Inégalité triangulaire

1. Introduction et problématique

Situation-problème : on veut construire un triangle avec trois baguettes de longueurs 4 cm, 5 cm et 8 cm. On trace d’abord un segment de 8 cm, puis on cherche à placer le troisième sommet à 4 cm d’une extrémité et à 5 cm de l’autre. Est-ce possible ? Les deux petites baguettes peuvent-elles « rejoindre » les deux extrémités du grand côté ? Ici, 4 + 5 = 9, et 8 est plus petit que 9 : la construction est possible. Mais avec 4 cm, 4 cm et 8 cm, les deux petites longueurs mises bout à bout mesurent exactement 8 cm : elles restent alignées sur le grand segment et ne forment pas un vrai triangle.

En classe de 5e, l’inégalité triangulaire permet de répondre rigoureusement à une question importante : trois longueurs données peuvent-elles être les côtés d’un triangle ? Cette notion est utile pour construire des triangles, vérifier une figure, justifier une réponse et éviter de confondre un triangle avec trois points alignés.

L’objectif est donc de comprendre la phrase clé : dans un triangle, chaque côté est plus petit que la somme des deux autres. Pour tester rapidement trois longueurs, on repère le plus grand côté, puis on le compare à la somme des deux autres. Cette méthode est appelée test de constructibilité d’un triangle.

2. Définition

Définition : L’inégalité triangulaire est la propriété suivante : dans un triangle, la longueur de chaque côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Si un triangle a pour côtés les longueurs a, b et c, alors on doit avoir :

• a < b + c ;
• b < a + c ;
• c < a + b.

Le symbole < signifie « est strictement inférieur à ». Le mot « strictement » est très important : si une longueur est égale à la somme des deux autres, on n’obtient pas un triangle, mais trois points alignés.

Par exemple, avec 3 cm, 4 cm et 5 cm, on a bien 5 < 3 + 4, car 5 < 7. Le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres : le triangle est constructible. En revanche, avec 2 cm, 3 cm et 6 cm, on a 6 > 2 + 3, car 6 > 5 : les deux petites longueurs ne suffisent pas pour rejoindre les extrémités du grand côté.

Le mot repère est « triangle » : tri-an-gle. Un triangle est une figure fermée formée par trois segments. Si les segments ne peuvent pas fermer la figure, le triangle n’existe pas.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Trois longueurs positives permettent de construire un triangle si, et seulement si, la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres.

Ce théorème est la forme la plus pratique de l’inégalité triangulaire en 5e. Au lieu de vérifier les trois inégalités, on peut se concentrer sur la plus grande longueur. En effet, si la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres, alors les deux autres inégalités sont automatiquement vraies.

Pour des longueurs a, b et c, si a est la plus grande longueur, le test devient simplement :

Si a < b + c, alors le triangle est constructible.

Si a = b + c, alors le triangle n’est pas constructible comme triangle non aplati. Les trois points sont alignés : on parle parfois de triangle « aplati », mais ce n’est pas un triangle au sens habituel de la géométrie du collège.

Si a > b + c, alors le triangle est impossible à construire. Les deux petits côtés sont trop courts pour se rejoindre au-dessus ou au-dessous du plus grand côté.

Cette propriété est utilisée dans les constructions au compas : les deux arcs de cercle doivent se couper pour former le troisième sommet. S’ils ne se coupent pas, le triangle n’est pas constructible.

4. Démonstration

On peut comprendre l’inégalité triangulaire à partir d’une idée simple : le chemin le plus court entre deux points est le segment qui les relie directement. Dans un triangle ABC, pour aller de A à B, le chemin direct est le segment [AB]. Un autre chemin consiste à aller de A à C, puis de C à B. Ce deuxième chemin a pour longueur AC + CB.

Comme le segment [AB] est le chemin le plus court entre A et B, on a nécessairement :

AB < AC + CB, lorsque les trois points A, B et C ne sont pas alignés.

On peut refaire le même raisonnement pour les autres côtés :

• AC < AB + BC ;
• BC < BA + AC.

Cette démonstration explique pourquoi l’égalité ne suffit pas. Si AB = AC + CB, cela signifie que le trajet de A à C puis de C à B est aussi court que le segment direct [AB]. Cela n’arrive que lorsque C est situé sur le segment [AB], donc lorsque les trois points sont alignés. Dans ce cas, la figure n’est pas un triangle : elle n’a pas trois sommets formant une surface.

