Symétrie centrale

1. Introduction et problématique

Situation-problème : sur un quadrillage, on a dessiné un triangle ABC et un point O. On demande de construire une nouvelle figure A'B'C' comme si le triangle avait effectué un demi-tour autour de O. Comment placer précisément les points A', B' et C' ? Comment être sûr que la figure obtenue est bien l'image du triangle par symétrie centrale ? En classe de 5e, la symétrie centrale est une transformation géométrique essentielle : elle permet de construire des figures, de reconnaître un centre de symétrie et de comprendre des propriétés de conservation.

L’idée-repère est le mot demi-tour : de-mi-tour. Si un point A est situé à 3 cm de O sur une droite, alors son image A' est sur la même droite, de l’autre côté de O, à 3 cm de O. Le point O joue le rôle de pivot. La figure ne change ni de taille ni de forme : elle est simplement retournée par un demi-tour.

Dans cette leçon, l’objectif est double : savoir construire l’image d’une figure par symétrie centrale et savoir identifier le centre de symétrie lorsqu’une figure et son image sont données. On utilisera un vocabulaire précis : centre, point image, alignement, milieu, conservation des longueurs, conservation des angles et symétrie centrale.

2. Définition

Définition : La symétrie centrale de centre O est la transformation qui associe à chaque point A un point A' tel que O soit le milieu du segment [AA']. On dit que A' est l’image de A par la symétrie centrale de centre O. Cela signifie que A, O et A' sont alignés, que A et A' sont de part et d’autre de O, et que OA = OA'.

On peut retenir la phrase essentielle : O est le milieu de [AA']. Cette phrase contient les deux conditions importantes. D’abord, les points A, O et A' doivent être alignés. Ensuite, les distances OA et OA' doivent être égales. Si l’une de ces conditions manque, les deux points ne sont pas symétriques par rapport à O.

La symétrie centrale correspond donc à un demi-tour autour de O. Le point O est appelé centre de symétrie. Si on applique cette transformation à une figure entière, on construit l’image de chacun de ses points importants, en particulier ses sommets, puis on relie les points images dans le même ordre.

Attention : le centre O est particulier. Son image par la symétrie centrale de centre O est lui-même. En effet, il ne bouge pas lors du demi-tour. On dit que O est un point invariant.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si A' est l’image de A par la symétrie centrale de centre O, alors O est le milieu de [AA']. Réciproquement, si O est le milieu de [AA'], alors A et A' sont symétriques par rapport à O.

Ce théorème est le critère principal pour construire ou vérifier une symétrie centrale. Il permet de passer de la définition à une méthode de construction concrète : pour trouver A', il faut tracer la droite (AO), puis reporter la distance OA de l’autre côté de O.

Théorème : La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, les aires, l’alignement et le parallélisme.

Ces propriétés de conservation sont très importantes en géométrie. Si un segment [AB] a pour image [A'B'], alors AB = A'B'. Si deux droites sont parallèles, leurs images sont également parallèles. Si trois points sont alignés, leurs images sont alignées. Si un triangle est rectangle, son image est aussi un triangle rectangle. Si une figure a une aire de 12 cm², son image a également une aire de 12 cm².

La symétrie centrale conserve donc la forme et la taille d’une figure. Elle ne l’agrandit pas et ne la réduit pas. Elle peut seulement changer sa position et son orientation, comme après un demi-tour.

4. Démonstration

Montrons pourquoi la condition « O est le milieu de [AA'] » caractérise la symétrie centrale. Une symétrie centrale de centre O est un demi-tour autour du point O. Lorsqu’un point A effectue un demi-tour autour de O, il se retrouve sur la même droite que A et O, mais de l’autre côté de O. Comme il s’agit d’un demi-tour, la distance au centre ne change pas : la distance OA avant le demi-tour est égale à la distance OA' après le demi-tour.

On obtient donc deux informations. Premièrement, A, O et A' sont alignés. Deuxièmement, OA = OA'. Ces deux informations signifient exactement que O est le milieu du segment [AA']. Ainsi, si A' est l’image de A par la symétrie centrale de centre O, alors O est le milieu de [AA'].

