Exercices corriges symetrie centrale 5eme
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Exercices corrigés symétrie centrale 5ème : voici une fiche complète pour s’entraîner vraiment, pas juste recopier une définition. Si tu cherches des exercices corrigés de symétrie centrale en 5e avec des réponses détaillées, des constructions expliquées pas à pas et des questions sur les coordonnées, tu es au bon endroit. La symétrie centrale fait partie du programme de 5e de l’Éducation nationale : elle relie les notions de points alignés, de milieux, de figures et de transformations géométriques. Beaucoup d’élèves la comprennent mieux quand ils voient qu’une rotation de 180° “cachée” se trouve derrière. C’est d’ailleurs un fait amusant : en géométrie, la symétrie centrale est exactement équivalente à un demi-tour.
Rappel express sur la symétrie centrale en 5e
Dans une symétrie centrale de centre O, l’image d’un point A est un point A’ tel que O soit le milieu du segment [AA’].
Une figure et son image ont la même forme et les mêmes longueurs.
Le centre O reste fixe.
Une droite passant par O reste inchangée ; une droite ne passant pas par O a pour image une droite parallèle.
La symétrie centrale est équivalente à une rotation de 180° autour de O.
Méthode pour réussir un exercice de symétrie centrale
Quand tu bloques, reviens toujours aux trois questions qui sauvent presque tout :
1. Le centre O est-il le milieu ? Si oui, tu tiens souvent la bonne propriété.
2. Les points sont-ils alignés ? Pour un point A et son image A’, les points A, O et A’ doivent être sur une même droite.
3. La longueur est-elle conservée ? Une symétrie centrale ne déforme pas la figure.
Pour une construction, la routine est simple : tracer la droite passant par le point et O, puis reporter la même distance de l’autre côté de O. Pour des coordonnées avec O(0 ; 0), on change juste les signes. C’est presque trop beau pour être vrai, mais c’est exactement ce qu’attend le programme.
Erreur classique : croire qu’il suffit d’avoir la même distance à O. Non. Il faut aussi que A, O et A’ soient alignés. Sans alignement, ce n’est pas une symétrie centrale.
Si tu veux revoir la leçon avant les exercices, tu peux lire notre cours sur la symétrie centrale en 5e et t’entraîner aussi avec les exercices sur la symétrie axiale pour bien distinguer les deux transformations. Beaucoup d’élèves confondent encore les deux au début, surtout quand la figure “a l’air retournée”.
Résumé des propriétés essentielles à retenir
| Situation | Propriété |
|---|---|
| Point A et son image A’ | O est le milieu de [AA’] et A, O, A’ sont alignés |
| Longueurs | Elles sont conservées |
| Angles | Ils sont conservés |
| Droite passant par O | Elle reste la même |
| Droite ne passant pas par O | Son image est une droite parallèle |
| Figure usuelle | Un segment reste un segment, un triangle reste un triangle, un rectangle reste un rectangle, un parallélogramme reste un parallélogramme |
| Dans un repère de centre O(0 ; 0) | (x ; y) devient (-x ; -y) |
Exemples résolus avant les exercices corrigés de symétrie centrale
Exemple 1 : construire l’image d’un point
On donne un point O et un point A tel que OA = 2,8 cm. On veut construire l’image A’ de A par la symétrie centrale de centre O.
Étape 1 : on trace la droite (AO).
Étape 2 : on place A’ sur cette droite, de l’autre côté de O.
Étape 3 : on mesure OA’ = 2,8 cm.
Vérification : A, O et A’ sont alignés, et O est le milieu de [AA’].
Donc A’ est bien l’image de A.
Petit détail que beaucoup oublient : si A’ est à la bonne distance mais pas exactement sur la droite (AO), la construction est fausse. En classe, c’est l’erreur la plus fréquente sur ce type de question.
Consigne de figure à tracer : marque le centre O en rouge, le point A en bleu, puis place A’ de l’autre côté avec une règle graduée. Cette simple convention visuelle aide vraiment à repérer le demi-tour.
Exemple 2 : image d’un point dans un repère
On travaille dans un repère d’origine O(0 ; 0). Le point M a pour coordonnées M(3 ; -4). On cherche son image M’ par la symétrie centrale de centre O.
Quand le centre est l’origine, on change le signe de chaque coordonnée :
M(3 ; -4) devient M’(-3 ; 4).
Réponse : M’(-3 ; 4).
