Parallélogramme : propriétés et constructions

1. Introduction et problématique

Situation-problème : on veut construire le plan d’un petit jardin en forme de quadrilatère ABCD. Le côté [AB] mesure 5 cm sur le plan et le côté [AD] mesure 3 cm. Pour que les bordures opposées soient bien alignées et que le jardin ait une forme régulière, on impose que AB ∥ CD et AD ∥ BC. Comment placer le point C avec précision ? Comment vérifier ensuite que la figure obtenue est bien un parallélogramme ?

En classe de 5e, l’étude du parallélogramme permet de relier plusieurs compétences du programme de mathématiques : reconnaître une figure grâce à ses propriétés, construire avec les instruments, raisonner à partir d’informations données et rédiger une justification. Le mot repère est parallélogramme, que l’on peut découper en syllabes : pa-ral-lé-lo-gramme. Il désigne un quadrilatère particulier, c’est-à-dire une figure à quatre côtés.

Dans cette leçon, on apprend à utiliser les expressions importantes : AB ∥ CD et AD ∥ BC, ce qui signifie que les côtés opposés sont parallèles ; AB = CD et AD = BC, ce qui signifie que les côtés opposés ont la même longueur ; et les diagonales ont le même milieu. Ces propriétés permettent à la fois de reconnaître, de prouver et de construire un parallélogramme.

2. Définition

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Si ABCD est un parallélogramme, alors les côtés [AB] et [CD] sont opposés, et les côtés [AD] et [BC] sont opposés. On écrit : AB ∥ CD et AD ∥ BC. Attention : dans le nom ABCD, les lettres se lisent dans l’ordre des sommets autour de la figure. Les côtés sont donc [AB], [BC], [CD] et [DA]. Les côtés [AB] et [BC] sont adjacents, car ils se touchent en B. Les côtés [AB] et [CD] sont opposés, car ils ne se touchent pas.

Un parallélogramme peut avoir plusieurs formes. Il peut être « penché », comme une sorte de rectangle incliné. Certains parallélogrammes particuliers ont des noms : le rectangle est un parallélogramme qui possède des angles droits ; le losange est un parallélogramme qui possède quatre côtés de même longueur ; le carré est à la fois un rectangle et un losange. Mais un parallélogramme quelconque n’a pas forcément quatre côtés égaux, ni quatre angles droits.

Exemple de phrase à connaître : « Dans le quadrilatère ABCD, si AB ∥ CD et AD ∥ BC, alors ABCD est un parallélogramme. » Cette phrase utilise directement la définition.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, ses côtés opposés sont de même longueur et ses diagonales se coupent en leur milieu.

Les propriétés du parallélogramme sont des résultats que l’on peut utiliser lorsqu’on sait déjà qu’une figure est un parallélogramme. Dans un parallélogramme ABCD, on a donc : AB ∥ CD et AD ∥ BC ; AB = CD et AD = BC ; les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu. Si O est le point d’intersection des diagonales, alors O est le milieu de [AC] et aussi le milieu de [BD]. On peut écrire : OA = OC et OB = OD.

Il existe aussi des propriétés caractéristiques. Une propriété caractéristique sert à prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme. Par exemple : si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c’est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme. Si un quadrilatère a deux côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme. Cette dernière formulation est très utile : deux côtés opposés parallèles et de même longueur suffisent.

Il faut bien distinguer propriété directe et propriété réciproque. Propriété directe : « Si ABCD est un parallélogramme, alors AB = CD et AD = BC. » Propriété réciproque ou caractéristique : « Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c’est un parallélogramme. » En rédaction, cette distinction évite les justifications incomplètes.

4. Démonstration

Au collège, on ne demande pas toujours de démontrer toutes les propriétés du parallélogramme de manière très formelle, mais il est important de comprendre pourquoi elles sont vraies. Prenons un parallélogramme ABCD. Par définition, AB ∥ CD et AD ∥ BC. Traçons la diagonale [AC]. Elle partage le parallélogramme en deux triangles : le triangle ABC et le triangle CDA.

Comme AB ∥ CD, les angles alternes-internes formés avec la sécante (AC) sont égaux. De même, comme AD ∥ BC, d’autres angles alternes-internes sont égaux. Les deux triangles ABC et CDA ont donc des angles correspondants égaux et le côté [AC] en commun. On admet alors que ces deux triangles sont superposables dans cette configuration. On en déduit que les côtés correspondants ont la même longueur : AB = CD et BC = AD. Voilà pourquoi, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur.