Réciproquement, supposons que O soit le milieu de [AA']. Alors A, O et A' sont alignés, et les distances OA et OA' sont égales. Le point A' est donc placé exactement comme le point obtenu après un demi-tour de A autour de O. Par conséquent, A' est l’image de A par la symétrie centrale de centre O.

Cette démonstration explique aussi pourquoi les longueurs sont conservées. Si on transforme deux points A et B en A' et B', le demi-tour ne déforme pas la figure : il déplace tous les points de la même manière autour du centre O. Le segment [A'B'] a donc la même longueur que [AB]. De même, les angles et les aires sont conservés, car la figure image est superposable à la figure initiale après un demi-tour.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère : je repère le centre O de la symétrie et les points de la figure à transformer. Pour un polygone, je repère surtout ses sommets : A, B, C, D, etc.
2. Je trace : pour chaque point A, je trace la droite (AO). Cette étape évite de placer A' au hasard. Les points A, O et A' devront être alignés.
3. Je reporte : je place A' de l’autre côté de O, sur la droite (AO), de façon que OA = OA'. On peut utiliser une règle graduée, un compas ou compter les carreaux si la figure est sur quadrillage.
4. Je recommence : je construis de la même manière les images B', C', D' des autres points de la figure.
5. Je relie : je relie les points images dans le même ordre que les points de départ. Si la figure initiale est ABCD, alors l’image est A'B'C'D'.
6. Je vérifie : je vérifie que O est le milieu de chaque segment [AA'], [BB'], [CC'], etc. Je vérifie aussi que les longueurs et la forme sont conservées.

La routine à retenir est : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le centre et les points à transformer. J’applique la règle : droite (AO), autre côté de O, même distance. Je vérifie : O est le milieu de [AA'] et la figure image conserve les longueurs.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : on donne un point O et un point A tel que OA = 4 cm. Construire l’image A' du point A par la symétrie centrale de centre O.

Solution : on commence par tracer la droite (AO). Le point A' doit être sur cette droite, car A, O et A' sont alignés. Ensuite, on place A' de l’autre côté de O par rapport à A. On mesure la distance OA, qui vaut 4 cm, puis on reporte 4 cm à partir de O de l’autre côté. On obtient donc OA' = 4 cm.

Vérification : les points A, O et A' sont alignés. De plus, OA = OA' = 4 cm. Donc O est le milieu de [AA']. Par définition, A' est bien l’image de A par la symétrie centrale de centre O.

Sur un quadrillage, la méthode est la même. Si pour aller de O à A, on se déplace de 2 carreaux vers la droite et 3 carreaux vers le haut, alors pour aller de O à A', on se déplace de 2 carreaux vers la gauche et 3 carreaux vers le bas. On effectue le déplacement opposé, comme dans un demi-tour.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : on donne deux points A et A'. On veut savoir si un point O est le centre de la symétrie qui transforme A en A'.

Solution : pour que O soit le centre de cette symétrie centrale, il faut que O soit le milieu de [AA']. On vérifie donc deux conditions. Première condition : les points A, O et A' sont-ils alignés ? Si ce n’est pas le cas, O ne peut pas être le centre de symétrie. Deuxième condition : les distances OA et OA' sont-elles égales ? Si les distances ne sont pas égales, O n’est pas le milieu de [AA'].

Supposons que A, O et A' soient alignés, que OA = 5 cm et que OA' = 5 cm. Alors O est bien le milieu de [AA']. On peut conclure que A et A' sont symétriques par rapport à O.

Si au contraire OA = 5 cm et OA' = 4 cm, les distances sont différentes. Même si les points sont alignés, O n’est pas le milieu de [AA']. Le point A' n’est donc pas l’image de A par la symétrie centrale de centre O.

