriser crée une parenthèse : 4x + 8 = 4(x + 2).
• Erreur : écrire 4x + 12 = 4(x + 12) — À faire : chercher ce qui reste après avoir mis 4 en facteur. Comme 12 = 4 × 3, on écrit 4x + 12 = 4(x + 3).
• Erreur : oublier le coefficient devant la lettre, par exemple 3(x + 2) = x + 6 — À faire : se rappeler que 3 × x = 3x. Le premier terme doit aussi être multiplié par 3.
• Erreur : ne pas voir le facteur commun dans 5a + 20 — À faire : décomposer chaque terme : 5a + 20 = 5 × a + 5 × 4, donc 5a + 20 = 5(a + 4).
• Erreur : oublier de vérifier — À faire : redévelopper une expression factorisée pour voir si l’on retrouve l’expression de départ.

10. À retenir

• La distributivité simple permet de développer une expression de la forme k(a + b).
• La formule essentielle est : k(a + b) = ka + kb.
• Le facteur placé devant la parenthèse multiplie chaque terme de la parenthèse.
• Dans 7(x + 3), le 7 multiplie x et il multiplie 3 : 7(x + 3) = 7x + 21.
• Factoriser, c’est faire l’opération inverse : ka + kb = k(a + b).
• Pour factoriser, on cherche un facteur commun aux deux termes.
• Dans 6x + 24, on écrit 6x + 24 = 6 × x + 6 × 4 = 6(x + 4).
• Développer donne souvent une somme ; factoriser donne souvent un produit.
• On peut vérifier une factorisation en redéveloppant.
• La présentation doit être claire : une ligne par étape aide à éviter les oublis.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur la distributivité simple en 5e. Cette fiche permet de s’entraîner à développer k(a + b), à factoriser une somme avec facteur commun et à choisir la bonne méthode selon la forme de l’expression.

Aperçu des types d’exercices proposés : Compléter le tableau avec des formes développées et factorisées ; répondre à des questions Vrai ou faux ? ; Recomposer la forme factorisée à partir d’une somme ; Écrire l’expression correspondant à une situation concrète ; Choisir la bonne méthode entre développer et factoriser.

Barème possible sur 10 points : reconnaissance de la structure k(a + b), 2 points ; développement correct des deux termes, 3 points ; repérage du facteur commun, 2 points ; factorisation correcte, 2 points ; présentation claire et vérification, 1 point. Pour réussir, il est conseillé de toujours écrire l’étape intermédiaire avec les multiplications : par exemple, 4(x + 7) = 4 × x + 4 × 7 = 4x + 28.

12. Questions fréquentes