Vitesse : grandeur quotient et proportionnalité

1. Introduction et problématique

Situation-problème : un car scolaire parcourt 135 km en 1 h 30 min. Un autre véhicule annonce une vitesse moyenne de 90 km/h. Peut-on dire qu’ils avancent au même rythme ? Pour répondre, il faut comparer une distance parcourue et une durée de trajet. En classe de 5e, la vitesse est étudiée comme une grandeur quotient : elle exprime combien de kilomètres, de mètres ou d’autres unités de longueur sont parcourus pendant une unité de temps.

Dans la vie quotidienne, les vitesses sont partout : 5 km/h pour une marche rapide, 15 km/h à vélo, 50 km/h en ville, 90 km/h sur certaines routes, 300 km/h pour un train à grande vitesse. Pourtant, une vitesse n’est pas seulement un nombre. Elle associe toujours une distance et une durée. Dire « 90 km/h » signifie « 90 kilomètres en 1 heure ». Si la vitesse reste constante, on parcourt 180 kilomètres en 2 heures, 45 kilomètres en 0,5 heure, et 22,5 kilomètres en 0,25 heure.

L’objectif de cette leçon est de savoir calculer une vitesse, une distance ou une durée à partir de la relation fondamentale : v = d ÷ t. On apprendra aussi à choisir la bonne formule, à convertir les durées, à utiliser les unités correctes et à vérifier si un résultat est raisonnable. Cette compétence s’inscrit dans le travail sur la proportionnalité, les grandeurs composées et la résolution de problèmes, conformément aux attendus du cycle 4 du programme de mathématiques.

2. Définition

Définition : La vitesse moyenne d’un déplacement est la distance parcourue divisée par la durée du déplacement. On la note souvent v. Si d désigne la distance parcourue et t la durée du trajet, alors v = d ÷ t.

La vitesse est une grandeur quotient, car elle est obtenue en divisant deux grandeurs : une distance par une durée. Par exemple, si une voiture parcourt 120 km en 2 h, sa vitesse moyenne est 120 ÷ 2 = 60 km/h. Cela signifie qu’en moyenne, elle parcourt 60 kilomètres en une heure.

L’unité de vitesse dépend des unités choisies pour la distance et la durée. Si la distance est en kilomètres et la durée en heures, la vitesse est en kilomètres par heure, notée km/h. Si la distance est en mètres et la durée en secondes, la vitesse est en mètres par seconde, notée m/s. L’écriture « km/h » se lit « kilomètres par heure » et signifie « kilomètres ÷ heure ».

Il faut bien distinguer vitesse instantanée et vitesse moyenne. La vitesse affichée au compteur d’une voiture à un instant donné est une vitesse instantanée. En mathématiques au collège, on travaille le plus souvent avec la vitesse moyenne : on tient compte de toute la distance parcourue et de toute la durée du trajet, même si le véhicule a ralenti, accéléré ou s’est arrêté.

Les formules à connaître sont les suivantes : v = d ÷ t pour calculer une vitesse ; d = v × t pour calculer une distance ; t = d ÷ v pour calculer une durée. Les mots repères sont donc : VITESSE, DISTANCE, DURÉE, CONVERSION et UNITÉ.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Si un mobile se déplace à vitesse constante, alors la distance parcourue est proportionnelle à la durée du déplacement. Le coefficient de proportionnalité est la vitesse.

Cette propriété est fondamentale. Si une voiture roule à 80 km/h de manière constante, alors en 1 h elle parcourt 80 km, en 2 h elle parcourt 160 km, en 3 h elle parcourt 240 km. Quand la durée est multipliée par 2, la distance est aussi multipliée par 2 ; quand la durée est multipliée par 3, la distance est aussi multipliée par 3. On reconnaît une situation de proportionnalité.

Dans un tableau de proportionnalité, on peut placer les durées sur une ligne et les distances sur une autre ligne. Le passage de la durée à la distance se fait en multipliant par la vitesse. Par exemple, pour une vitesse constante de 12 km/h :

La relation d = v × t traduit cette proportionnalité. Si on connaît deux grandeurs parmi la distance, la vitesse et la durée, on peut calculer la troisième. Mais il faut que les unités soient compatibles : une vitesse en km/h doit être associée à une distance en km et à une durée en h ; une vitesse en m/s doit être associée à une distance en m et à une durée en s.

Pour convertir des vitesses, on utilise le lien entre kilomètres et mètres, heures et secondes. Comme 1 km = 1 000 m et 1 h = 3 600 s, on a 1 km/h = 1 000 m ÷ 3 600 s = 1 ÷ 3,6 m/s. Donc, pour convertir des km/h en m/s, on divise par 3,6. Pour convertir des m/s en km/h, on multiplie par 3,6.

