Pourcentages : augmentation et réduction

1. Introduction et problématique

Dans la vie courante, les pourcentages apparaissent très souvent : soldes, promotions, hausse d’un prix, réduction sur un abonnement, augmentation d’une population, remise sur une facture, évolution d’une note ou d’une quantité. En classe de 5e, l’objectif est de savoir calculer une augmentation, une réduction et une valeur finale à partir d’une quantité de départ et d’un pourcentage.

Situation-problème : pendant les soldes, un sac coûte 60 €. Le magasin annonce une réduction de 20 %. Beaucoup d’élèves répondent directement « 20 € de moins », mais ce n’est pas correct. Une réduction de 20 % signifie que l’on retire 20 pour 100 du prix de départ. Il faut donc calculer 20 % de 60 €, puis soustraire ce montant au prix initial.

On calcule : 20 % de 60 = 60 × 20/100 = 12. La réduction est donc de 12 €. Le prix final est 60 − 12 = 48 €. Le mot repère est SOLDES : il aide à penser à une baisse, donc à une réduction. On peut retenir la phrase : « En soldes, le prix diminue ; je calcule la réduction puis je la soustrais. »

Dans cette leçon, on apprend deux méthodes : la méthode en deux étapes, qui consiste à calculer d’abord le montant de l’évolution, puis la valeur finale ; et la méthode directe, qui utilise un coefficient multiplicateur.

2. Définition

Définition : Un pourcentage exprime une proportion « pour 100 ». Calculer p % de N, c’est calculer N × p/100. Une augmentation de p % consiste à ajouter p % de la quantité de départ. Une réduction de p % consiste à soustraire p % de la quantité de départ.

Par exemple, 15 % signifie 15 pour 100. Calculer 15 % de 200 revient à calculer 200 × 15/100 = 30. Ainsi, 15 % de 200 vaut 30.

La quantité de départ est la valeur avant l’évolution. Le montant de l’évolution est la quantité ajoutée ou retirée. La valeur finale est la quantité obtenue après l’augmentation ou la réduction.

Il faut bien distinguer ces trois éléments. Si un article coûte 80 € et subit une réduction de 25 %, alors le montant de la réduction est 80 × 25/100 = 20 €. Mais le prix final n’est pas 20 € : il est 80 − 20 = 60 €.

On peut aussi utiliser un coefficient multiplicateur. C’est le nombre par lequel on multiplie la valeur de départ pour obtenir directement la valeur finale. Pour une augmentation de p %, le coefficient est 1 + p/100. Pour une réduction de p %, le coefficient est 1 − p/100.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Soit N une quantité positive et p un pourcentage. Après une augmentation de p %, la valeur finale est N × (1 + p/100). Après une réduction de p %, la valeur finale est N × (1 − p/100).

Ces formules permettent de calculer directement la valeur finale sans écrire séparément le montant de l’augmentation ou de la réduction.

Pour une augmentation de 10 %, on multiplie par 1 + 10/100 = 1,10. Ainsi, augmenter 50 de 10 % revient à calculer 50 × 1,10 = 55.

Pour une réduction de 30 %, on multiplie par 1 − 30/100 = 0,70. Ainsi, réduire 80 de 30 % revient à calculer 80 × 0,70 = 56.

Le coefficient multiplicateur donne aussi une vérification rapide. Pour une augmentation, le coefficient est supérieur à 1, donc le résultat doit être plus grand que la valeur de départ. Pour une réduction, le coefficient est inférieur à 1, donc le résultat doit être plus petit que la valeur de départ.

Attention : une réduction de 100 % donne un coefficient 0, car 1 − 100/100 = 0. La valeur finale est alors nulle. Une réduction supérieure à 100 % n’a pas de sens dans la plupart des situations de prix ou de quantités positives étudiées en 5e.

4. Démonstration

On démontre la formule de l’augmentation en partant de la méthode en deux étapes. Si la quantité de départ est N et si l’augmentation est de p %, alors le montant de l’augmentation est N × p/100. La valeur finale est donc la quantité de départ plus le montant de l’augmentation :

N + N × p/100.

On remarque que N peut s’écrire N × 1. On obtient donc :

N × 1 + N × p/100.

