Triangles : somme des angles et inégalité triangulaire

1. Introduction et problématique

Un architecte prépare les fondations d'une charpente triangulaire. Il dispose de trois poutres de longueurs 3 m, 4 m et 5 m : peut-il toujours former un triangle solide avec ces trois longueurs ? Et si les poutres mesurent 3 m, 4 m et 8 m, que se passe-t-il ? En géométrie, un triangle n'est pas seulement une figure à trois côtés : ses longueurs et ses angles doivent respecter des règles précises. Deux propriétés sont essentielles en classe de 5e : la somme des trois angles d'un triangle vaut toujours 180°, et les trois longueurs doivent vérifier l'inégalité triangulaire pour que le triangle soit constructible. Ces propriétés permettent de calculer un angle manquant, de contrôler une construction et de justifier correctement un raisonnement.

2. Définition

Un triangle est une figure géométrique formée par trois points non alignés, appelés sommets, reliés deux à deux par trois segments, appelés côtés. Si les sommets sont A, B et C, on note le triangle ABC. Ses côtés sont [AB], [BC] et [AC]. Les longueurs correspondantes sont notées AB, BC et AC. Les trois angles du triangle sont les angles de sommets A, B et C ; on les note souvent Â, B̂ et Ĉ.

Dire qu'un triangle est constructible signifie que les trois longueurs données permettent réellement de tracer un triangle non aplati. Les trois sommets doivent être non alignés : un triangle plat, où les trois points seraient sur une même droite, n'est pas considéré comme un véritable triangle en géométrie du collège.

Définition : Un triangle ABC est une figure formée par trois points A, B et C non alignés et par les trois segments [AB], [BC] et [AC]. Ses angles intérieurs sont Â, B̂ et Ĉ, et ses côtés ont pour longueurs AB, BC et AC.

3. Propriétés et théorèmes

La première propriété fondamentale concerne les angles. Dans tout triangle, quelle que soit sa forme, la somme des mesures des trois angles intérieurs est égale à 180°. Cette propriété est valable pour tous les triangles : triangle quelconque, isocèle, équilatéral, rectangle, obtusangle ou acutangle.

Théorème : Dans tout triangle ABC, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°. On écrit : Â + B̂ + Ĉ = 180°.

Cette propriété permet de calculer un angle manquant dès que deux angles sont connus. Par exemple, si  = 50° et B̂ = 70°, alors Ĉ = 180° - 50° - 70° = 60°.

La deuxième propriété fondamentale concerne les longueurs. Pour pouvoir construire un triangle avec trois longueurs, chacune d'elles doit être strictement inférieure à la somme des deux autres. En pratique, il suffit souvent de tester la plus grande longueur.

Théorème : Trois longueurs a, b et c permettent de construire un triangle si, et seulement si, chaque longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres : a < b + c, b < a + c et c < a + b.

Si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres, on obtient un triangle plat : les trois points sont alignés. Si elle est plus grande que la somme des deux autres, la construction est impossible.

4. Démonstration (ou justification visuelle)

Pour comprendre pourquoi la somme des angles d'un triangle vaut 180°, on peut utiliser une justification visuelle très classique. On trace un triangle ABC. Par le sommet A, on trace une droite parallèle au côté [BC]. Cette droite forme un angle plat, c'est-à-dire un angle de 180°. Les angles situés de part et d'autre de l'angle Â, sur cette droite, correspondent aux angles B̂ et Ĉ du triangle grâce aux propriétés des angles formés par deux droites parallèles coupées par une sécante.

Plus précisément, l'angle formé par [AB] avec la parallèle à [BC] a la même mesure que l'angle B̂. De même, l'angle formé par [AC] avec cette parallèle a la même mesure que l'angle Ĉ. Sur la droite passant par A, ces trois angles sont placés côte à côte : un angle égal à B̂, puis Â, puis un angle égal à Ĉ. Ensemble, ils forment un angle plat.

On obtient donc : B̂ + Â + Ĉ = 180°. Comme l'ordre de l'addition ne change pas le résultat, on écrit généralement : Â + B̂ + Ĉ = 180°.

Pour l'inégalité triangulaire, l'idée intuitive est la suivante : pour aller d'un point A à un point B, le chemin direct [AB] est plus court que le détour passant par un troisième point C. Donc, dans un triangle, la longueur AB est inférieure à AC + CB. Cette idée se répète pour chacun des trois côtés.

5. Méthode pas à pas

Face à un exercice sur les triangles, il faut d'abord identifier si les données concernent des angles ou des longueurs. La propriété utilisée ne sera pas la même.

1. Étape 1 : Je repère les informations données. Si l'énoncé donne deux angles, je pense à la somme des angles du triangle. Si l'énoncé donne trois longueurs, je pense à l'inégalité triangulaire.
2. Étape 2 : J'applique la propriété adaptée. Pour un angle manquant, j'écris : angle manquant = 180° - somme des deux angles connus. Pour trois longueurs, je compare la plus grande longueur avec la somme des deux autres.
3. Étape 3 : Je vérifie et je conclus avec une phrase. Pour les angles, la somme finale doit faire 180°. Pour les longueurs, l'inégalité doit être stricte : la plus grande longueur doit être strictement inférieure à la somme des deux autres.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Dans un triangle ABC, on sait que  = 50° et B̂ = 70°. Calculer la mesure de l'angle Ĉ.

