Probabilités : équiprobabilité et issues

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans la cour du collège, deux élèves jouent avec un dé équilibré à 6 faces. L’un affirme : « J’ai plus de chances d’obtenir un nombre pair que d’obtenir 6. » L’autre répond : « Non, c’est pareil, car on lance le même dé. » Qui a raison ? Pour répondre, il ne suffit pas de dire que le dé est le même : il faut identifier les résultats possibles, repérer ceux qui correspondent à l’événement étudié, puis calculer une probabilité.

Les probabilités permettent de mesurer les chances qu’un événement se produise lors d’une expérience aléatoire. Une expérience est dite aléatoire lorsqu’on ne peut pas prévoir avec certitude son résultat avant de la réaliser, même si l’on connaît tous les résultats possibles. Lancer un dé, tirer une carte, faire tourner une roue ou choisir une boule dans un sac sont des expériences aléatoires classiques.

En classe de 5e, l’objectif est de savoir calculer la probabilité d’un événement dans une situation simple d’équiprobabilité. Cela signifie que toutes les issues possibles ont la même chance de se produire. Par exemple, avec un dé équilibré, obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 est aussi probable. On peut alors utiliser une règle simple : la probabilité d’un événement est égale au nombre d’issues favorables divisé par le nombre total d’issues possibles.

2. Définition

Définition : Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire. L’univers est l’ensemble de toutes les issues possibles. Un événement est une partie de l’univers : il peut contenir une seule issue, plusieurs issues, toutes les issues ou aucune issue.

Exemple : on lance un dé équilibré à 6 faces. Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. L’univers est donc {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. L’événement A : « obtenir un nombre pair » contient les issues 2, 4 et 6. L’événement B : « obtenir 6 » contient seulement l’issue 6. L’événement C : « obtenir un nombre plus grand que 6 » ne contient aucune issue : c’est un événement impossible.

Une situation est dite équiprobable lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se produire. Dans ce cas, chaque issue « pèse » autant que les autres. C’est le cas d’un dé équilibré, d’une pièce équilibrée ou d’un tirage au hasard dans un sac lorsque les objets sont indiscernables au toucher.

On note souvent la probabilité d’un événement A par P(A). Dans une situation équiprobable :

P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est égale au quotient du nombre d’issues favorables à A par le nombre total d’issues possibles : P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles.

Cette formule est centrale en 5e. Elle permet de calculer une probabilité sous forme de fraction, de nombre décimal ou parfois de pourcentage. Par exemple, si 3 issues sont favorables sur 6 issues possibles, alors P(A) = 3 ÷ 6 = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Il faut retenir plusieurs propriétés importantes :

• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
• Une probabilité égale à 0 correspond à un événement impossible.
• Une probabilité égale à 1 correspond à un événement certain.
• Plus une probabilité est proche de 1, plus l’événement a de chances de se produire.
• Plus une probabilité est proche de 0, moins l’événement a de chances de se produire.

Dans un lancer de dé équilibré, l’événement « obtenir un nombre entre 1 et 6 » est certain, donc sa probabilité vaut 1. L’événement « obtenir 8 » est impossible, donc sa probabilité vaut 0. L’événement « obtenir un nombre pair » a une probabilité de 3/6, c’est-à-dire 1/2.

4. Démonstration

La formule de calcul repose sur le sens de l’équiprobabilité. Supposons qu’une expérience aléatoire possède n issues possibles et que toutes ces issues soient aussi probables. Comme l’une des issues doit forcément se produire, la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. Puisqu’elles ont toutes la même probabilité, chaque issue a donc une probabilité égale à 1/n.

Si un événement A contient k issues favorables, alors la probabilité de A est la somme des probabilités de ces k issues. Comme chaque issue vaut 1/n, on obtient :

P(A) = k × 1/n = k/n.

Autrement dit, P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles. Cette démonstration montre pourquoi il est indispensable de compter correctement deux choses : d’abord toutes les issues possibles, puis seulement les issues qui réalisent l’événement demandé.

