Statistiques : effectifs et fréquences

1. Introduction et problématique

Situation-problème : dans une classe de 5e, on demande aux élèves leur moyen de transport principal pour venir au collège. Les réponses sont : marche, vélo, bus, voiture. Le professeur veut savoir combien d’élèves choisissent chaque moyen, mais aussi quelle part de la classe cela représente. Dire « 8 élèves viennent en bus » donne un nombre, mais ne permet pas toujours de comparer avec une autre classe qui aurait 30 élèves. Dire « 40 % des élèves viennent en bus » donne une proportion, plus facile à comparer.

Les statistiques servent à organiser des données pour les lire, les comparer et les interpréter. En 5e, on apprend à construire et compléter un tableau statistique avec des effectifs, des effectifs cumulés, des fréquences et des fréquences cumulées. Ces mots sont importants : ils permettent de passer d’un simple comptage à une analyse plus précise d’une série de données.

La problématique de cette leçon est donc la suivante : comment passer d’une liste de données à un tableau clair, puis comment calculer l’effectif total, les fréquences et les valeurs cumulées sans se tromper ?

On retiendra une routine simple : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère les effectifs donnés, j’applique les formules, puis je vérifie que les totaux sont cohérents. Cette méthode permet d’éviter les erreurs fréquentes, notamment la confusion entre effectif et fréquence.

2. Définition

Définition : En statistiques, un effectif est le nombre d’individus correspondant à une valeur ou à une catégorie. L’effectif total est la somme de tous les effectifs. La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total : fréquence = effectif ÷ effectif total. L’effectif cumulé est la somme progressive des effectifs jusqu’à une valeur donnée. La fréquence cumulée est le quotient de l’effectif cumulé par l’effectif total.

Le mot effectif signifie donc « combien ». Par exemple, si 9 élèves préfèrent le bleu, l’effectif de la catégorie « bleu » est 9. L’expression effectif total désigne le nombre total d’individus étudiés : ici, le nombre total d’élèves interrogés.

Le mot fréquence signifie « quelle part du total ». Si 8 élèves sur 20 choisissent le vélo, la fréquence est 8 ÷ 20 = 0,4 = 40 %. On peut écrire une fréquence sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage. Les écritures 0,4, 4/10 et 40 % désignent la même proportion.

Les effectifs cumulés et les fréquences cumulées sont surtout utilisés lorsque les valeurs sont ordonnées : notes, âges, tailles, durées, nombres de livres lus, etc. Le mot « cumulé » indique que l’on additionne progressivement les valeurs précédentes.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Dans un tableau statistique, la somme des effectifs de toutes les catégories est égale à l’effectif total. La fréquence d’une catégorie est égale à son effectif divisé par l’effectif total. La somme des fréquences est égale à 1, c’est-à-dire 100 %, à de possibles écarts d’arrondi près.

Ces propriétés sont fondamentales pour contrôler un tableau statistique. Si l’on additionne tous les effectifs et que l’on n’obtient pas l’effectif total annoncé, alors il y a une erreur de comptage ou de recopie. De même, si l’on additionne toutes les fréquences, on doit obtenir 1, soit 100 %. Si les fréquences ont été arrondies, on peut obtenir 0,99 ou 1,01 ; ce n’est pas forcément une erreur, mais il faut rester vigilant.

On utilise les formules suivantes :

• Effectif total = somme de tous les effectifs.
• Fréquence = effectif ÷ effectif total.
• Effectif cumulé = somme des effectifs jusqu’à la valeur étudiée.
• Fréquence cumulée = effectif cumulé ÷ effectif total.

Quand on veut retrouver un effectif à partir d’une fréquence, on utilise la relation inverse : effectif = fréquence × effectif total. Si la fréquence est donnée en pourcentage, on la transforme d’abord en nombre décimal. Par exemple, 25 % = 0,25, donc 25 % de 40 vaut 0,25 × 40 = 10.

4. Démonstration

Les formules de fréquence viennent de l’idée de proportion. Une fréquence compare une partie au total. Si, dans une classe de 20 élèves, 8 viennent à vélo, la catégorie « vélo » contient 8 élèves et le total est 20 élèves. La part correspondante est donc 8 sur 20, c’est-à-dire 8 ÷ 20. On obtient 0,4, soit 40 %. Cela signifie que 40 élèves sur 100 auraient choisi le vélo si la même proportion était conservée dans un groupe de 100.