Rédaction modèle :

1. Dans le triangle ABC, les angles Â, B̂ et Ĉ sont les trois angles intérieurs du triangle.

2. D'après le théorème de la somme des angles d'un triangle, on a : Â + B̂ + Ĉ = 180°.

3. On remplace par les valeurs connues : 50° + 70° + Ĉ = 180°. Donc 120° + Ĉ = 180°.

4. On calcule : Ĉ = 180° - 120° = 60°. Donc l'angle Ĉ mesure 60°.

On peut vérifier : 50° + 70° + 60° = 180°. Le résultat est cohérent.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse, réciproque ou variante

Énoncé : Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm et 8 cm ? Justifier.

Rédaction modèle :

Dans ce problème, les données sont des longueurs. Il faut donc utiliser l'inégalité triangulaire. La plus grande longueur est 8 cm. On compare cette longueur à la somme des deux autres : 3 cm + 4 cm = 7 cm.

Or 8 cm est supérieur à 7 cm. On a donc 8 > 3 + 4. La plus grande longueur n'est pas strictement inférieure à la somme des deux autres.

D'après l'inégalité triangulaire, les trois longueurs ne permettent pas de construire un triangle. Donc il est impossible de construire un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 8 cm.

Attention : si les longueurs avaient été 3 cm, 4 cm et 7 cm, la construction aurait aussi été impossible, car 3 + 4 = 7. Dans ce cas, on obtiendrait un triangle plat, pas un vrai triangle.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Une équipe installe une petite structure triangulaire pour soutenir une décoration dans un gymnase. Deux barres mesurent 2,5 m et 3 m. La troisième barre mesure 5,2 m. Peut-on former une structure triangulaire ? Si oui, la structure sera rigide ; sinon, les barres ne pourront pas former un triangle.

Résolution : Les informations données sont des longueurs. On utilise donc l'inégalité triangulaire. La plus grande longueur est 5,2 m. On calcule la somme des deux autres longueurs : 2,5 m + 3 m = 5,5 m.

On compare : 5,2 m < 5,5 m. La plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres. Les trois longueurs respectent donc l'inégalité triangulaire.

On peut conclure que la structure triangulaire est constructible. Les trois barres peuvent former un triangle non aplati. Dans une situation réelle, cette vérification est importante : si la troisième barre avait mesuré 5,5 m exactement, les trois barres auraient été alignées ; si elle avait mesuré plus de 5,5 m, il aurait été impossible de fermer le triangle.

Cette propriété explique aussi une idée de la vie courante : le trajet direct entre deux points est toujours plus court qu'un détour. C'est le principe géométrique qui se cache derrière l'inégalité triangulaire.

9. Erreurs classiques à éviter

Les erreurs sur ce chapitre viennent souvent d'une confusion entre les propriétés ou d'un oubli du caractère strict de l'inégalité triangulaire. Voici les pièges les plus fréquents.

• Erreur : Dire que la somme des angles d'un triangle vaut 360° — À faire : retenir que 180° correspond au triangle, tandis que 360° correspond à la somme des angles d'un quadrilatère.
• Erreur : Écrire que deux angles de 90° peuvent appartenir au même triangle — À faire : remarquer que 90° + 90° = 180°, donc il ne resterait plus 0° pour le troisième angle, ce qui est impossible dans un vrai triangle.
• Erreur : Penser que trois longueurs 3 cm, 4 cm et 7 cm forment un triangle parce que 3 + 4 = 7 — À faire : utiliser une inégalité stricte : il faut 3 + 4 > 7. L'égalité donne un triangle plat.
• Erreur : Tester une inégalité au hasard et conclure trop vite — À faire : repérer d'abord la plus grande longueur, puis la comparer à la somme des deux autres. C'est la méthode la plus rapide.
• Erreur : Calculer 180° ÷ 3 = 60° pour tous les triangles — À faire : savoir que les trois angles valent 60° seulement dans un triangle équilatéral. Dans un triangle quelconque, les angles peuvent être différents.
• Erreur : Oublier la rédaction mathématique — À faire : écrire la propriété utilisée avant le calcul : "D'après la somme des angles d'un triangle..." ou "D'après l'inégalité triangulaire...".

10. À retenir

• Dans tout triangle ABC, la somme des trois angles vaut 180° : Â + B̂ + Ĉ = 180°.
• Pour calculer un angle manquant, on soustrait à 180° la somme des deux angles connus.
• Trois longueurs permettent de construire un triangle seulement si la plus grande est strictement inférieure à la somme des deux autres.
• Le mot "strictement" est essentiel : si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres, on obtient un triangle plat, donc non constructible comme triangle.
• Un triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles égaux de 60°.
• Un triangle isocèle a deux côtés égaux et deux angles égaux à la base.
• Un triangle rectangle possède un angle droit de 90° ; les deux autres angles sont alors complémentaires, car leur somme vaut 90°.

11. Exercices d'application

Pour t'entraîner, télécharge la fiche d'exercices PDF complète avec corrigé détaillé en bas de page.

Aperçu rapide des types d'exercices proposés :

• Type 1 — Pré-requis rapides en vrai ou faux pour vérifier les connaissances de base.
• Type 2 — Calculer l'angle manquant dans un triangle à partir de deux angles connus.
• Type 3 — Utiliser l'inégalité triangulaire pour dire si un triangle est constructible.
• Type 4 — Compléter des égalités et installer des automatismes de calcul.
• Type 5 — Résoudre de petits problèmes en choisissant la bonne propriété et en justifiant.