Exemple avec un dé équilibré : il y a 6 issues possibles. Chaque issue a donc une probabilité de 1/6. Pour l’événement A : « obtenir un nombre pair », il y a 3 issues favorables : 2, 4 et 6. Donc P(A) = 3 × 1/6 = 3/6 = 1/2.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère l’expérience aléatoire. Je comprends ce que l’on fait : lancer un dé, tirer une boule, faire tourner une roue, choisir une carte, etc.
2. Je liste toutes les issues possibles. J’écris l’univers. Par exemple, pour un dé équilibré : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
3. Je vérifie l’équiprobabilité. Je m’assure que toutes les issues ont la même chance de se produire. Un dé équilibré donne des issues équiprobables ; une roue à secteurs inégaux ne donne pas forcément des issues équiprobables.
4. Je repère l’événement étudié. Je traduis la phrase en liste d’issues favorables. Par exemple, « obtenir un nombre pair » correspond à {2 ; 4 ; 6}.
5. Je compte les issues favorables. Je compte combien d’issues réalisent l’événement.
6. J’applique la formule. P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles.
7. Je simplifie si possible. Par exemple, 3/6 = 1/2.
8. Je vérifie le résultat. Une probabilité doit être comprise entre 0 et 1. Si je trouve 7/6 ou 2, il y a une erreur.

Routine à mémoriser : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère les issues possibles, j’applique la formule si la situation est équiprobable, puis je vérifie que ma réponse correspond bien à l’événement et qu’elle est comprise entre 0 et 1.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On lance un dé équilibré à 6 faces. On considère l’événement A : « obtenir un nombre pair ». Calculer P(A).

Étape 1 : l’univers. Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. On écrit : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Il y a donc 6 issues possibles.

Étape 2 : l’équiprobabilité. Le dé est équilibré, donc les 6 issues sont équiprobables.

Étape 3 : les issues favorables. Les nombres pairs parmi 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont 2, 4 et 6. Il y a donc 3 issues favorables.

Étape 4 : le calcul. P(A) = 3 ÷ 6 = 3/6 = 1/2.

Conclusion : la probabilité d’obtenir un nombre pair est 1/2. Cela signifie qu’il y a une chance sur deux d’obtenir un nombre pair avec un dé équilibré. On peut aussi dire que P(A) = 0,5.

Attention : cela ne signifie pas que, sur deux lancers, on obtiendra forcément un nombre pair une fois et un nombre impair une fois. La probabilité décrit les chances avant l’expérience, pas une obligation sur un petit nombre d’essais.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

On lance une pièce équilibrée trois fois ? En 5e, on peut commencer par un cas plus simple : on tire au hasard une boule dans un sac contenant des boules indiscernables au toucher. Le sac contient 2 boules rouges, 3 boules bleues et 1 boule verte. On sait que l’événement R : « obtenir une boule rouge » a pour probabilité 2/6. Retrouver le nombre total de boules et interpréter cette probabilité.

Étape 1 : comprendre la fraction. P(R) = 2/6 signifie que, dans une situation équiprobable, il y a 2 issues favorables sur 6 issues possibles. Ici, chaque boule est une issue possible, car les boules sont tirées au hasard et sont indiscernables au toucher.

Étape 2 : lire le dénominateur. Le dénominateur 6 indique le nombre total d’issues possibles. Il y a donc 6 boules dans le sac.

Étape 3 : lire le numérateur. Le numérateur 2 indique le nombre d’issues favorables à l’événement R. Il y a donc 2 boules rouges.

Étape 4 : vérifier avec l’énoncé. Le sac contient 2 boules rouges, 3 boules bleues et 1 boule verte, soit 2 + 3 + 1 = 6 boules. La probabilité de tirer une boule rouge est bien 2/6 = 1/3.