Pour les diagonales, on peut raisonner avec leur point d’intersection O. Dans un parallélogramme, les parallélismes créent des triangles qui se correspondent autour de O. On obtient que OA = OC et OB = OD. Cela signifie que O est à la fois le milieu de [AC] et le milieu de [BD]. Les diagonales ont donc le même milieu. Cette propriété est très pratique en construction : si on connaît le milieu commun, on peut placer les sommets opposés par symétrie centrale.

On retient surtout l’idée suivante : le parallélogramme est une figure très équilibrée. Les côtés opposés se répondent, les longueurs opposées se répondent, et les diagonales se coupent exactement en leur milieu.

5. Méthode pas à pas

Pour réussir un exercice sur le parallélogramme en 5e, on peut utiliser la routine : Je repère / J’applique / Je vérifie.

1. Je repère : je lis attentivement l’énoncé et j’observe la figure. Je cherche les informations données : côtés parallèles, longueurs égales, milieu des diagonales ou codages. Par exemple, je repère si AB ∥ CD, si AD ∥ BC, si AB = CD ou si un point O est milieu de deux diagonales.
2. J’identifie les côtés : dans le quadrilatère ABCD, les côtés sont [AB], [BC], [CD] et [DA]. Les côtés opposés sont [AB] et [CD], puis [AD] et [BC]. Cela évite de confondre côté opposé et côté adjacent.
3. J’applique la propriété adaptée : si je sais déjà que ABCD est un parallélogramme, j’utilise les propriétés directes : côtés opposés parallèles, côtés opposés égaux, diagonales de même milieu. Si je dois prouver que ABCD est un parallélogramme, j’utilise une propriété caractéristique.
4. Je construis avec précision : pour construire un parallélogramme à partir de trois sommets A, B et D, je trace par B la parallèle à (AD), puis par D la parallèle à (AB). Le point d’intersection des deux droites est C.
5. Je vérifie : je contrôle que le quadrilatère obtenu possède bien une propriété caractéristique du parallélogramme. Par exemple, je vérifie que AB ∥ CD et AD ∥ BC, ou que les diagonales ont le même milieu.
6. Je rédige : j’utilise une phrase claire avec « On sait que », « Or » et « Donc ». Exemple : « On sait que AB ∥ CD et AD ∥ BC. Or, si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c’est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme. »

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : ABCD est un parallélogramme. On donne AB = 6 cm et AD = 4 cm. Déterminer les longueurs CD et BC.

Solution : on sait que ABCD est un parallélogramme. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Les côtés opposés à [AB] et [AD] sont respectivement [CD] et [BC]. Donc AB = CD et AD = BC.

Comme AB = 6 cm, on obtient CD = 6 cm. Comme AD = 4 cm, on obtient BC = 4 cm.

Réponse : CD = 6 cm et BC = 4 cm.

Ce premier exemple est un cas direct : on sait déjà que la figure est un parallélogramme, donc on utilise ses propriétés. Il ne faut pas écrire que les quatre côtés sont égaux. Ce serait vrai pour un losange, mais pas pour un parallélogramme quelconque. Ici, seules les longueurs des côtés opposés sont égales deux à deux.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : dans un quadrilatère EFGH, les diagonales [EG] et [FH] se coupent en un point O. On sait que OE = OG et OF = OH. Prouver que EFGH est un parallélogramme.

Solution : les égalités OE = OG et OF = OH signifient que O est le milieu de [EG] et aussi le milieu de [FH]. Les diagonales [EG] et [FH] ont donc le même milieu.

Or, si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc EFGH est un parallélogramme.

Rédaction complète : « On sait que OE = OG et OF = OH. Donc O est le milieu de [EG] et le milieu de [FH]. Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme. Donc EFGH est un parallélogramme. »

Ce deuxième exemple est un cas inverse : on ne sait pas au départ que la figure est un parallélogramme. On doit le démontrer grâce à une propriété caractéristique. La propriété des diagonales est souvent très efficace, surtout lorsqu’un exercice donne un point milieu ou des longueurs de demi-diagonales.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : un menuisier veut fabriquer un cadre en forme de parallélogramme ABCD. Il a déjà fixé les points A, B et D sur son plan. Le segment [AB] mesure 8 cm et le segment [AD] mesure 5 cm. Il veut placer le point C pour que ABCD soit un parallélogramme. Expliquer la construction, puis donner les longueurs CD et BC.

