Volumes : prisme droit et cylindre

1. Introduction et problématique

Situation-problème : une classe de 5e prépare une exposition de sciences. Les élèves doivent fabriquer deux contenants transparents : une boîte en forme de prisme droit pour ranger des cubes en mousse, et un tube cylindrique pour présenter du sable coloré. Pour commander la bonne quantité de matière, ils doivent répondre à une question simple en apparence : combien d’espace chaque solide peut-il contenir ? Cette quantité d’espace s’appelle le volume. Dans la vie quotidienne, on rencontre souvent cette idée : remplir une piscine, choisir un carton de déménagement, connaître la capacité d’une boîte, d’un réservoir ou d’un pot cylindrique.

Le problème mathématique est donc le suivant : comment calculer le volume d’un prisme droit et le volume d’un cylindre sans devoir les remplir réellement ? En classe de 5e, conformément aux attendus du programme, on apprend à reconnaître la base d’un solide, sa hauteur, puis à appliquer une formule adaptée. La méthode générale à retenir est : volume = aire de base × hauteur. Pour un cylindre, la base est un disque ; son aire vaut π × r², donc le volume du cylindre vaut π × r² × h.

Dans cette leçon, on va apprendre à identifier les données utiles, choisir la bonne formule, effectuer les calculs avec des unités cohérentes et rédiger une réponse claire en unités cubiques : cm³, dm³ ou m³.

2. Définition

Définition : Le volume d’un solide est la mesure de l’espace occupé par ce solide. Il s’exprime avec des unités cubiques, comme le mm³, le cm³, le dm³ ou le m³.

Un prisme droit est un solide qui possède deux faces parallèles et superposables appelées bases. Ces bases sont des polygones : triangles, rectangles, pentagones, etc. Les autres faces sont des rectangles. La hauteur d’un prisme droit est la distance perpendiculaire entre ses deux bases.

Un cylindre de révolution est un solide qui possède deux bases parallèles et superposables en forme de disques. La hauteur du cylindre est la distance perpendiculaire entre les deux disques. Le rayon du cylindre est le rayon d’une base circulaire.

Mot repère : base-hauteur. La base est la face qui sert de référence pour calculer l’aire. La hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases. Exemple : si l’aire de base vaut 12 cm² et la hauteur vaut 5 cm, alors le volume vaut V = 12 × 5 = 60 cm³.

Attention : une aire se mesure en unités carrées, comme cm², tandis qu’un volume se mesure en unités cubiques, comme cm³. Cette différence est essentielle : l’aire mesure une surface, le volume mesure un espace.

3. Propriétés et théorèmes

Théorème : Le volume d’un prisme droit est égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur : V = aire de base × hauteur.

Théorème : Le volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h est : V = π × r² × h.

Ces deux formules ont la même structure. Pour le prisme droit, la base peut avoir différentes formes. Il faut donc parfois commencer par calculer l’aire de cette base. Par exemple, si la base est un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 3 cm, son aire vaut 8 × 3 = 24 cm². Si la hauteur du prisme vaut 10 cm, alors le volume vaut 24 × 10 = 240 cm³.

Pour le cylindre, la base est toujours un disque. On utilise donc la formule de l’aire du disque : aire de base = π × r². Ensuite, on multiplie cette aire par la hauteur du cylindre. Ainsi, V = π × r² × h. Si le rayon vaut 4 cm et la hauteur 7 cm, alors V = π × 4² × 7 = π × 16 × 7 = 112π cm³. Une valeur approchée est 112 × 3,14 = 351,68 cm³.

Il faut retenir que la hauteur est toujours perpendiculaire aux bases. Elle ne correspond pas forcément à une arête inclinée sur un dessin en perspective. En 5e, on travaille souvent avec des prismes droits et des cylindres droits : leurs côtés sont bien perpendiculaires aux bases.

4. Démonstration

Pour comprendre la formule V = aire de base × hauteur, on peut imaginer que l’on construit un solide en empilant des couches identiques. Chaque couche a la même forme que la base du solide. Si la base a une aire de 12 cm² et que l’on empile 5 couches d’épaisseur 1 cm, on obtient un volume de 12 × 5 = 60 cm³. Le volume correspond donc à l’aire d’une couche multipliée par le nombre de couches, c’est-à-dire par la hauteur.

Dans un prisme droit, toutes les sections parallèles à la base sont identiques à la base. Cela signifie que l’on peut le voir comme un empilement régulier de bases identiques. Si la base est un triangle, le prisme est comme un empilement de triangles identiques ; si la base est un rectangle, il est comme un empilement de rectangles identiques. Dans tous les cas, le principe reste : volume = aire de base × hauteur.