On peut justifier que la somme des fréquences vaut 1. Supposons qu’un tableau possède trois catégories d’effectifs 5, 7 et 8. L’effectif total est 5 + 7 + 8 = 20. Les fréquences sont donc 5 ÷ 20, 7 ÷ 20 et 8 ÷ 20. Leur somme vaut :

(5 ÷ 20) + (7 ÷ 20) + (8 ÷ 20) = (5 + 7 + 8) ÷ 20 = 20 ÷ 20 = 1.

Cette égalité montre que toutes les catégories réunies représentent la totalité des individus étudiés. Comme 1 = 100 %, la somme des fréquences exprimées en pourcentage vaut 100 %.

Pour les effectifs cumulés, la justification est également simple. Le mot « cumuler » signifie ajouter progressivement. Si les valeurs sont ordonnées, par exemple des notes 8, 10, 12 et 14, l’effectif cumulé jusqu’à 12 correspond au nombre d’élèves ayant obtenu 8, 10 ou 12. On additionne donc les effectifs de 8, de 10 et de 12. La fréquence cumulée associée compare cet effectif cumulé à l’effectif total.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère les catégories ou les valeurs. Je lis attentivement l’énoncé : il peut s’agir de couleurs préférées, de notes, de sports choisis, d’âges ou de durées. Si les valeurs sont numériques, je les range souvent dans l’ordre croissant.
2. Je repère les effectifs. Pour chaque catégorie, je note le nombre d’individus correspondants. L’effectif = nombre d’individus d’une catégorie.
3. Je calcule l’effectif total. J’additionne tous les effectifs : effectif total = somme de tous les effectifs.
4. Je calcule les effectifs cumulés. Je commence par le premier effectif, puis j’ajoute à chaque fois le nouvel effectif. Autrement dit : cumul suivant = cumul précédent + nouvel effectif.
5. Je calcule les fréquences. Pour chaque catégorie, j’utilise la formule : fréquence = effectif ÷ effectif total.
6. Je calcule les fréquences cumulées. Pour chaque valeur, j’utilise : fréquence cumulée = effectif cumulé ÷ effectif total.
7. Je transforme si nécessaire en pourcentage. Pour passer d’un nombre décimal à un pourcentage, je multiplie par 100. Par exemple, 0,35 = 35 %.
8. Je vérifie le tableau. La somme des effectifs doit donner l’effectif total. La dernière valeur de l’effectif cumulé doit être l’effectif total. La somme des fréquences doit être 1, soit 100 %, sauf petits écarts dus aux arrondis.
9. J’interprète avec une phrase. Un résultat statistique doit avoir du sens : « La fréquence des élèves venant en bus est 0,4, donc 40 % des élèves viennent en bus. »

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Dans une classe de 25 élèves, on demande le sport préféré. Les réponses sont résumées dans le tableau suivant :

On commence par vérifier l’effectif total : 10 + 6 + 5 + 4 = 25. L’effectif total est donc bien 25.

Calculons les fréquences :

• Football : 10 ÷ 25 = 0,4 = 40 %.
• Basket : 6 ÷ 25 = 0,24 = 24 %.
• Danse : 5 ÷ 25 = 0,2 = 20 %.
• Natation : 4 ÷ 25 = 0,16 = 16 %.

On vérifie : 0,4 + 0,24 + 0,2 + 0,16 = 1. En pourcentage : 40 % + 24 % + 20 % + 16 % = 100 %. Le tableau est cohérent.

Interprétation : le football est le sport le plus cité, avec un effectif de 10 élèves. Sa fréquence est 0,4, donc 40 % des élèves de la classe préfèrent le football. La natation est la catégorie la moins citée, avec 4 élèves, soit 16 % de la classe.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Dans un club de lecture, il y a 40 élèves. On connaît les fréquences des genres de livres préférés :

On veut retrouver les effectifs. On utilise la formule inverse : effectif = fréquence × effectif total. Ici, l’effectif total est 40.

• Aventure : 0,35 × 40 = 14.
• Fantastique : 0,25 × 40 = 10.
• Policier : 0,30 × 40 = 12.
• Documentaire : 0,10 × 40 = 4.

On vérifie : 14 + 10 + 12 + 4 = 40. Les effectifs retrouvés sont cohérents. On peut aussi vérifier les fréquences : 0,35 + 0,25 + 0,30 + 0,10 = 1.

Interprétation : 14 élèves préfèrent les livres d’aventure, ce qui représente 35 % du club. Le documentaire est le genre le moins choisi, avec 4 élèves, soit 10 % du total.

Attention : si les fréquences sont données en pourcentage, il faut les convertir. Par exemple, 35 % = 0,35. On ne calcule pas 35 × 40, mais 0,35 × 40.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Un professeur relève les notes obtenues à un contrôle sur 10. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

On calcule d’abord l’effectif total : 2 + 3 + 5 + 6 + 4 + 3 + 2 = 25. Il y a donc 25 élèves.