4. Démonstration

On justifie la formule v = d ÷ t à partir du sens même d’une vitesse moyenne. Supposons qu’un cycliste parcoure 36 km en 3 h, à allure régulière. Pour savoir combien de kilomètres il parcourt en 1 h, on partage la distance totale en 3 parts égales, car 3 h contiennent trois durées de 1 h. On calcule donc 36 ÷ 3 = 12. Le cycliste parcourt en moyenne 12 km en 1 h : sa vitesse moyenne est 12 km/h.

Ce raisonnement montre que la vitesse est la distance correspondant à une unité de temps. Calculer une vitesse revient donc à ramener la distance à 1 h, à 1 s, ou à une autre unité de temps. C’est pour cela qu’on divise la distance par la durée : v = d ÷ t.

À partir de cette formule, on retrouve les deux autres relations. Si v = d ÷ t, alors la distance d est obtenue en multipliant la vitesse par la durée : d = v × t. Par exemple, si v = 12 km/h et t = 3 h, alors d = 12 × 3 = 36 km. De même, si on connaît la distance et la vitesse, la durée est obtenue en divisant la distance par la vitesse : t = d ÷ v. Par exemple, pour parcourir 36 km à 12 km/h, il faut 36 ÷ 12 = 3 h.

On peut aussi raisonner avec un tableau de proportionnalité. Si une voiture roule à 90 km/h, on sait qu’elle parcourt 90 km en 1 h. Pour 2 h, on double la distance : 180 km. Pour 0,5 h, on prend la moitié : 45 km. Chaque distance s’obtient en multipliant la durée par 90. La vitesse 90 est donc le coefficient de proportionnalité entre la durée en heures et la distance en kilomètres.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère. Je lis l’énoncé attentivement et je souligne les nombres avec leurs unités. Je cherche quelle grandeur est donnée : distance, durée, vitesse. Je repère aussi la grandeur demandée.
2. Je choisis les unités. Si la vitesse est en km/h, j’exprime la distance en km et la durée en h. Si la vitesse est en m/s, j’exprime la distance en m et la durée en s.
3. Je convertis si nécessaire. Je rappelle que 1 h = 60 min. Ainsi 30 min = 0,5 h, 15 min = 0,25 h, 45 min = 0,75 h. Pour les secondes, 1 min = 60 s et 1 h = 3 600 s.
4. J’applique la bonne formule. Pour calculer une vitesse : v = d ÷ t. Pour calculer une distance : d = v × t. Pour calculer une durée : t = d ÷ v.
5. Je calcule proprement. Je pose le calcul ou j’utilise la calculatrice en respectant les parenthèses si besoin. Je garde une valeur exacte quand c’est possible, ou j’arrondis selon la consigne.
6. J’écris l’unité. Une vitesse sans unité est une réponse incomplète. J’écris km/h, m/s, km, m, h, min ou s selon la grandeur calculée.
7. Je vérifie. Je contrôle que l’ordre de grandeur est raisonnable. Par exemple, une marche à 300 km/h ou une voiture à 2 km/h doivent alerter : il y a probablement une erreur de formule ou de conversion.

La routine à mémoriser est : 🔎 Je repère, 🧮 J’applique, ✅ Je vérifie. Cette méthode évite les erreurs classiques, en particulier la confusion entre multiplication et division, ou l’oubli des conversions de minutes en heures.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

Énoncé : Un train parcourt 240 km en 2 h. Calculer sa vitesse moyenne.

Étape 1 : repérer les grandeurs. La distance est d = 240 km. La durée est t = 2 h. On cherche la vitesse moyenne v. Les unités sont compatibles : kilomètres et heures, donc le résultat sera en km/h.

Étape 2 : choisir la formule. Pour calculer une vitesse, on utilise v = d ÷ t.

Étape 3 : calculer. v = 240 ÷ 2 = 120.

Étape 4 : répondre. La vitesse moyenne du train est de 120 km/h.

Vérification : À 120 km/h, en 1 h le train parcourt 120 km. En 2 h, il parcourt 120 × 2 = 240 km. Le résultat est cohérent.

Attention : si la durée avait été donnée en minutes, il aurait fallu la convertir. Par exemple, 2 h 30 min = 2,5 h. On ne doit jamais utiliser directement « 230 » ou « 2,30 » pour 2 h 30 min, car 30 min n’est pas égal à 0,30 h. En réalité, 30 min = 0,5 h.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Énoncé : Une voiture roule à une vitesse moyenne de 75 km/h pendant 2 h 24 min. Quelle distance parcourt-elle ?

Étape 1 : repérer les grandeurs. La vitesse est v = 75 km/h. La durée est t = 2 h 24 min. On cherche la distance d. Comme la vitesse est en km/h, il faut exprimer la durée en heures.

Étape 2 : convertir la durée. 24 min = 24 ÷ 60 h = 0,4 h. Donc 2 h 24 min = 2,4 h.

Étape 3 : choisir la formule. Pour calculer une distance, on utilise d = v × t.

Étape 4 : calculer. d = 75 × 2,4 = 180.

Réponse : La voiture parcourt 180 km.