Pour le cylindre, le raisonnement est le même. Un cylindre peut être vu comme un empilement de disques identiques. Chaque disque a pour aire π × r². Si la hauteur est h, le volume est donc l’aire du disque multipliée par h. On obtient V = π × r² × h.

Cette démonstration intuitive permet de comprendre pourquoi on ne multiplie pas au hasard toutes les longueurs données. Il faut d’abord reconnaître la base, calculer ou utiliser son aire, puis multiplier par la hauteur perpendiculaire à cette base.

5. Méthode pas à pas

1. Je repère le solide. Je vérifie si c’est un prisme droit ou un cylindre. Un prisme droit a deux bases polygonales superposables ; un cylindre a deux bases circulaires.
2. Je repère la base. Pour un prisme droit, la base peut être un triangle, un rectangle ou un autre polygone. Pour un cylindre, la base est un disque.
3. Je repère la hauteur. La hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases. Elle doit être exprimée dans la même unité de longueur que les dimensions de la base.
4. Je calcule l’aire de la base si nécessaire. Pour un rectangle : longueur × largeur. Pour un triangle : base × hauteur ÷ 2. Pour un disque : π × r².
5. J’applique la formule. Pour un prisme droit : V = aire de base × hauteur. Pour un cylindre : V = π × r² × h.
6. Je fais le calcul avec soin. Je respecte les priorités : le carré r² se calcule avant les multiplications. Si une valeur exacte est demandée, je garde π.
7. Je vérifie les unités. Si les longueurs sont en cm, l’aire est en cm² et le volume en cm³. Si les longueurs sont en m, le volume est en m³.
8. Je rédige la réponse. J’écris une phrase complète : « Le volume du solide est ... cm³. »

Routine à mémoriser : Je repère / J’applique / Je vérifie. Je repère le solide, l’aire de base et la hauteur. J’applique la bonne formule. Je vérifie les calculs, les unités et la cohérence de la réponse.

6. Exemple résolu 1 — cas direct

On considère un prisme droit dont la base est un rectangle de longueur 7 cm et de largeur 4 cm. La hauteur du prisme est 9 cm. On veut calculer son volume.

Étape 1 : identifier le solide. C’est un prisme droit. On utilise donc la formule V = aire de base × hauteur.

Étape 2 : calculer l’aire de la base. La base est un rectangle. Son aire vaut longueur × largeur, donc 7 × 4 = 28 cm².

Étape 3 : multiplier par la hauteur. La hauteur du prisme vaut 9 cm. Donc V = 28 × 9 = 252 cm³.

Réponse : le volume du prisme droit est 252 cm³.

On peut vérifier la cohérence du résultat. L’aire de base est en cm² et la hauteur en cm. Le produit cm² × cm donne cm³. L’unité finale est donc bien une unité de volume. Il ne faut pas répondre 252 cm², car cm² désigne une aire et non un volume.

7. Exemple résolu 2 — cas inverse

Un prisme droit a un volume de 180 cm³. L’aire de sa base est 30 cm². On cherche sa hauteur.

Étape 1 : écrire la formule. Pour un prisme droit, V = aire de base × hauteur.

Étape 2 : remplacer les valeurs connues. On sait que V = 180 cm³ et que l’aire de base vaut 30 cm². Donc 180 = 30 × hauteur.

Étape 3 : trouver la hauteur. Pour trouver le facteur manquant, on divise le volume par l’aire de base : hauteur = 180 ÷ 30 = 6 cm.

Réponse : la hauteur du prisme droit est 6 cm.

Dans un cas inverse, on ne cherche pas directement le volume, mais une dimension manquante. La formule reste la même, mais on l’utilise autrement. Comme V = aire de base × hauteur, alors hauteur = V ÷ aire de base. Les unités confirment le résultat : cm³ ÷ cm² = cm.

On peut faire un raisonnement similaire avec un cylindre. Si le volume et la hauteur sont connus, on peut retrouver l’aire de la base, puis le rayon si nécessaire. Cependant, en 5e, on demande surtout de calculer un volume ou une hauteur simple, en veillant à ne pas confondre le rayon et le diamètre.

8. Exemple résolu 3 — problème concret

Une jardinerie vend un pot cylindrique de rayon 6 cm et de hauteur 15 cm. On veut connaître le volume de terre que le pot peut contenir, en supposant qu’il est entièrement rempli.