Pourquoi cela marche ? Parce que O doit être le milieu de [MM’]. Avec 3 et -3 sur l’axe horizontal, puis -4 et 4 sur l’axe vertical, on voit bien que le milieu est 0 dans les deux cas.
Un fait peu connu : cette règle de changement de signes est utilisée plus tard en lycée dans des calculs bien plus avancés, alors qu’elle commence ici, tranquillement, en 5e.
Consigne de figure à tracer : place M puis M’ dans le repère, et trace le segment [MM’]. Tu verras immédiatement que O est au milieu.
Exemple 3 : image d’une droite
On considère une droite (d) qui ne passe pas par le centre O. On cherche son image par la symétrie centrale de centre O.
On choisit deux points R et S sur la droite (d).
On construit leurs images R’ et S’.
La droite image est la droite (R’S’).
Comme la symétrie centrale conserve les directions, la droite (R’S’) est parallèle à (d).
Réponse : l’image d’une droite ne passant pas par O est une droite parallèle.
Voilà un résultat qui surprend souvent : beaucoup d’élèves s’attendent à une droite “penchée autrement”, alors qu’un demi-tour garde la direction.
Consigne de figure à tracer : trace une droite (d), place O à l’extérieur, choisis deux points sur (d), puis construis leurs images. La parallèle apparaît presque toute seule.
Piège à éviter : si la droite passe finalement par O, on n’obtient plus une droite parallèle distincte. On retombe sur la même droite. C’est une nuance simple, mais elle fait perdre des points dans beaucoup de copies.
Lecture visuelle : imagine que tu fais tourner la feuille d’un demi-tour autour de O. Une droite qui ne passe pas par le centre garde sa pente, mais “glisse” de l’autre côté. C’est exactement ce qu’on observe sur la figure.
Exercices corrigés de symétrie centrale 5ème : progression par difficulté
Les exercices ci-dessous suivent une vraie progression : facile, puis intermédiaire, puis difficile. Tu peux les faire dans l’ordre si tu veux réviser pour un contrôle, ou cibler directement les exercices sur les coordonnées, la construction, le milieu, les droites images et les figures usuelles du programme de 5ème.
Exercices faciles : constructions et propriétés de base
Exercice 1 : construire l’image d’un point
Énoncé : On donne un point O et un point A avec OA = 3 cm.
Construire l’image A’ de A par la symétrie centrale de centre O.
Méthode : tracer la droite (AO), placer A’ de l’autre côté de O, puis reporter 3 cm.
Piège à éviter : placer A’ à 3 cm de O sans vérifier l’alignement.
Description visuelle : sur la figure, A, O et A’ doivent être sur une même droite, avec O exactement au milieu.
Correction de l’exercice 1
Étape 1 : on trace la droite passant par A et O.
Étape 2 : on repère le côté opposé à A par rapport à O.
Étape 3 : avec la règle graduée ou le compas, on place A’ tel que OA’ = 3 cm.
Étape 4 : on vérifie que A, O et A’ sont alignés.
Réponse : le point A’ ainsi construit est l’image de A par la symétrie centrale de centre O.
Petite anecdote de salle de classe : beaucoup d’élèves réussissent la distance mais ratent l’alignement d’un millimètre. En géométrie, ce millimètre compte vraiment.
Exercice 2 : calculer une longueur avec le milieu
Énoncé : Les points A, O et A’ sont alignés. On sait que OA = 4,5 cm et que O est le milieu de [AA’].
Calculer AA’.
Méthode : si O est le milieu, alors OA = OA’. La longueur totale vaut donc OA + OA’.
Piège à éviter : répondre 4,5 cm au lieu de 9 cm.
Correction de l’exercice 2
Puisque O est le milieu de [AA’], on a :
OA = OA’ = 4,5 cm.
Donc :
AA’ = OA + OA’ = 4,5 + 4,5 = 9 cm.
Réponse : AA’ = 9 cm.
Fait peu connu : dans beaucoup de transformations, on parle de centre, d’axe ou de conservation. Ici, le mot qui débloque tout est souvent milieu. C’est lui qui fait gagner du temps.
Exercice 3 : image d’un segment
Énoncé : Tracer un segment [BC] de longueur 5 cm. Placer un point O qui n’appartient pas au segment. Construire les images B’ et C’ de B et C par la symétrie centrale de centre O.
Que peut-on dire des longueurs BC et B’C’ ?
Méthode : construire d’abord B’ et C’, puis comparer le segment de départ et son image.
Description visuelle : les segments [BC] et [B’C’] ont la même longueur et sont parallèles.