Vérification : En 2 h, à 75 km/h, elle parcourt 150 km. En 0,4 h, c’est-à-dire 24 min, elle parcourt 75 × 0,4 = 30 km. Au total, 150 + 30 = 180 km. Le résultat est logique.

Dans ce type d’exercice, l’erreur fréquente est d’écrire 2 h 24 min = 2,24 h. C’est faux, car les heures ne fonctionnent pas en base 100 mais en base 60 : 1 h = 60 min.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Énoncé : Lina part à vélo à 14 h 10 et arrive chez sa grand-mère à 15 h 25. La distance parcourue est de 18 km. Calculer sa vitesse moyenne en km/h.

Étape 1 : déterminer la durée. De 14 h 10 à 15 h 10, il s’écoule 1 h. De 15 h 10 à 15 h 25, il s’écoule 15 min. La durée totale est donc 1 h 15 min.

Étape 2 : convertir en heures. 15 min = 15 ÷ 60 h = 0,25 h. Donc 1 h 15 min = 1,25 h.

Étape 3 : repérer la formule. On connaît la distance d = 18 km et la durée t = 1,25 h. On cherche la vitesse v. On utilise v = d ÷ t.

Étape 4 : calculer. v = 18 ÷ 1,25 = 14,4.

Réponse : Lina roule à une vitesse moyenne de 14,4 km/h.

Interprétation : Cette vitesse est raisonnable pour un trajet à vélo. Elle ne signifie pas que Lina a roulé exactement à 14,4 km/h à chaque instant. Elle a peut-être ralenti dans une montée ou accéléré dans une descente. La vitesse moyenne indique le rythme global sur l’ensemble du trajet.

Conversion possible : Si on veut convertir 14,4 km/h en m/s, on divise par 3,6 : 14,4 ÷ 3,6 = 4. La vitesse moyenne est donc aussi égale à 4 m/s.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : multiplier au lieu de diviser pour calculer une vitesse — À faire : reformuler la vitesse comme une distance parcourue pendant une unité de temps, puis utiliser v = d ÷ t.
• Erreur : utiliser 30 min comme si c’était 30 h — À faire : convertir les minutes en heures : 30 min = 0,5 h, 45 min = 0,75 h, 15 min = 0,25 h.
• Erreur : écrire un résultat sans unité — À faire : terminer par une phrase-réponse avec l’unité adaptée : km/h, m/s, km, h, min ou s.
• Erreur : confondre distance et durée dans l’énoncé — À faire : surligner les nombres avec leurs unités avant de choisir la formule.
• Erreur : convertir des km/h en m/s en multipliant par 3,6 — À faire : mémoriser : de km/h vers m/s, on divise par 3,6 ; de m/s vers km/h, on multiplie par 3,6.
• Erreur : écrire 1 h 30 min = 1,30 h — À faire : se rappeler que 30 min = 0,5 h, donc 1 h 30 min = 1,5 h.
• Erreur : donner une précision excessive, par exemple 12,666666 km/h sans consigne — À faire : arrondir raisonnablement si nécessaire, par exemple au dixième : 12,7 km/h.

10. À retenir

• Une vitesse moyenne compare une distance parcourue et une durée de parcours.
• La formule principale est : v = d ÷ t.
• Pour calculer une distance, on utilise : d = v × t.
• Pour calculer une durée, on utilise : t = d ÷ v.
• Une vitesse de 90 km/h signifie 90 kilomètres parcourus en 1 heure.
• La vitesse est une grandeur quotient : elle s’obtient en divisant une distance par une durée.
• À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée.
• Si la vitesse est en km/h, la distance doit être en km et la durée en h.
• Si la vitesse est en m/s, la distance doit être en m et la durée en s.
• 1 h = 60 min, donc 30 min = 0,5 h et 45 min = 0,75 h.
• Pour convertir des km/h en m/s, on divise par 3,6.
• Pour convertir des m/s en km/h, on multiplie par 3,6.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices au format PDF : elle permet de s’entraîner progressivement au calcul d’une vitesse, d’une distance ou d’une durée, avec des situations de proportionnalité et des conversions d’unités.

Aperçu des types d’exercices proposés : compléter un tableau de vitesses, choisir la bonne formule, remettre le raisonnement dans l’ordre, calculer et écrire l’unité, résoudre des problèmes avec conversions et vitesses. Certains exercices demandent de passer des minutes aux heures, d’autres de convertir des km/h en m/s ou des m/s en km/h.

Barème conseillé pour une correction : identification correcte des grandeurs distance, durée, vitesse : 2 points ; choix de la formule adaptée : 2 points ; calculs numériques exacts : 3 points ; conversions de durées ou de vitesses correctement réalisées : 2 points ; résultats rédigés avec une unité adaptée : 1 point.

Pour réussir, il est conseillé de toujours écrire les trois lettres d, v et t au brouillon, puis de compléter ce que l’on connaît. Ensuite, on choisit la formule adaptée. Cette organisation limite les confusions et rend le raisonnement plus clair.

12. Questions fréquentes