Construction : on place les points A, B et D. Pour obtenir le quatrième sommet C, on trace par B la droite parallèle à (AD). Ensuite, on trace par D la droite parallèle à (AB). Les deux droites tracées se coupent en C. Ainsi, on a AD ∥ BC et AB ∥ CD. Le quadrilatère ABCD a ses côtés opposés parallèles deux à deux : c’est donc un parallélogramme.

Calcul des longueurs : dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Donc CD = AB et BC = AD. Comme AB = 8 cm et AD = 5 cm, on obtient CD = 8 cm et BC = 5 cm.

Réponse : le point C est l’intersection de la parallèle à (AD) passant par B et de la parallèle à (AB) passant par D. Les longueurs sont CD = 8 cm et BC = 5 cm.

Pour une construction propre, il faut utiliser la règle et l’équerre. On peut aussi utiliser un compas pour reporter des longueurs, mais le point essentiel reste le tracé des parallèles. Une figure approximative ne suffit pas : les droites doivent être parallèles avec soin.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : penser que tous les parallélogrammes ont quatre côtés égaux — À faire : distinguer parallélogramme et losange. Dans un parallélogramme quelconque, seuls les côtés opposés sont de même longueur.
• Erreur : affirmer que les diagonales sont toujours perpendiculaires — À faire : se rappeler que les diagonales d’un parallélogramme ont le même milieu, mais ne sont pas forcément perpendiculaires.
• Erreur : dire que les diagonales ont toujours la même longueur — À faire : ne pas confondre avec le rectangle. Dans un parallélogramme quelconque, les diagonales se coupent en leur milieu, mais elles n’ont pas nécessairement la même longueur.
• Erreur : oublier de justifier avec une propriété — À faire : utiliser une rédaction mathématique : « On sait que… Or… Donc… ».
• Erreur : confondre côté opposé et côté adjacent — À faire : lire le nom du quadrilatère dans l’ordre des sommets. Dans ABCD, [AB] et [CD] sont opposés ; [AD] et [BC] sont opposés.
• Erreur : faire une construction approximative — À faire : tracer les parallèles avec la règle et l’équerre, coder la figure et vérifier les propriétés obtenues.

10. À retenir

• Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
• Dans un parallélogramme ABCD, on a AB ∥ CD et AD ∥ BC.
• Dans un parallélogramme ABCD, les côtés opposés sont de même longueur : AB = CD et AD = BC.
• Les diagonales d’un parallélogramme ont le même milieu. Si O est leur point d’intersection, alors OA = OC et OB = OD.
• Pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on peut montrer que ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
• On peut aussi montrer que ses diagonales ont le même milieu.
• Une autre propriété caractéristique utile : si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
• Pour construire ABCD à partir de A, B et D, on trace par B la parallèle à (AD), puis par D la parallèle à (AB). Leur intersection est C.
• Un parallélogramme n’est pas forcément un rectangle, ni un losange, ni un carré.

11. Exercices d'application

Pour s’entraîner, on peut télécharger la fiche d’exercices au format PDF : Parallélogramme 5e — propriétés et constructions. Elle propose des exercices progressifs pour reconnaître les propriétés, choisir la bonne propriété, remettre une justification dans l’ordre, construire un parallélogramme et calculer avec les propriétés.

Aperçu des types d’exercices : dans un premier exercice, il faut identifier les phrases vraies comme « les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles » ou « les diagonales ont le même milieu ». Dans un deuxième exercice, il faut choisir la propriété adaptée à une situation donnée : longueurs égales, parallélisme, milieu commun des diagonales. Dans un troisième exercice, il faut remettre une démonstration dans l’ordre avec « On sait que / Or / Donc ». Dans un quatrième exercice, il faut construire un parallélogramme ABCD à partir de trois sommets A, B et D, puis coder les parallèles. Dans un cinquième exercice, il faut calculer des longueurs ou utiliser des égalités comme AB = CD et AD = BC.

Barème conseillé sur 20 points : reconnaissance des propriétés de base, 4 points ; choix de la propriété adaptée, 4 points ; justification rédigée dans un ordre logique, 4 points ; construction correcte avec instruments et codages, 4 points ; calculs de longueurs ou d’angles à partir des propriétés, 4 points. Pour progresser, il faut soigner à la fois le raisonnement et la précision de la figure.

12. Questions fréquentes