Correction de l’exercice 3
Étape 1 : on construit B’ tel que O soit le milieu de [BB’].
Étape 2 : on construit C’ tel que O soit le milieu de [CC’].
Étape 3 : on trace le segment [B’C’].
La symétrie centrale conserve les longueurs. Donc :
BC = B’C’.
Comme BC = 5 cm, on obtient :
B’C’ = 5 cm.
Réponse : les longueurs BC et B’C’ sont égales.
Et même mieux : si la droite (BC) ne passe pas par O, alors les droites (BC) et (B’C’) sont parallèles. Ce détail sert souvent plus tard dans les exercices sur les quadrilatères.
Exercice 4 : image d’une droite passant par le centre
Énoncé : Une droite (d) passe par le point O, centre de symétrie.
Quelle est l’image de la droite (d) par la symétrie centrale de centre O ?
Piège à éviter : répondre “une droite parallèle” sans regarder si O appartient à la droite.
Correction de l’exercice 4
Quand une droite passe par le centre O, son image par symétrie centrale est la même droite.
Réponse : l’image de (d) est (d) elle-même.
Ce résultat paraît presque trop simple, donc certains élèves cherchent une réponse plus compliquée. Ici, la bonne réponse est justement la plus directe.
Exercice 5 : image d’une droite ne passant pas par le centre
Énoncé : Une droite (d) ne passe pas par le centre O.
Son image par la symétrie centrale de centre O est la droite (d’).
Que peut-on dire des droites (d) et (d’) ?
Méthode : retenir la propriété de base sur la droite image.
Correction de l’exercice 5
Si une droite ne passe pas par le centre O, alors son image est une droite parallèle.
Réponse : les droites (d) et (d’) sont parallèles.
Un demi-tour change la position, pas la direction. C’est pour cela que le parallélisme est conservé ici.
Exercices intermédiaires : coordonnées, repère et figures usuelles
Exercice 6 : coordonnées dans un repère d’origine O
Énoncé : Dans un repère, on place O(0 ; 0), A(2 ; 1), B(4 ; 3) et C(1 ; 5).
Donner les coordonnées des images A’, B’ et C’ par la symétrie centrale de centre O.
Méthode : quand le centre est l’origine, on change les signes.
Piège à éviter : ne changer qu’une seule coordonnée.
Correction de l’exercice 6
On applique la règle :
(x ; y) → (-x ; -y)
Donc :
A(2 ; 1) → A’(-2 ; -1)
B(4 ; 3) → B’(-4 ; -3)
C(1 ; 5) → C’(-1 ; -5)
Réponse : A’(-2 ; -1), B’(-4 ; -3), C’(-1 ; -5).
Ce type d’exercice paraît mécanique, mais il prépare déjà les repères du cycle 4. Une erreur de signe suffit à faire tomber toute la figure au mauvais endroit.
Exercice 7 : triangle image par symétrie centrale
Énoncé : On considère un triangle ABC. On construit ses images A’, B’ et C’ par la symétrie centrale de centre O.
Quelle est la nature de la figure A’B’C’ ? Que peut-on dire des longueurs AB et A’B’, puis de l’angle ÂB C et de l’angle A’B’C’ ?
Méthode : utiliser les propriétés de conservation de la symétrie centrale.
Description visuelle : le triangle image semble “retourné” par un demi-tour, mais il garde exactement sa forme.
Correction de l’exercice 7
L’image d’un triangle par symétrie centrale est un triangle.
La symétrie centrale conserve les longueurs, donc :
AB = A’B’
BC = B’C’
AC = A’C’
Elle conserve aussi les angles, donc l’angle ABC a la même mesure que l’angle A’B’C’.
Réponse : A’B’C’ est un triangle de même forme et de mêmes dimensions que ABC.
Fait amusant : si le triangle de départ est rectangle, son image l’est aussi ; s’il est isocèle, l’image aussi. La symétrie centrale ne “casse” aucune nature de triangle.
Exercice 8 : rectangle et parallélisme
Énoncé : ABCD est un rectangle. On construit son image A’B’C’D’ par la symétrie centrale de centre O.
Quelle est la nature de A’B’C’D’ ?
Méthode : penser aux longueurs conservées, aux angles droits conservés et aux côtés parallèles.
Piège à éviter : croire qu’un rectangle devient seulement un parallélogramme “quelconque”.
Correction de l’exercice 8
Un rectangle possède :
des côtés opposés parallèles,
quatre angles droits,
des côtés opposés de même longueur.