Avec le compas, on peut aussi visualiser cette propriété. On trace un segment [AB] de longueur a. Puis on trace un cercle de centre A et de rayon b, et un cercle de centre B et de rayon c. Si les cercles se coupent, leurs points d’intersection peuvent être le sommet C du triangle. Si les cercles sont trop éloignés, ils ne se coupent pas. Si les cercles se touchent en un seul point aligné avec A et B, on obtient un cas d’égalité, donc pas un vrai triangle.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : je cherche la plus grande des trois longueurs. Je peux les ranger dans l’ordre croissant pour éviter les erreurs.
2. J’applique : j’additionne uniquement les deux autres longueurs, c’est-à-dire les deux longueurs qui ne sont pas la plus grande.
3. Je compare : je compare le plus grand côté avec la somme obtenue.
4. Je conclus : si le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres, le triangle est constructible.
5. Je rédige : j’écris une phrase complète avec les unités : « Le plus grand côté est ..., or ... + ... = ..., donc ... »

Phrase modèle à retenir : « Le plus grand côté mesure a cm. Or b + c = d cm et a < d. Donc le triangle est constructible. »

Si la comparaison donne une égalité, il faut écrire : « Le plus grand côté est égal à la somme des deux autres. Les trois points seraient alignés, donc le triangle n’est pas constructible. »

Si la comparaison donne une longueur trop grande, il faut écrire : « Le plus grand côté est supérieur à la somme des deux autres. Les deux autres côtés sont trop courts, donc le triangle n’est pas constructible. »

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut savoir si un triangle peut avoir pour côtés 4 cm, 5 cm et 8 cm.

Étape 1 : repérer le plus grand côté. Les longueurs sont 4 cm, 5 cm et 8 cm. Le plus grand côté est 8 cm.

Étape 2 : additionner les deux autres longueurs. Les deux autres longueurs sont 4 cm et 5 cm. On calcule :

4 + 5 = 9.

Étape 3 : comparer. On compare 8 cm et 9 cm :

8 < 9.

Étape 4 : conclure. Le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres. Donc le triangle de côtés 4 cm, 5 cm et 8 cm est constructible.

On peut même imaginer la construction. On trace un segment de 8 cm. Avec le compas, on trace un cercle de rayon 4 cm depuis une extrémité et un cercle de rayon 5 cm depuis l’autre extrémité. Comme les deux cercles se coupent, un point d’intersection donne le troisième sommet du triangle.

La rédaction attendue en contrôle peut être : « Le plus grand côté mesure 8 cm. Or 4 + 5 = 9 cm et 8 < 9. D’après l’inégalité triangulaire, le triangle est constructible. »

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On veut savoir si un triangle peut avoir pour côtés 4 cm, 4 cm et 8 cm.

Étape 1 : repérer le plus grand côté. Le plus grand côté est 8 cm.

Étape 2 : additionner les deux autres longueurs. Les deux autres longueurs sont 4 cm et 4 cm. On calcule :

4 + 4 = 8.

Étape 3 : comparer. On compare 8 cm et 8 cm :

8 = 8.

Étape 4 : conclure. Il y a égalité. Or, pour construire un vrai triangle, l’inégalité doit être stricte. Il faudrait avoir 8 < 8, ce qui est faux. Donc le triangle de côtés 4 cm, 4 cm et 8 cm n’est pas constructible.

Cette situation correspond à trois points alignés. Les deux segments de 4 cm placés bout à bout remplissent exactement le segment de 8 cm. La figure ne se ferme pas en formant une surface triangulaire. Elle reste « plate ».

Rédaction attendue : « Le plus grand côté mesure 8 cm. Or 4 + 4 = 8 cm. Le plus grand côté est égal à la somme des deux autres, donc les points seraient alignés. Le triangle n’est pas constructible. »

Attention : beaucoup d’élèves pensent que l’égalité suffit. C’est l’erreur la plus fréquente. Il faut retenir le mot strictement : le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un menuisier veut fabriquer un cadre triangulaire avec trois baguettes de bois mesurant 12,5 cm, 7 cm et 4,8 cm. Peut-il former un triangle avec ces trois baguettes ?

Étape 1 : repérer le plus grand côté. Les longueurs sont 12,5 cm, 7 cm et 4,8 cm. La plus grande longueur est 12,5 cm.

Étape 2 : additionner les deux autres longueurs. On calcule :

7 + 4,8 = 11,8.

