Quatrième proportionnelle et produit en croix

1. Introduction et problématique

Situation-problème : au collège, la coopérative achète des cahiers identiques pour préparer la rentrée. On sait que 3 cahiers coûtent 6 €. Combien coûteront 5 cahiers ? On ne peut pas répondre en ajoutant simplement 2 € ou 2 cahiers : il faut respecter le même rapport entre le nombre de cahiers et le prix. Comme les cahiers sont identiques, le prix est proportionnel au nombre de cahiers. On cherche donc une valeur manquante dans une situation de proportionnalité.

Cette valeur manquante s’appelle une quatrième proportionnelle. En classe de 5e, l’objectif est de savoir la calculer de plusieurs façons : avec un coefficient de proportionnalité, par passage par l’unité, ou avec le produit en croix. Ces méthodes permettent de résoudre des problèmes de prix, de recettes, de vitesses, d’échelles, de masses, de volumes, de pourcentages simples ou de cartes.

Le mot repère est proportion, que l’on peut découper ainsi : pro / por / tion. Il rappelle que deux grandeurs restent dans le même rapport. Exemple : si 3 cahiers coûtent 6 €, alors 5 cahiers coûtent x €. On calcule x = 6 × 5 ÷ 3 = 10 €, car le prix est proportionnel au nombre de cahiers.

Dans cette leçon, on apprendra à organiser les informations dans un tableau, à repérer les unités, à écrire un calcul complet et à vérifier que la réponse est cohérente.

2. Définition

Définition : Dans un tableau de proportionnalité contenant trois valeurs connues et une valeur inconnue, la valeur inconnue s’appelle une quatrième proportionnelle. Elle complète le tableau de façon à conserver le même rapport entre les deux grandeurs.

Un tableau de proportionnalité compare deux grandeurs. Par exemple, on peut comparer un nombre d’objets et un prix, une masse et un prix, une durée et une distance, un nombre de personnes et une quantité d’ingrédients. Pour que le tableau soit proportionnel, toutes les valeurs d’une ligne doivent être obtenues en multipliant les valeurs de l’autre ligne par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

On peut retenir l’écriture suivante : ligne 2 = ligne 1 × coefficient. Si le coefficient est facile à trouver, cette méthode est souvent la plus rapide. Par exemple, si 4 kg de pommes coûtent 8 €, alors le prix est obtenu en multipliant la masse par 2. Le coefficient est donc 2 €/kg. Pour 7 kg, le prix est 7 × 2 = 14 €.

Quand le coefficient n’est pas évident, on peut utiliser le produit en croix. On place les valeurs dans un tableau de proportionnalité, puis on utilise la relation entre les produits en diagonale. La formule repère est : x = b × c ÷ a, lorsque a correspond à b et c correspond à x.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans un tableau de proportionnalité à deux colonnes, si a correspond à b et c correspond à d, alors les produits en croix sont égaux : a × d = b × c.

Cette propriété est la base du produit en croix. Elle signifie que, dans une situation de proportionnalité, les diagonales du tableau donnent le même produit. Si une valeur est inconnue, on peut l’isoler grâce à une division. Par exemple, si a correspond à b et c correspond à x, alors :

a × x = b × c, donc x = b × c ÷ a, à condition que a ne soit pas égal à 0.

Il faut bien comprendre que le produit en croix ne s’applique pas à toutes les situations. Il s’utilise seulement lorsque les deux grandeurs sont proportionnelles. Si 2 stylos coûtent 3 € et 4 stylos coûtent 6 €, le prix double quand la quantité double : c’est proportionnel. Mais si une location coûte 10 € de frais fixes plus 2 € par heure, le prix n’est pas directement proportionnel à la durée, car il y a un coût de départ.

On peut aussi utiliser le passage par l’unité. Cette méthode consiste à chercher la valeur correspondant à 1 unité, puis à multiplier par la quantité demandée. Par exemple, si 3 cahiers coûtent 6 €, alors 1 cahier coûte 6 ÷ 3 = 2 €. Donc 5 cahiers coûtent 5 × 2 = 10 €. Le passage par l’unité est très utile pour donner du sens au calcul.

4. Démonstration

On veut expliquer pourquoi le produit en croix fonctionne. Supposons que deux grandeurs soient proportionnelles. Cela signifie qu’il existe un coefficient de proportionnalité k tel que chaque valeur de la deuxième ligne est obtenue en multipliant la valeur correspondante de la première ligne par k.

On peut écrire un tableau à deux colonnes :

Comme le tableau est proportionnel, on a b = a × k et d = c × k. Comparons maintenant les produits en croix :

a × d = a × (c × k). Par associativité et commutativité de la multiplication, cela donne a × c × k.

