Moyenne d'une série statistique

1. Introduction et problématique

En classe de 5e, on rencontre souvent des séries de nombres : notes obtenues à des contrôles, températures relevées pendant une semaine, temps mis par des élèves pour courir une distance, nombre de livres lus dans une classe, prix d’objets dans un magasin. Une question revient très souvent : comment résumer toute une série par un seul nombre représentatif ? Ce nombre s’appelle la moyenne.

Imaginons la situation suivante : trois élèves ont obtenu les notes 10, 12 et 14 à un devoir. Si l’on veut connaître la note « moyenne » du groupe, on additionne les trois notes puis on partage équitablement le total entre les trois élèves. On calcule donc : (10 + 12 + 14) ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12. La moyenne est 12.

Cette idée de partage est essentielle. La moyenne n’est pas seulement un calcul mécanique : elle représente la valeur que chaque donnée aurait si toutes les valeurs étaient réparties de façon égale, tout en gardant la même somme totale. Dans l’exemple des notes, la somme totale est 36 points. Si chacun avait 12 points, la somme resterait 36 points.

Mais les situations peuvent être plus complexes. Par exemple, dans une classe, trois élèves ont eu 10, cinq élèves ont eu 12 et deux élèves ont eu 15. Il serait long d’écrire toutes les notes une par une. On utilise alors les effectifs, c’est-à-dire le nombre de fois où chaque valeur apparaît. On parle alors de moyenne pondérée.

La problématique de cette leçon est donc la suivante : comment calculer correctement une moyenne arithmétique ou une moyenne pondérée, et comment vérifier que le résultat obtenu est cohérent ?

2. Définition

Définition : La moyenne arithmétique d’une série statistique est le nombre obtenu en additionnant toutes les valeurs de la série, puis en divisant cette somme par le nombre total de valeurs.

On retient la formule suivante :

moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs

En majuscules, on peut retenir : MOYENNE ARITHMÉTIQUE.

Par exemple, pour les valeurs 8, 11, 13 et 16, la somme des valeurs est 8 + 11 + 13 + 16 = 48. Il y a 4 valeurs. La moyenne est donc 48 ÷ 4 = 12.

Définition : L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. L’effectif total est le nombre total de données de la série.

On retient : effectif total = nombre total de données. En majuscules : EFFECTIF TOTAL.

Définition : La moyenne pondérée d’une série statistique dont les valeurs sont regroupées avec des effectifs est le quotient de la somme des produits « valeur × effectif » par l’effectif total.

On retient la formule :

moyenne pondérée = somme des produits valeur × effectif ÷ effectif total

En majuscules : MOYENNE PONDÉRÉE.

Le mot repère est moyenne, que l’on peut découper en syllabes : moy-enne. Il faut l’associer à l’idée de partage équitable : on répartit une somme totale entre toutes les données.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : La moyenne d’une série statistique est toujours comprise entre la plus petite valeur et la plus grande valeur de cette série.

Cette propriété est très utile pour vérifier un résultat. Si les valeurs d’une série sont 6, 8, 12 et 14, la moyenne doit être comprise entre 6 et 14. Si l’on trouve 18 ou 3, il y a nécessairement une erreur de calcul, de diviseur ou de méthode.

Théorème : Lorsque toutes les valeurs d’une série sont identiques, la moyenne est égale à cette valeur commune.

Par exemple, la moyenne de 9, 9, 9, 9 et 9 est 9. En effet, la somme vaut 45 et il y a 5 valeurs, donc 45 ÷ 5 = 9.

Théorème : Dans un tableau avec effectifs, une valeur d’effectif 3 compte trois fois dans le calcul de la moyenne.

Dire que la valeur 10 a pour effectif 3 signifie que la série contient 10, 10 et 10. Dans une moyenne pondérée, cela se traduit par le produit 10 × 3.

Ces propriétés correspondent aux attendus du cycle 4 dans le programme de mathématiques : organiser et gérer des données, lire un tableau, calculer des indicateurs simples et interpréter un résultat dans son contexte.

4. Démonstration

Pour comprendre la formule de la moyenne, partons d’une série simple : 6, 8 et 10. La somme des valeurs est 6 + 8 + 10 = 24. Si l’on veut remplacer ces trois valeurs par une même valeur, tout en conservant la même somme totale, on cherche un nombre qui, répété trois fois, donne 24.