La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles et le parallélisme.
Donc l’image d’un rectangle est encore un rectangle.
Réponse : A’B’C’D’ est un rectangle.
Beaucoup d’élèves répondent “parallélogramme” parce qu’un rectangle est un parallélogramme particulier. Ce n’est pas faux au sens large, mais la réponse précise attendue est bien rectangle.
Exercice 9 : coordonnées avec recherche du centre
Énoncé : Dans un repère, on donne A(1 ; 2) et son image A’(5 ; 8) par une symétrie centrale de centre O.
Déterminer les coordonnées du centre O.
Méthode : le centre O est le milieu de [AA’].
Piège à éviter : prendre l’un des deux points comme centre.
Correction de l’exercice 9
Le centre O est le milieu de [AA’].
On calcule donc les coordonnées du milieu :
xO = (1 + 5) / 2 = 3
yO = (2 + 8) / 2 = 5
Donc :
O(3 ; 5)
Réponse : le centre de symétrie est O(3 ; 5).
Ce type de question est très utile, car on ne cherche plus l’image d’un point : on remonte au centre. C’est souvent là que la notion de milieu prend tout son sens.
Exercices difficiles : centre inconnu, erreurs classiques et raisonnement
Exercice 10 : reconnaître une erreur de construction
Énoncé : Un élève affirme que B est l’image de A par symétrie centrale de centre O parce que OA = OB = 4 cm.
Que manque-t-il pour que cette affirmation soit correcte ?
Méthode : vérifier toutes les conditions, pas seulement la distance.
Correction de l’exercice 10
Le fait que OA = OB ne suffit pas.
Pour que B soit l’image de A par symétrie centrale de centre O, il faut aussi que :
A, O et B soient alignés,
et que O soit le milieu de [AB].
Comme OA = OB, si les trois points sont alignés avec O entre A et B, alors O sera bien le milieu.
Réponse : il manque l’alignement des points A, O et B.
C’est l’erreur classique numéro 1. On la retrouve presque chaque année en évaluation.
Exercice 11 : image d’une droite dans un repère
Énoncé : Dans un repère de centre O(0 ; 0), on considère la droite (d) passant par P(2 ; 1) et Q(4 ; 2).
Déterminer les coordonnées de P’ et Q’, puis la droite image (d’).
Méthode : calculer d’abord les images des deux points, puis tracer la droite passant par ces deux images.
Description visuelle : la droite image doit être parallèle à la droite de départ, car (d) ne passe pas par O.
Correction de l’exercice 11
Dans un repère d’origine O, on change les signes :
P(2 ; 1) → P’(-2 ; -1)
Q(4 ; 2) → Q’(-4 ; -2)
La droite image est donc la droite passant par P’ et Q’, c’est-à-dire (P’Q’).
Comme la droite (d) ne passe pas par O, la droite (d’) est parallèle à (d).
Réponse : P’(-2 ; -1), Q’(-4 ; -2) et (d’) = (P’Q’), parallèle à (d).
Petit détail intéressant : ici, les points choisis donnent une droite de pente simple. Cela aide à voir mentalement que la direction reste la même après le demi-tour.
Exercice 12 : problème de milieu sur un parallélogramme
Énoncé : On donne un parallélogramme ABCD. On sait que ses diagonales se coupent en O.
Montrer que la symétrie centrale de centre O envoie A sur C et B sur D.
Méthode : utiliser une propriété du parallélogramme vue au collège : les diagonales se coupent en leur milieu.
Piège à éviter : oublier de justifier avec la notion de milieu.
Correction de l’exercice 12
Dans un parallélogramme, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.
Donc :
O est le milieu de [AC],
et O est aussi le milieu de [BD].
Par définition de la symétrie centrale :
si O est le milieu de [AC], alors C est l’image de A par la symétrie centrale de centre O ;
si O est le milieu de [BD], alors D est l’image de B par la symétrie centrale de centre O.
Réponse : la symétrie centrale de centre O envoie A sur C et B sur D.
Fait peu connu mais très élégant : un parallélogramme possède naturellement un centre de symétrie, précisément le point d’intersection de ses diagonales.
Exercices bonus pour aller plus loin
Exercice 13 : coordonnées hors origine
Énoncé : On donne le centre O(2 ; -1), le point M(5 ; 3) et son image M’ par symétrie centrale de centre O.
Déterminer les coordonnées de M’.
Méthode : utiliser le fait que O est le milieu de [MM’].