Calculons les effectifs cumulés croissants :

• Jusqu’à 4 : 2.
• Jusqu’à 5 : 2 + 3 = 5.
• Jusqu’à 6 : 5 + 5 = 10.
• Jusqu’à 7 : 10 + 6 = 16.
• Jusqu’à 8 : 16 + 4 = 20.
• Jusqu’à 9 : 20 + 3 = 23.
• Jusqu’à 10 : 23 + 2 = 25.

La dernière valeur cumulée est 25, ce qui confirme l’effectif total.

Calculons quelques fréquences cumulées :

• Fréquence cumulée jusqu’à 6 : 10 ÷ 25 = 0,4 = 40 %. Donc 40 % des élèves ont obtenu au plus 6.
• Fréquence cumulée jusqu’à 7 : 16 ÷ 25 = 0,64 = 64 %. Donc 64 % des élèves ont obtenu au plus 7.
• Fréquence cumulée jusqu’à 10 : 25 ÷ 25 = 1 = 100 %. Tous les élèves ont obtenu au plus 10.

Les effectifs cumulés permettent de répondre rapidement à des questions comme : « Combien d’élèves ont obtenu 7 ou moins ? » La réponse est 16. Les fréquences cumulées permettent de répondre à la même question sous forme de proportion : 64 % des élèves ont obtenu 7 ou moins.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : Diviser par l’effectif d’une catégorie au lieu de diviser par l’effectif total. — À faire : Entourer l’effectif total avant tout calcul de fréquence.
• Erreur : Confondre effectif et fréquence. — À faire : Se rappeler que l’effectif compte des individus, tandis que la fréquence compare au total.
• Erreur : Obtenir une somme de fréquences très différente de 1 ou de 100 %. — À faire : Ajouter systématiquement une ligne de vérification à la fin du tableau.
• Erreur : Mal calculer un effectif cumulé en oubliant un effectif précédent. — À faire : Utiliser la règle : cumul = cumul précédent + nouvel effectif.
• Erreur : Passer incorrectement d’un nombre décimal à un pourcentage. — À faire : Multiplier par 100 : 0,25 = 25/100 = 25 %.
• Erreur : Arrondir trop tôt les fréquences. — À faire : Garder si possible les valeurs exactes ou arrondir seulement à la fin du calcul.
• Erreur : Interpréter une fréquence sans préciser la catégorie. — À faire : Rédiger une phrase complète : « La fréquence des élèves venant en bus est 0,4, soit 40 %. »

10. À retenir

• Effectif = nombre d’individus d’une catégorie.
• Effectif total = somme de tous les effectifs.
• Fréquence = effectif ÷ effectif total.
• Effectif cumulé = somme des effectifs jusqu’à une valeur donnée.
• Fréquence cumulée = effectif cumulé ÷ effectif total.
• Une fréquence peut s’écrire sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage.
• Pour passer d’un nombre décimal à un pourcentage, on multiplie par 100.
• La somme des effectifs donne l’effectif total.
• La somme des fréquences vaut 1, c’est-à-dire 100 %, sauf écarts d’arrondi.
• La dernière valeur des effectifs cumulés doit être égale à l’effectif total.

Routine à mémoriser : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère les données et l’effectif total, j’applique les formules, puis je vérifie les sommes et la cohérence des résultats.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices : Statistiques, effectifs et fréquences en 5e. Le document propose des exercices progressifs pour apprendre à lire, compléter et interpréter un tableau statistique.

Aperçu des types d’exercices proposés :

• Compléter les effectifs : retrouver des effectifs manquants à partir d’un tableau ou d’une liste de données.
• Calculer des fréquences : utiliser la formule fréquence = effectif ÷ effectif total, puis convertir en pourcentage.
• Retrouver les effectifs à partir des cumulés : comprendre qu’un effectif simple peut être obtenu par différence entre deux effectifs cumulés successifs.
• Encoder un tableau statistique : organiser des données brutes en catégories, calculer l’effectif total et construire un tableau complet.
• Interpréter un tableau complet : répondre par des phrases précises à des questions portant sur les effectifs, les fréquences et les cumulés.

Barème possible sur 10 points : identifier les effectifs et calculer l’effectif total, 2 points ; calculer les effectifs cumulés, 2 points ; calculer les fréquences, 2 points ; calculer les fréquences cumulées, 2 points ; interpréter les résultats avec une phrase correcte, 2 points.

12. Questions fréquentes