De l’autre côté, b × c = (a × k) × c, ce qui donne aussi a × k × c, donc a × c × k.

Les deux produits sont donc égaux : a × d = b × c. Cette égalité justifie le produit en croix. Elle montre que l’on ne fait pas une “astuce” isolée, mais que l’on utilise une propriété vraie dans tous les tableaux de proportionnalité.

Si d est la valeur inconnue, notée x, l’égalité devient a × x = b × c. Pour trouver x, on divise par a : x = b × c ÷ a. Cette formule correspond à la phrase : “la valeur cherchée est le produit des deux nombres en diagonale, divisé par le nombre restant”.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les grandeurs. Je lis l’énoncé et j’identifie ce que l’on compare : nombre d’objets et prix, masse et prix, distance et durée, volume et quantité, etc.
2. Je vérifie que la situation est proportionnelle. Je me demande si, quand une grandeur double, l’autre double aussi ; si elle triple, l’autre triple aussi. S’il y a des frais fixes ou un changement de règle, ce n’est pas forcément proportionnel.
3. Je construis un tableau. Je place les grandeurs en lignes, avec leurs unités. Les valeurs qui se correspondent doivent être dans la même colonne.
4. Je choisis une méthode. Si le coefficient est simple, j’utilise ligne 2 = ligne 1 × coefficient. Si la valeur pour 1 unité est utile, je fais un passage par l’unité. Sinon, j’utilise le produit en croix.
5. J’écris le calcul complet. Pour le produit en croix, si a correspond à b et c correspond à x, j’écris x = b × c ÷ a.
6. Je calcule soigneusement. Je respecte l’ordre des opérations : multiplication puis division, ou calcul de gauche à droite si les opérations ont la même priorité.
7. Je vérifie la cohérence. Si la quantité augmente, le prix doit augmenter dans le même rapport. Si la quantité diminue, le prix doit diminuer.
8. Je rédige une phrase-réponse. J’indique l’unité : €, kg, L, m, m², minutes, kilomètres, etc.

Routine à retenir : 🔎 Je repère les deux grandeurs et je place les nombres connus dans un tableau ; ✍️ J’applique une méthode adaptée ; ✅ Je vérifie que le résultat est logique.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : 3 cahiers coûtent 6 €. Combien coûtent 5 cahiers ?

On compare deux grandeurs : le nombre de cahiers et le prix en euros. Les cahiers sont identiques, donc le prix est proportionnel au nombre de cahiers.

Méthode 1 : passage par l’unité. Pour 3 cahiers, le prix est 6 €. Donc pour 1 cahier, le prix est 6 ÷ 3 = 2 €. Pour 5 cahiers, le prix est 5 × 2 = 10 €.

Méthode 2 : produit en croix. Si 3 correspond à 6 et 5 correspond à x, alors :

x = 6 × 5 ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10.

Les deux méthodes donnent le même résultat. La phrase-réponse est : 5 cahiers coûtent 10 €.

Vérification : 5 cahiers, c’est plus que 3 cahiers, donc le prix doit être plus grand que 6 €. Le résultat 10 € est cohérent. De plus, le prix d’un cahier est 2 €, donc 5 cahiers coûtent bien 10 €.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Un paquet de 8 bouteilles contient 12 L d’eau au total. Combien de bouteilles de même capacité faut-il pour obtenir 21 L ?

Ici, on cherche un nombre de bouteilles. On compare le nombre de bouteilles et le volume d’eau en litres. Les bouteilles ont toutes la même capacité, donc le volume est proportionnel au nombre de bouteilles.

Attention : la valeur inconnue est dans la première ligne. On peut quand même utiliser le produit en croix, à condition de respecter les correspondances. 8 bouteilles correspondent à 12 L, et x bouteilles correspondent à 21 L. On écrit :

12 × x = 8 × 21, donc x = 8 × 21 ÷ 12.

Calcul : x = 168 ÷ 12 = 14.

Il faut donc 14 bouteilles pour obtenir 21 L.

Vérification par passage par l’unité : 12 L pour 8 bouteilles, donc une bouteille contient 12 ÷ 8 = 1,5 L. Pour obtenir 21 L, il faut 21 ÷ 1,5 = 14 bouteilles. Le résultat est cohérent, car 21 L est plus grand que 12 L, donc il faut plus que 8 bouteilles.

Cet exemple montre que le produit en croix fonctionne même lorsque l’inconnue est placée en haut du tableau. L’essentiel est de bien aligner les grandeurs et de garder les unités dans les lignes.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Pour préparer une boisson, on mélange 250 mL de sirop avec 1,5 L d’eau. Quelle quantité de sirop faut-il pour 2,4 L d’eau, en gardant le même goût ?