En factorisant par N, on obtient :

N × (1 + p/100).

C’est la formule directe pour une augmentation de p %.

Pour une réduction, le raisonnement est presque le même. Le montant de la réduction est N × p/100. La valeur finale est la quantité de départ moins le montant de la réduction :

N − N × p/100.

Comme N = N × 1, on écrit :

N × 1 − N × p/100.

En factorisant par N, on obtient :

N × (1 − p/100).

C’est la formule directe pour une réduction de p %. Cette démonstration montre que le coefficient multiplicateur n’est pas une nouvelle règle inventée : il vient simplement de l’écriture de la valeur finale.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. J’identifie la quantité de départ, le pourcentage et le type d’évolution. Les mots « hausse », « augmente », « gagne » indiquent une augmentation. Les mots « baisse », « réduction », « remise », « soldes » indiquent une diminution.
2. J’applique la méthode en deux étapes. Je calcule d’abord p % de la quantité de départ avec la formule : p % de N = N × p/100. Puis j’ajoute ce montant si c’est une augmentation, ou je le soustrais si c’est une réduction.
3. Ou j’applique la méthode directe. Pour une augmentation de p %, je multiplie par 1 + p/100. Pour une réduction de p %, je multiplie par 1 − p/100.
4. Je vérifie. Après une augmentation, le résultat doit être plus grand que la quantité de départ. Après une réduction, le résultat doit être plus petit.
5. Je rédige. J’écris une phrase-réponse avec l’unité : euros, élèves, kilogrammes, litres, kilomètres, etc.

Routine à mémoriser : Je repère / J’applique / Je vérifie. Cette routine évite les confusions entre montant de l’évolution et valeur finale.

Exemple de formulation : « La quantité de départ est 120. L’évolution est une augmentation de 15 %. Le montant de l’augmentation est 120 × 15/100 = 18. La valeur finale est 120 + 18 = 138. »

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Un casque audio coûte 45 €. Son prix augmente de 12 %. Quel est le nouveau prix ?

Étape 1 : repérer les informations. La quantité de départ est 45 €. Le pourcentage est 12 %. Le mot « augmente » indique une augmentation.

Étape 2 : calculer le montant de l’augmentation. On calcule 12 % de 45 :

45 × 12/100 = 5,40.

L’augmentation est donc de 5,40 €.

Étape 3 : ajouter. Le nouveau prix est :

45 + 5,40 = 50,40.

Réponse : après une augmentation de 12 %, le casque coûte 50,40 €.

On peut aussi utiliser le coefficient multiplicateur. Pour une augmentation de 12 %, le coefficient est 1 + 12/100 = 1,12. On calcule alors :

45 × 1,12 = 50,40.

Le résultat est le même. Comme il s’agit d’une augmentation, le prix final est bien supérieur à 45 €, ce qui est cohérent.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Un vélo est vendu 360 € après une réduction de 20 %. Quel était son prix avant la réduction ?

Ici, la valeur finale est connue : 360 €. On cherche la quantité de départ. Il ne faut pas ajouter directement 20 % à 360 €, car les 20 % s’appliquaient au prix initial, et non au prix réduit.

Pour une réduction de 20 %, le coefficient multiplicateur est :

1 − 20/100 = 0,80.

Si on appelle N le prix de départ, alors :

N × 0,80 = 360.

Pour retrouver N, on divise par 0,80 :

N = 360 ÷ 0,80 = 450.

Réponse : le vélo coûtait 450 € avant la réduction.

Vérification : 20 % de 450 vaut 450 × 20/100 = 90. Le prix après réduction est 450 − 90 = 360. Le résultat est donc correct.

Ce type d’exercice est appelé « cas inverse » car on connaît la valeur finale et on cherche la valeur de départ. Il demande d’être très attentif : le pourcentage se calcule toujours sur la quantité de départ.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Dans un collège, il y avait 480 élèves l’an dernier. Cette année, l’effectif a augmenté de 5 %. Combien y a-t-il d’élèves cette année ?

Étape 1 : repérer. La quantité de départ est 480 élèves. Le pourcentage est 5 %. Le mot « augmenté » indique une augmentation.