Conclusion : dans la formule P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles, le numérateur représente les cas qui conviennent et le dénominateur représente tous les cas possibles.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Lors d’une activité en classe, un professeur prépare 10 cartes identiques au toucher. Sur chaque carte est écrit un nombre : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10. Un élève tire une carte au hasard. On considère l’événement A : « obtenir un multiple de 3 ». Calculer la probabilité de A.

Étape 1 : identifier l’expérience. L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte parmi 10 cartes. On ne peut pas prévoir à l’avance quelle carte sera tirée.

Étape 2 : écrire l’univers. Les issues possibles sont les nombres inscrits sur les cartes : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}. Il y a 10 issues possibles.

Étape 3 : vérifier l’équiprobabilité. Les cartes sont identiques au toucher et le tirage se fait au hasard. On considère donc que les 10 issues sont équiprobables.

Étape 4 : trouver les issues favorables. Les multiples de 3 entre 1 et 10 sont 3, 6 et 9. Il y a donc 3 issues favorables.

Étape 5 : calculer. P(A) = 3 ÷ 10 = 3/10.

Conclusion : la probabilité d’obtenir un multiple de 3 est 3/10. Cette probabilité est inférieure à 1/2, car il y a moins de multiples de 3 que d’autres nombres dans la liste.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : confondre issue et événement — À faire : retenir qu’une issue est un seul résultat possible, tandis qu’un événement peut contenir plusieurs issues.
• Erreur : oublier des issues possibles — À faire : écrire systématiquement l’univers avant de calculer une probabilité.
• Erreur : inverser le numérateur et le dénominateur — À faire : placer en haut les issues favorables et en bas toutes les issues possibles.
• Erreur : utiliser la formule d’équiprobabilité dans une situation non équilibrée — À faire : vérifier que toutes les issues ont la même chance de se produire.
• Erreur : donner une probabilité supérieure à 1 — À faire : contrôler que le nombre d’issues favorables ne dépasse pas le nombre total d’issues possibles.
• Erreur : penser qu’une probabilité prédit exactement le résultat du prochain essai — À faire : comprendre qu’une probabilité mesure une chance, pas une certitude.

10. À retenir

• Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude.
• Une issue est un résultat possible de l’expérience.
• L’univers est l’ensemble de toutes les issues possibles.
• Un événement est un ensemble d’issues qui vérifient une condition.
• Une situation est équiprobable lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire.
• Dans une situation équiprobable, P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles.
• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
• 0 correspond à un événement impossible ; 1 correspond à un événement certain.
• Avec un dé équilibré, l’univers est {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} et chaque issue a une probabilité de 1/6.
• Pour l’événement A : « obtenir un nombre pair », les issues favorables sont 2, 4 et 6, donc P(A) = 3/6 = 1/2.

11. Exercices d'application

Lien PDF : Télécharger la fiche d’exercices — Probabilités : équiprobabilité et issues (5e).

Aperçu des types d’exercices proposés : identifier les issues, l’univers et un événement ; répondre à des questions de vrai ou faux en justifiant ; associer un événement à sa probabilité ; écrire une probabilité sous forme de fraction ; résoudre un petit problème utilisant un dé équilibré, une pièce équilibrée, des cartes ou des boules indiscernables.

Exemples d’exercices : dans l’exercice 1, l’élève complète un tableau avec l’expérience aléatoire, l’univers et des événements. Dans l’exercice 2, il corrige des affirmations comme « une probabilité peut être égale à 2 ». Dans l’exercice 3, il associe des événements à des probabilités telles que 1/6, 1/2 ou 3/10. Dans l’exercice 4, il calcule directement des probabilités simples. Dans l’exercice 5, il rédige une résolution complète en expliquant les issues possibles et les issues favorables.

Barème conseillé sur 20 points : exercice 1, vocabulaire et tableau complété, 4 points ; exercice 2, vrai/faux et corrections, 4 points ; exercice 3, associations événement-probabilité, 4 points ; exercice 4, calculs de probabilités simples, 4 points ; exercice 5, résolution et justification, 4 points.

12. Questions fréquentes