Le “même goût” signifie que les quantités de sirop et d’eau doivent rester proportionnelles. On compare donc la quantité d’eau et la quantité de sirop. Il faut faire attention aux unités : le sirop est donné en mL et l’eau en L. On peut garder ces unités si chaque ligne a sa propre unité, mais il faut ne pas les mélanger.

On cherche x, la quantité de sirop en mL. On utilise le produit en croix :

x = 250 × 2,4 ÷ 1,5.

Calcul : 250 × 2,4 = 600, puis 600 ÷ 1,5 = 400.

Il faut donc 400 mL de sirop pour 2,4 L d’eau.

On peut aussi raisonner avec le coefficient. Pour passer de 1,5 L à 2,4 L, on multiplie par 2,4 ÷ 1,5 = 1,6. Il faut donc multiplier aussi la quantité de sirop par 1,6 : 250 × 1,6 = 400. On retrouve le même résultat.

Vérification : 2,4 L est plus grand que 1,5 L, donc il faut plus de sirop que 250 mL. Le résultat 400 mL est plus grand que 250 mL, ce qui est cohérent. Le rapport est conservé, donc la boisson aura le même goût.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : multiplier les deux nombres d’une même ligne sans diviser — À faire : écrire la formule complète : valeur cherchée = produit des deux nombres en diagonale ÷ nombre restant.
• Erreur : inverser les grandeurs dans le tableau — À faire : nommer les lignes avec les unités : nombre d’objets, prix, masse, durée, distance, volume.
• Erreur : obtenir un résultat qui augmente alors que la grandeur de départ diminue, ou inversement — À faire : ajouter une vérification : « Comme la quantité augmente, le prix doit augmenter. »
• Erreur : oublier l’unité dans la réponse — À faire : rédiger une phrase-réponse complète avec l’unité : €, kg, L, m², minutes.
• Erreur : utiliser un coefficient faux avec des nombres décimaux — À faire : vérifier le coefficient sur la première colonne avant de l’appliquer à la valeur cherchée.

Une autre erreur fréquente consiste à utiliser le produit en croix dans une situation qui n’est pas proportionnelle. Par exemple, si un taxi facture 4 € de prise en charge puis 2 € par kilomètre, le prix n’est pas proportionnel au nombre de kilomètres, car pour 0 km le prix n’est pas 0 €. Avant tout calcul, il faut donc se demander si la proportionnalité est bien présente.

10. À retenir

• Une quatrième proportionnelle est la valeur manquante dans un tableau de proportionnalité avec trois valeurs connues.
• Le tableau doit être bien organisé : une grandeur par ligne, une unité par ligne, et les valeurs correspondantes dans la même colonne.
• Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : a × d = b × c.
• Si a correspond à b et c correspond à x, alors la formule est : x = b × c ÷ a.
• Le coefficient de proportionnalité permet de passer d’une ligne à l’autre : ligne 2 = ligne 1 × coefficient.
• Le passage par l’unité consiste à chercher la valeur pour 1 unité, puis à multiplier par la quantité demandée.
• Le produit en croix est efficace, mais il ne remplace pas la réflexion : il faut d’abord vérifier que la situation est proportionnelle.
• La réponse doit toujours contenir une unité et une phrase claire.
• La vérification de cohérence est indispensable : si une grandeur double, l’autre doit doubler ; si elle est divisée par 3, l’autre doit aussi être divisée par 3.

11. Exercices d'application

Lien PDF : télécharger la fiche d’exercices « Quatrième proportionnelle et produit en croix — 5e » avec corrigé et barème.

Aperçu des types d’exercices proposés : compléter un tableau simple, choisir la bonne méthode, remettre un raisonnement dans l’ordre, écrire le calcul complet, résoudre des problèmes variés. Les exercices doivent entraîner à reconnaître une situation de proportionnalité, à placer les données dans un tableau, à utiliser le coefficient, le passage par l’unité ou le produit en croix, puis à rédiger une phrase-réponse.

Exemples de consignes : « 4 kg de pommes coûtent 9,20 €. Combien coûtent 7 kg ? » ; « Une voiture parcourt 180 km en 2 h à vitesse constante. Quelle distance parcourt-elle en 3 h 30 min ? » ; « Pour une recette, 300 g de farine sont nécessaires pour 4 personnes. Quelle quantité faut-il pour 10 personnes ? »

Barème possible sur 10 points : reconnaissance de la proportionnalité et mise en tableau, 2 pts ; choix d’une méthode adaptée, 2 pts ; calcul correct de la quatrième proportionnelle, 3 pts ; présentation du raisonnement et des opérations, 2 pts ; unité, phrase-réponse et vérification de cohérence, 1 pt.

12. Questions fréquentes