Étape 1 : identifier le solide. Le pot a la forme d’un cylindre. On utilise la formule V = π × r² × h.

Étape 2 : repérer les données. Le rayon est r = 6 cm et la hauteur est h = 15 cm. Les deux mesures sont dans la même unité, le centimètre.

Étape 3 : appliquer la formule. V = π × 6² × 15. On calcule d’abord 6² = 36. Donc V = π × 36 × 15 = 540π cm³.

Étape 4 : donner une valeur approchée si nécessaire. Avec π ≈ 3,14, on obtient V ≈ 540 × 3,14 = 1 695,6 cm³.

Réponse : le volume exact du pot est 540π cm³, soit environ 1 695,6 cm³.

Si l’énoncé demandait une capacité en litres, on pourrait utiliser la relation 1 dm³ = 1 L. Or 1 000 cm³ = 1 dm³, donc 1 695,6 cm³ = 1,6956 dm³, soit environ 1,70 L. Cette conversion est utile dans les problèmes de capacité, mais il faut toujours vérifier si elle est demandée.

9. Erreurs classiques à éviter

• Erreur : utiliser le diamètre à la place du rayon dans la formule du cylindre — À faire : écrire systématiquement rayon = diamètre ÷ 2 avant d’appliquer V = π × r² × h.
• Erreur : oublier le carré dans r² — À faire : se rappeler que l’aire de la base du cylindre est celle d’un disque : π × r².
• Erreur : donner une réponse en cm² au lieu de cm³ — À faire : distinguer aire et volume : une aire mesure une surface, un volume mesure un espace.
• Erreur : multiplier toutes les longueurs disponibles sans identifier la base — À faire : surligner l’aire de base en bleu et la hauteur en rouge avant de calculer.
• Erreur : arrondir trop tôt les calculs avec π — À faire : conserver l’écriture avec π jusqu’à la fin, puis arrondir seulement si l’énoncé le demande.
• Erreur : confondre la hauteur de la base triangulaire et la hauteur du prisme — À faire : nommer les deux grandeurs : hauteur du triangle pour calculer l’aire de base, hauteur du prisme pour calculer le volume.
• Erreur : mélanger les unités, par exemple utiliser des cm et des m dans le même calcul — À faire : convertir toutes les longueurs dans la même unité avant d’appliquer la formule.

10. À retenir

• Le volume mesure l’espace occupé par un solide.
• Les unités de volume sont des unités cubiques : mm³, cm³, dm³, m³.
• Pour un prisme droit : V = aire de base × hauteur.
• Pour un cylindre : V = π × r² × h.
• Dans un cylindre, r désigne le rayon, pas le diamètre.
• Si le diamètre est donné, il faut calculer : rayon = diamètre ÷ 2.
• La hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases.
• Une aire s’exprime en cm², mais un volume s’exprime en cm³.
• Il faut toujours vérifier que toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité.
• Avec π, on garde la valeur exacte si elle est demandée ; on utilise 3,14 ou la touche π seulement pour une valeur approchée.

Phrase clé : Je calcule l’aire de la base, puis je multiplie par la hauteur. Cette idée fonctionne pour les prismes droits et explique aussi la formule du cylindre.

11. Exercices d'application

Télécharger la fiche d’exercices en PDF : Volumes d’un prisme droit et d’un cylindre en 5e.

La fiche d’exercices permet de s’entraîner progressivement. Les premiers exercices demandent de compléter un tableau des volumes à partir d’une aire de base et d’une hauteur. D’autres exercices demandent de choisir la bonne formule, notamment entre V = aire de base × hauteur et V = π × r² × h. Certains calculs sont directs, d’autres nécessitent de retrouver le rayon à partir du diamètre.

Types d’exercices proposés : compléter le tableau des volumes ; calculer avec la bonne formule ; recomposer les calculs dans le bon ordre ; encoder les réponses avec la bonne unité ; résoudre un problème de capacité. Les problèmes peuvent porter sur une boîte, un aquarium, une colonne cylindrique, un pot ou un réservoir.

Barème possible pour une évaluation : choix de la formule adaptée, 4 points ; identification correcte de la base, de la hauteur et du rayon, 4 points ; calculs numériques justes, 5 points ; unités de volume correctement écrites, 3 points ; rédaction claire des problèmes, 4 points. Ce barème montre que le résultat seul ne suffit pas : il faut aussi présenter une démarche claire.

12. Questions fréquentes