Dans un exercice de repérage du centre de symétrie, on peut aussi construire le segment [AA'] et chercher son milieu. Si plusieurs couples de points correspondants sont donnés, le centre doit être le même milieu pour tous les segments reliant un point à son image.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : sur une carte d’un parc, un motif en forme de quadrilatère ABCD est placé autour d’un rond-point O. Le paysagiste veut créer le même motif de l’autre côté du rond-point, comme si le premier motif faisait un demi-tour autour de O. Construire l’image A'B'C'D' du quadrilatère ABCD par la symétrie centrale de centre O.

Solution : on transforme chaque sommet du quadrilatère. Pour le point A, on trace la droite (AO), puis on place A' de l’autre côté de O avec OA = OA'. Pour le point B, on trace la droite (BO), puis on place B' de l’autre côté de O avec OB = OB'. On recommence pour C et D. Une fois les quatre points images construits, on relie A' à B', B' à C', C' à D' et D' à A'.

Vérification : O doit être le milieu de [AA'], [BB'], [CC'] et [DD']. Le quadrilatère A'B'C'D' doit avoir les mêmes longueurs de côtés que ABCD. Par exemple, AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D' et DA = D'A'. Les angles sont également conservés. Si ABCD possède deux côtés parallèles, leurs images seront aussi parallèles.

Interprétation : le second motif est exactement le même que le premier, mais placé en position opposée par rapport au rond-point O. La symétrie centrale permet donc d’organiser des motifs, des plans, des frises ou des figures en utilisant un centre de symétrie.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : placer A' du même côté que A par rapport à O — À faire : verbaliser que A' est sur la même droite que A et O, mais de l’autre côté du centre O.
• Erreur : construire OA et OA' avec des longueurs différentes — À faire : utiliser le compas, la règle graduée ou compter les carreaux avec précision pour obtenir OA = OA'.
• Erreur : placer A' sans tracer la droite (AO) — À faire : commencer obligatoirement par tracer la droite passant par le point et le centre.
• Erreur : relier les points images dans le mauvais ordre — À faire : nommer clairement A', B', C', D', puis relier dans le même ordre que la figure initiale.
• Erreur : penser que l’image change de taille — À faire : rappeler que la symétrie centrale conserve les longueurs, les angles et les aires.
• Erreur : confondre symétrie centrale et symétrie axiale — À faire : se souvenir que la symétrie centrale utilise un point O comme centre, alors que la symétrie axiale utilise une droite comme axe.

10. À retenir

• La symétrie centrale de centre O correspond à un demi-tour autour de O.
• Si A' est l’image de A, alors O est le milieu de [AA'].
• Pour construire A', on trace la droite (AO), puis on place A' de l’autre côté de O avec OA = OA'.
• Les points A, O et A' sont alignés.
• Le centre O est sa propre image : il ne bouge pas.
• La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, les aires, l’alignement et le parallélisme.
• Pour construire l’image d’une figure, on construit l’image de ses points importants, puis on relie les points images dans le même ordre.
• Pour identifier un centre de symétrie, on vérifie qu’il est le milieu des segments reliant les points à leurs images.

11. Exercices d'application

Télécharger le PDF d’exercices sur la symétrie centrale en 5e. Le fichier peut contenir des exercices progressifs pour s’entraîner à repérer le centre, construire des points images, compléter une figure et justifier une réponse avec le vocabulaire géométrique correct.

Aperçu des types d’exercices proposés : Repérer le centre d’une symétrie à partir de plusieurs couples de points ; répondre à des questions de type Vrai ou faux ? sur les propriétés de conservation ; Construire des points images sur papier blanc ou quadrillé ; Remettre la construction dans l’ordre pour comprendre la méthode ; Coder une construction en indiquant les égalités de longueurs et les milieux.

Barème possible sur 10 points : reconnaître la condition de milieu pour un centre de symétrie, 2 points ; utiliser correctement l’alignement A, O, A', 2 points ; reporter les distances de l’autre côté du centre, 2 points ; construire l’image d’une figure en respectant l’ordre des sommets, 2 points ; employer un vocabulaire précis et vérifier la construction, 2 points.

12. Questions fréquentes