On cherche donc un nombre m tel que m + m + m = 24, c’est-à-dire 3 × m = 24. Pour trouver m, on divise 24 par 3 : m = 24 ÷ 3 = 8. La moyenne est donc 8.

Cette démonstration montre pourquoi on divise par le nombre de valeurs. La division correspond au partage équitable de la somme totale entre toutes les données de la série.

Dans le cas d’une moyenne pondérée, le raisonnement est le même, mais certaines valeurs apparaissent plusieurs fois. Prenons un tableau :

Ce tableau représente la série : 6, 6, 8, 8, 8, 10. La somme des valeurs est 6 + 6 + 8 + 8 + 8 + 10 = 46. On peut aussi calculer cette somme plus rapidement : 6 × 2 + 8 × 3 + 10 × 1 = 12 + 24 + 10 = 46.

L’effectif total est 2 + 3 + 1 = 6. La moyenne est donc 46 ÷ 6 = 7,666... On peut écrire environ 7,67 si l’on arrondit au centième.

La formule de la moyenne pondérée est donc une façon plus rapide d’additionner toutes les valeurs quand elles sont regroupées avec des effectifs.

5. Méthode pas à pas

Pour calculer une moyenne, on peut utiliser la routine : Je repère / J’applique / Je vérifie.

1. 🔎 Je repère : je repère les valeurs de la série. Si un tableau est donné, je repère aussi les effectifs. Je vérifie si chaque valeur apparaît une seule fois ou plusieurs fois.
2. Je choisis la méthode : si les valeurs sont écrites une par une, j’utilise la moyenne arithmétique simple. Si les valeurs sont données avec des effectifs, j’utilise la moyenne pondérée.
3. 🧮 J’applique : pour une moyenne simple, je calcule la somme des valeurs puis je divise par le nombre de valeurs.
4. 🧮 J’applique : pour une moyenne pondérée, je calcule les produits valeur × effectif, j’additionne ces produits, puis je divise par l’effectif total.
5. Je soigne le diviseur : le diviseur est toujours le nombre total de données. Dans un tableau, ce nombre est l’effectif total, c’est-à-dire la somme des effectifs.
6. ✅ Je vérifie : je contrôle que la moyenne est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.
7. Je conclus : j’écris une phrase avec l’unité adaptée : points, euros, degrés, minutes, kilomètres, etc.

Il est conseillé d’écrire les étapes du calcul clairement, surtout dans un problème. Une réponse sans calcul ou sans phrase finale est souvent incomplète.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On veut calculer la moyenne des notes suivantes : 9, 12, 15, 10 et 14.

Étape 1 : repérer les valeurs. Les valeurs sont 9, 12, 15, 10 et 14. Il y a 5 valeurs.

Étape 2 : calculer la somme.

9 + 12 + 15 + 10 + 14 = 60

Étape 3 : diviser par le nombre de valeurs.

60 ÷ 5 = 12

Conclusion : la moyenne des notes est 12.

Vérification : la plus petite note est 9 et la plus grande est 15. La moyenne 12 est bien comprise entre 9 et 15. Le résultat est cohérent.

Dans cet exemple, on utilise la formule : moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs. C’est une moyenne arithmétique simple, car les notes sont écrites une par une.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Dans certains exercices, on connaît la moyenne et on cherche une valeur manquante. C’est un cas inverse.

Énoncé : quatre notes ont pour moyenne 13. Trois notes sont connues : 12, 15 et 11. Quelle est la quatrième note ?

Étape 1 : utiliser le sens de la moyenne. La moyenne de 4 notes est 13. Cela signifie que la somme totale des 4 notes est :

13 × 4 = 52

Étape 2 : calculer la somme des notes connues.

12 + 15 + 11 = 38

Étape 3 : trouver la note manquante.

52 − 38 = 14

Conclusion : la quatrième note est 14.

Vérification : si les notes sont 12, 15, 11 et 14, leur somme est 52. La moyenne vaut 52 ÷ 4 = 13. Le résultat est donc correct.

Ce type d’exercice est important, car il montre que la moyenne peut aussi être utilisée pour retrouver une donnée manquante. Il faut d’abord retrouver la somme totale, puis comparer avec la somme déjà connue.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Dans un club de sport, on a relevé le nombre de buts marqués par des joueurs pendant un tournoi. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

On cherche le nombre moyen de buts marqués par joueur.