Étape 2 : calculer 5 % de 480.

480 × 5/100 = 24.

L’augmentation est donc de 24 élèves.

Étape 3 : ajouter l’augmentation.

480 + 24 = 504.

Réponse : il y a 504 élèves cette année.

Méthode directe : une augmentation de 5 % correspond au coefficient multiplicateur 1 + 5/100 = 1,05. On calcule :

480 × 1,05 = 504.

Le résultat est cohérent : l’effectif augmente, donc il doit être supérieur à 480. Dans un problème concret, il faut aussi vérifier l’unité. Ici, on parle d’élèves : la réponse doit donc être un nombre d’élèves. Lorsque le calcul donne un nombre décimal dans un contexte de personnes, il faut souvent arrondir selon le sens de la situation, mais en 5e les énoncés sont généralement choisis pour donner un résultat entier.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : ajouter lors d’une réduction — À faire : entourer les mots « baisse », « solde », « réduction », « remise », puis écrire le signe moins avant de calculer.
• Erreur : calculer 20 % comme si cela valait 20 — À faire : se rappeler que 20 % signifie 20 pour 100, donc multiplier par 20/100 ou par 0,20.
• Erreur : donner seulement le montant de la réduction — À faire : écrire deux lignes : montant de l’évolution, puis valeur finale.
• Erreur : utiliser 1,20 pour une baisse de 20 % — À faire : associer augmentation à un coefficient supérieur à 1 et réduction à un coefficient inférieur à 1.
• Erreur : ne pas vérifier le résultat final — À faire : se demander systématiquement : « Le résultat doit-il être plus grand ou plus petit que la valeur de départ ? »

Une autre erreur fréquente consiste à confondre deux évolutions successives avec une seule évolution. Par exemple, une réduction de 20 % puis une augmentation de 20 % ne ramène pas au prix initial, car la deuxième évolution s’applique à une nouvelle base. Ce point sera approfondi plus tard, mais il montre déjà l’importance de bien identifier la quantité de départ à chaque étape.

10. À retenir

• Un pourcentage signifie « pour 100 ».
• Calculer p % de N revient à calculer N × p/100.
• Pour une augmentation, on ajoute le montant de l’évolution à la quantité de départ.
• Pour une réduction, on soustrait le montant de l’évolution à la quantité de départ.
• Augmentation de p % : valeur finale = N × (1 + p/100).
• Réduction de p % : valeur finale = N × (1 − p/100).
• Le coefficient multiplicateur permet d’obtenir directement la valeur finale.
• Pour une augmentation, le coefficient multiplicateur est supérieur à 1.
• Pour une réduction, le coefficient multiplicateur est compris entre 0 et 1.
• Il faut toujours vérifier la cohérence du résultat et écrire l’unité.

La méthode essentielle peut se résumer ainsi : Je repère la quantité de départ, le pourcentage et le sens de l’évolution ; j’applique la formule ou le coefficient multiplicateur ; je vérifie que le résultat est logique.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : Pourcentages, augmentation et réduction en 5e. Le fichier propose des exercices progressifs pour s’entraîner à calculer une réduction, une augmentation, un pourcentage final et une valeur de départ dans un cas simple.

Aperçu des types d’exercices : compléter des prix finaux après soldes ; choisir le bon sens de calcul entre augmentation et réduction ; recomposer une méthode dans le bon ordre ; écrire le calcul direct avec un coefficient multiplicateur ; résoudre des problèmes de synthèse avec des euros, des effectifs ou des mesures.

Pour réussir, on peut utiliser le barème suivant sur 20 points : identifier correctement la quantité de départ, le pourcentage et le sens de l’évolution, 4 points ; calculer correctement le pourcentage d’une quantité, 4 points ; ajouter ou soustraire dans le bon sens, 4 points ; utiliser un coefficient multiplicateur quand il est demandé, 4 points ; présenter une réponse claire avec l’unité et vérifier la cohérence, 4 points.

Avant de regarder un corrigé, il est conseillé de relire son résultat avec une question simple : « Est-ce que ma réponse augmente ou diminue dans le bon sens ? » Cette vérification permet de corriger de nombreuses erreurs.

12. Questions fréquentes