Étape 3 : comparer. On compare 12,5 cm et 11,8 cm :

12,5 > 11,8.

Étape 4 : conclure. Le plus grand côté est supérieur à la somme des deux autres. Les deux petites baguettes ne sont pas assez longues pour rejoindre les deux extrémités de la plus grande. Le menuisier ne peut donc pas former un triangle avec ces trois baguettes.

Rédaction complète : « Le plus grand côté mesure 12,5 cm. Or 7 + 4,8 = 11,8 cm et 12,5 > 11,8. D’après le test de constructibilité, le triangle n’est pas constructible. »

Ce type de problème montre que la règle fonctionne aussi avec des nombres décimaux. Il faut simplement faire attention aux additions à virgule et vérifier que toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité : cm avec cm, m avec m, mm avec mm.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : additionner les trois longueurs. — À faire : ne pas calculer le périmètre ; il faut additionner seulement les deux longueurs qui ne sont pas le plus grand côté.
• Erreur : accepter le cas d’égalité, par exemple 4 + 4 = 8. — À faire : vérifier que l’inégalité est stricte ; avec une égalité, les trois points sont alignés.
• Erreur : comparer une petite longueur avec la somme des deux autres. — À faire : repérer d’abord la plus grande longueur, puis comparer cette longueur à la somme des deux autres.
• Erreur : répondre seulement « oui » ou « non ». — À faire : rédiger une justification complète : « Le plus grand côté est ..., or ... + ... = ..., donc ... »
• Erreur : se tromper dans les additions avec des nombres décimaux. — À faire : aligner les virgules, vérifier les unités et relire la comparaison finale.
• Erreur : oublier l’unité dans la réponse. — À faire : écrire les longueurs avec leur unité, par exemple cm, m ou mm.

Une bonne habitude consiste à ranger les trois longueurs dans l’ordre croissant avant de commencer. Par exemple, pour 6,2 cm, 3,5 cm et 4 cm, on écrit : 3,5 cm < 4 cm < 6,2 cm. Le plus grand côté est donc 6,2 cm. On calcule ensuite 3,5 + 4 = 7,5, puis on compare 6,2 et 7,5.

10. À retenir

• Dans un triangle, chaque côté est plus petit que la somme des deux autres.
• Pour tester trois longueurs, on compare le plus grand côté à la somme des deux autres.
• Si le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres, le triangle est constructible.
• Si le plus grand côté est égal à la somme des deux autres, les points sont alignés : ce n’est pas un vrai triangle.
• Si le plus grand côté est supérieur à la somme des deux autres, le triangle est impossible à construire.
• Le test ne consiste pas à calculer le périmètre : on n’additionne pas les trois longueurs.
• La règle fonctionne avec des longueurs entières ou décimales, si elles sont toutes dans la même unité.

Routine à mémoriser : 🔎 Je repère la plus grande longueur ; ➕ j’applique en additionnant les deux autres ; ✅ je vérifie si le plus grand côté est strictement inférieur à cette somme.

Formule de rédaction : « Le plus grand côté est ... . Or ... + ... = ... . Comme ... < ... , le triangle est constructible. » Ou bien : « Comme ... ≥ ... , le triangle n’est pas constructible. »

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices sur l’inégalité triangulaire en 5e.

Aperçu des types d’exercices proposés : comparer des longueurs, répondre par vrai ou faux, remettre un raisonnement dans l’ordre, écrire une justification complète, choisir une longueur possible pour qu’un triangle soit constructible.

Exemple d’exercice 1 : dire si les triangles suivants sont constructibles : 3 cm, 5 cm, 7 cm ; 2 cm, 4 cm, 8 cm ; 6 cm, 6 cm, 12 cm ; 4,5 cm, 5 cm, 8 cm.

Exemple d’exercice 2 : compléter la phrase : « Le plus grand côté est ... cm. Or ... + ... = ... cm. Comme ... , le triangle est ... »

Exemple d’exercice 3 : trouver une longueur entière possible pour compléter un triangle ayant déjà deux côtés de 5 cm et 9 cm. Il faut choisir une troisième longueur qui respecte l’inégalité triangulaire.

Barème conseillé sur 10 points : repérer le plus grand côté, 2 points ; calculer la somme des deux autres côtés, 2 points ; comparer correctement les longueurs, 2 points ; conclure sur la constructibilité du triangle, 2 points ; rédiger une justification claire avec les unités, 2 points.

12. Questions fréquentes