Correction de l’exercice 13
On cherche M’(x ; y) tel que O(2 ; -1) soit le milieu de [MM’].
Donc :
(5 + x) / 2 = 2
(3 + y) / 2 = -1
On résout :
5 + x = 4 donc x = -1
3 + y = -2 donc y = -5
Réponse : M’(-1 ; -5).
Quand le centre n’est pas l’origine, la méthode “on change les signes” ne marche plus. C’est justement ce qui rend cet exercice très formateur.
Exercice 14 : trouver le centre à partir de deux points images
Énoncé : Dans un repère, on donne B(-3 ; 4) et son image B’(1 ; -2).
Déterminer le centre O de la symétrie centrale.
Méthode : calculer le milieu de [BB’].
Correction de l’exercice 14
Le centre O est le milieu de [BB’].
xO = (-3 + 1) / 2 = -2 / 2 = -1
yO = (4 + (-2)) / 2 = 2 / 2 = 1
Donc :
O(-1 ; 1)
Réponse : le centre est O(-1 ; 1).
Ce genre d’exercice est fréquent dans les devoirs maison parce qu’il oblige à relier géométrie et calcul dans le repère.
Fiche méthode : réflexes à avoir sur chaque exercice
Méthode rapide pour vérifier une réponse
Avant de rendre ton exercice, pose-toi ces quatre questions :
1. Le centre est-il bien le milieu du segment reliant un point et son image ?
2. Les trois points sont-ils bien alignés ?
3. Si c’est une droite image, passe-t-elle par O ou est-elle parallèle à la droite de départ ?
4. Dans un repère, ai-je bien traité les coordonnées sans erreur de signe ou de milieu ?
Ce sont les réflexes les plus utiles pour la 5ème. Ils collent exactement aux attendus du programme de l’Éducation nationale sur les transformations et les figures du plan.
Pour compléter cette fiche, tu peux enchaîner avec notre cours complet sur la symétrie centrale en 5ème, puis revoir la méthode sur les milieux de segment en 5e et t’exercer aussi sur les coordonnées dans un repère en 5e. Ce trio fonctionne très bien ensemble : symétrie centrale, milieu, repère.
FAQ : questions fréquentes sur la symétrie centrale en 5ème
La symétrie centrale, c’est la même chose qu’un demi-tour ?
Oui. En géométrie, une symétrie centrale de centre O équivaut exactement à une rotation de 180° autour de O. C’est une des idées les plus utiles pour visualiser la transformation.
Comment savoir si deux points sont symétriques par rapport à O ?
Il faut vérifier deux choses : les points et le centre sont alignés, et O est le milieu du segment reliant les deux points. Si une seule de ces conditions manque, ce n’est pas une symétrie centrale.
Quelle est l’image d’une droite par symétrie centrale ?
Si la droite passe par le centre O, elle reste inchangée. Si elle ne passe pas par O, son image est une droite parallèle. C’est une question très classique en 5e.
Comment faire avec des coordonnées ?
Si le centre est O(0 ; 0), on change les signes : (x ; y) devient (-x ; -y). Si le centre n’est pas l’origine, on utilise la propriété du milieu pour calculer les coordonnées de l’image ou du centre.
Un rectangle ou un triangle garde-t-il sa nature ?
Oui. La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles et le parallélisme. Un triangle reste un triangle, un rectangle reste un rectangle, un parallélogramme reste un parallélogramme.
Quelle erreur revient le plus souvent ?
Oublier l’alignement. Beaucoup d’élèves vérifient seulement la distance au centre. Or avoir la même distance à O ne suffit pas : il faut aussi que le point, le centre et l’image soient sur une même droite.
Conclusion : ce qu’il faut retenir pour réussir
Si tu devais garder trois idées, ce seraient celles-ci : la symétrie centrale est un demi-tour, le centre est toujours le milieu, et les points correspondants doivent être alignés avec ce centre. Pour les figures, pense conservation : longueurs, angles, parallélisme. Pour les coordonnées, pense repère et milieu.
Le bon réflexe de vérification est simple : alignement + milieu + conservation. Avec ça, tu sécurises déjà une grande partie des exercices de 5ème sur la construction, les coordonnées, la droite image, les triangles, les quadrilatères et les problèmes de milieu.
Si tu veux continuer, lis aussi notre leçon complète sur la symétrie centrale, la fiche méthode pas à pas et les exercices sur le repère et les coordonnées en 5e. C’est le meilleur enchaînement pour progresser vite et proprement.