Étape 1 : repérer les valeurs et les effectifs. Les valeurs sont 0, 1, 2 et 3. Les effectifs sont 3, 5, 4 et 2.

Étape 2 : calculer l’effectif total.

3 + 5 + 4 + 2 = 14

Il y a donc 14 joueurs.

Étape 3 : calculer la somme des produits valeur × effectif.

0 × 3 + 1 × 5 + 2 × 4 + 3 × 2 = 0 + 5 + 8 + 6 = 19

Étape 4 : diviser par l’effectif total.

19 ÷ 14 ≈ 1,36

Conclusion : les joueurs ont marqué en moyenne environ 1,36 but chacun.

Vérification : la plus petite valeur est 0 et la plus grande est 3. La moyenne 1,36 est bien comprise entre 0 et 3. Le résultat est cohérent.

On remarque qu’une moyenne n’est pas forcément une valeur possible de la série. Ici, aucun joueur n’a marqué 1,36 but, mais ce nombre résume la série.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : additionner les valeurs mais oublier de diviser — À faire : se rappeler qu’une moyenne est une valeur de partage ; après la somme, il faut toujours diviser par le nombre total de données.
• Erreur : diviser par le nombre de valeurs différentes au lieu de l’effectif total — À faire : calculer d’abord l’effectif total et entourer le diviseur.
• Erreur : additionner les effectifs sans multiplier par les valeurs — À faire : reformuler : une valeur 10 avec effectif 3 signifie 10 + 10 + 10, donc 10 × 3.
• Erreur : obtenir une moyenne en dehors de l’intervalle des valeurs — À faire : vérifier que la moyenne est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.
• Erreur : oublier l’unité dans la réponse — À faire : rédiger une phrase finale : la moyenne est de 12 points, 18 euros, 7 degrés, etc.
• Erreur : arrondir trop tôt dans un calcul — À faire : garder le quotient exact le plus longtemps possible, puis arrondir seulement à la fin si c’est demandé.
• Erreur : confondre moyenne et valeur la plus fréquente — À faire : distinguer la moyenne, qui utilise toutes les valeurs, et la valeur la plus fréquente, qui apparaît le plus souvent.

10. À retenir

• La moyenne arithmétique se calcule avec la formule : moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs.
• La moyenne pondérée s’utilise quand les valeurs sont données avec des effectifs.
• La formule de la moyenne pondérée est : moyenne pondérée = somme des produits valeur × effectif ÷ effectif total.
• L’effectif total est le nombre total de données de la série.
• Une valeur d’effectif 4 compte quatre fois dans la série.
• La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.
• Une moyenne peut être un nombre décimal qui n’apparaît pas dans la série.
• Dans un problème, il faut écrire une phrase de conclusion avec l’unité.
• Pour vérifier son travail, on applique la routine : Je repère / J’applique / Je vérifie.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Moyenne d’une série statistique — 5e » avec corrigé et barème.

Les exercices proposés permettent de s’entraîner progressivement. On commence par des calculs directs de moyenne simple, puis on apprend à choisir entre moyenne arithmétique et moyenne pondérée. On travaille ensuite la rédaction du calcul, l’ordre des étapes et la résolution de problèmes concrets.

Types d’exercices disponibles :

• Calculer une moyenne simple : additionner les valeurs puis diviser par le nombre de valeurs.
• Choisir la bonne méthode : reconnaître si l’on doit utiliser une moyenne simple ou une moyenne pondérée.
• Remettre les étapes dans l’ordre : identifier les valeurs, calculer la somme, choisir le diviseur, conclure.
• Écrire le calcul : présenter correctement une moyenne pondérée avec les produits valeur × effectif.
• Résoudre un problème : interpréter une moyenne dans un contexte de notes, de prix, de températures ou de sport.

Barème possible sur 10 points : identifier les valeurs et les effectifs, 2 pts ; calculer correctement la somme ou les produits valeur × effectif, 3 pts ; utiliser le bon diviseur, 2 pts ; donner un résultat exact ou arrondi correctement, 2 pts ; rédiger une réponse cohérente avec l’unité, 1 pt.

12. Questions fréquentes